2018年湖北省鄂州市五校中考數(shù)學一模試卷
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）4的平方根是（ �。�
A．2 B．?2 C．±2 D．±
2．（3分）李陽同學在“百度”搜索引擎中輸入“魅力襄陽”，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果個數(shù)約為236 000，這 個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（ �。�
A．2.36×103 B．236×103 C．2.36×105 D．2.36×106
3．（3分）下列計算正確的是（ �。�
A．a(chǎn)3?a=a2 B．（?2a）2=4a2 C．x3•x?2=x?6 D．x6÷x2=x 3
4．（3分）下面幾何體中，其主視圖與俯視圖相同的是（ �。�
A． B． C． D．
5．（3分）若關(guān)于x的不等式組 有實數(shù)解，則a的取值范圍是（ �。�
A．a(chǎn)＜4 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)＞4 D．a(chǎn)≥4
6．（3分）如圖，已知直線a∥b，△ABC的頂點B在直線b上，∠C=90°，∠1=36°，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．54° B．44° C．36 ° D．64°
7．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB=8cm，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別從B，C兩點同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC，CD運動，到點C，D時停止運動，設運動時間為t（s），△OEF的面積為s（cm2），則s（cm2）與t（s）的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為（ �。�
A． B． C． D．
8．（3分）如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；② ；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN= PC．其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
9．（3分）已知開口向上的拋物線y=ax2+bx+c，它與x軸的兩個交點分別為（?1，0），（3，0）．對于下列命題：①b?2a=0；②abc＞0；③a?2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有（ ）
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
10．（3分）如圖∠BAC=60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的最大值為（ �。�
A．3 B．6 C． D．
二、填空題：（每小題3分）
11．（3分）分解因式：4x3?4x2y+xy2= �。�
12．（3分）已知y= ，則xy的值為 �。�
13．（3分）某組數(shù)據(jù)按從小到大的順序如下：2、4、8、x、10、14，已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 ．
14．（3分）如圖，AB是⊙O直徑，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A=60°，AB=4，求陰影部分面積 �。�
15．（3分）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于C，D兩點，分別過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接CF，DE．有下列五個結(jié)論：
①△CEF與△DEF的面積相等； ②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；④AC=BD； ⑤tan∠BAO=a
其中正確的結(jié)論是 �。ò涯阏J為正確結(jié)論的序號都填上）
16．（3分）拋物線C1：y=x2?1（?1≤x≤1）與x軸交于A、B兩點，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于點A中心對稱，拋物線C3與拋物線C1關(guān)于點B中心對稱．若直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點，則b的取值或取值范圍是 �。�
三、解答題：
17．（8分）先化簡，后求值：（ ? ）÷ ，其中x滿足x2?x?2=0．
18．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，DF平分∠ADC交BC于F．求證：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）若BD⊥EF，則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形，請證明你的結(jié)論．
19．（8分）我校舉行“漢字聽寫”比賽，每位學生聽寫漢字39個，比賽結(jié)束后隨機抽查部分學生的聽寫結(jié)果，以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖的一部分．
組別 正確數(shù)字x 人數(shù)
A 0≤x＜8 10
B 8≤x＜16 15
C 16≤x＜24 25
D 24≤x＜32 m
E 32≤x＜40 n
根據(jù)以上信息解決下列問題：
（1）在統(tǒng)計表中，m= ，n= ，并補全條形統(tǒng)計圖．
（2）扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是 ．
（3）有三位評委老師，每位老師在E組學生完成學校比賽后，出示“通過”或“淘汰”或“待定”的評定結(jié)果．學校規(guī)定：每位學生至少獲得兩位評委老師的“通過”才能代表學校參加鄂州市“漢字聽寫”比賽，請用樹形圖求出E組學生王云參加鄂州市“漢字聽寫”比賽的概率．
20．（8分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2?（2m+3）x+m2+2?
（1）若二次函數(shù)y的圖象與x軸有兩個交點，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）設二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A（x1，0），B（x2，0），且滿足x12+x22=31+|x1x2|，求實數(shù)m的值．
21．（9分）在一次數(shù)學活動課上，老師帶領(lǐng)學生測量一條南北流向的河的寬度，如圖所示，某學生在河東岸點A處觀測到河對岸水邊有一點C，測得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行10米到達B處，測得C在B北偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學計算出這條河的寬度．（精確到1米，參考數(shù)值：tan31°≈ ，sin31°≈ ）
22．（9分）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=9，tan∠CDA= ，求BE的長．
23．（10分）某景點試開放期間，團隊收費方案如下：不超過30人時，人均收費120元；超過30人且不超過m（30＜m≤ 100）人時，每增加1人，人均收費降低1元；超過m 人時，人均 收費都按照m人時的標準．設景點接待有x名游客的某團隊，收取總費用為y元．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）景點工作人員發(fā)現(xiàn)：當接待某團隊人數(shù)超過一定數(shù)量時，會出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象．為了讓收取的總費用隨著團隊總?cè)藬?shù)的增加而增加，求m的取值范圍．
24．（12分）如圖①、②，在平面直角坐標系中，一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標系中的△OAB重合，現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C′ED的位置．
（1）求C′點的坐標；
（2）求經(jīng)過O、A、C′三點的拋物線的解析式；
（3）如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，求切線BF的解析式；
（4）在（3）的條件下，拋物線上是否存在一點M，使得△BOF與△AOM相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
2018年湖北省鄂州市五校中考數(shù)學一模試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）4的平方根是（ �。�
A．2 B．?2 C．±2 D．±
【解答】解：4的平方根是±2．
故選：C．
2．（3分）李陽同學在“百度”搜索引擎中輸入“魅力襄陽”，能搜索到與之相關(guān)的結(jié)果個數(shù)約為236 000，這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（ �。�
A．2.36×103 B．236×103 C．2.36×105 D．2.36×106
【解答】解：236 000=2.36×105，
故選：C．
3．（3分）下列計算正確的是（ �。�
A．a(chǎn)3?a=a2 B．（?2a）2=4a2 C．x3•x?2=x?6 D．x6÷x2=x3
【解答】解：A、a3?a≠a2，故本選項錯誤；
B、（?2a）2=4a2，故本選項正確；
C、x3•x?2=x3?2=x，故本選項錯誤；
D、x6÷x2=x4，故本選項錯誤．
故選：B．
4．（3分）下面幾何體中，其主視圖與俯視圖相同的是（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：A、圓柱主視圖是矩形，俯視圖是圓；
B、圓錐主視圖是三角形，俯視圖是圓；
C、正方體的主視圖與俯視圖都是正方形；
D、三棱柱的主視圖是矩形與俯視圖都是三角形；
故選：C．
5．（3分）若關(guān)于x的不等式組 有實數(shù)解，則a的取值范圍是（ �。�
A．a(chǎn)＜4 B．a(chǎn)≤4 C．a(chǎn)＞4 D．a(chǎn)≥4
【解答】解：解不等式2x＞3x?3，得：x＜3，
解不等式3x?a＞5，得：x＞ ，
∵不 等式組有實數(shù)解，
∴ ＜3，
解得：a＜4，
故選：A．
6．（3分）如圖，已知直線a∥b，△ABC的頂點B在直線b上，∠C=90°，∠1=36°，則∠2的度數(shù)是（ �。�
A．54° B．44° C．36° D．64°
【解答】解：過點C作CF∥a，
∵∠1=36°，
∴∠1=∠ACF=36°．
∵∠C=90°，
∴∠BCF=90°?36°=54°．
∵直線a∥b，
∴CF∥b，
∴∠2=∠BCF=54°．
故選：A．
7．（3分）如圖，正方形ABCD中，AB=8cm，對角線AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別從B，C兩點同時出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC，CD運動，到點C，D時停止運動，設運動時間為t（s），△OEF的面積為s（cm2），則s（cm2）與t（s）的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為（ �。�
A． B． C． D．
【解答】解：根據(jù)題意BE=CF=t，CE=8?t，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE=S△OCF，
∴S四邊形OE CF=S△OBC= ×82=16，
∴S=S四邊形OECF?S△CEF=16? （8?t）•t= t2?4t+16= （t?4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）與t（s）的函數(shù)圖象為拋物線一部分，頂點為（4，8），自變量為0≤t≤8．
故選：B．
8．（3分）如圖，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，連接PM，PN，則下列結(jié)論：①PM=PN；② ；③△PMN為等邊三角形；④當∠ABC=45°時，BN= PC．其中正確的個數(shù)是（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【解答】解：①∵BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，P為BC邊的中點，
∴PM= BC，PN= BC，
∴PM=PN，正確；
②在△ABM與△ACN中，
∵∠A=∠A，∠AMB=∠ANC=90°，
∴△ABM∽△ACN，
∴ ，正確；
③∵∠A=60°，BM⊥AC于點M，CN⊥AB于點N，
∴∠ABM=∠ACN=30°，
在△ABC中，∠BCN+∠CBM?180°?60°?30°×2=60°，
∵點P是BC的中點，BM⊥AC，CN⊥AB，
∴PM=PN=PB=PC，
∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，
∴∠BPN+∠CPM=2（∠BCN+∠CBM）=2×60°=120°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等邊三角形，正確；
④當∠ABC=45°時，∵CN⊥AB于點N，
∴∠BNC=90°，∠BCN=45°，
∴BN=CN，
∵P為BC邊的中點，
∴PN⊥BC，△BPN為等腰直角三角形
∴BN= PB= PC，正確．
故選：D．
9．（3分）已知開口向上的拋物線y=ax2+bx+c，它與x軸的兩個交點分別為（?1，0），（3，0）．對于下列命題： ①b?2a=0；②abc＞0；③a?2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有（ �。�
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【解答】解：根據(jù)圖象可得：拋物線開口向上，則a＞0．拋物線與y交與負半軸，則c＜0，
對稱軸：x=? ＞0，
①∵它與x軸的兩個交點分別為（?1，0），（3，0），
∴對稱軸是x=1，
∴? =1，
∴b+2a=0，
故①錯誤；
②∵a＞0，
∴b＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，故②正確；
③∵a?b+ c=0，
∴c=b?a，
∴a?2b+4c=a?2b+4（b?a）=2b?3a，
又由①得b=?2a，
∴a?2b+4c=?7a＜0，
故③正確；
④根據(jù)圖示知，當x=4時，y＞0，
∴16a+4b+c＞0，
由①知，b=?2a，
∴8a+c＞0；
故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論是：②③④共3個，
故選：A．
10．（3分）如圖∠BAC=60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點，連接DE，則線段DE長度的最大值為（ �。�
A．3 B．6 C． D．
【解答】解：連接AO并延長，與ED交于F點，與圓O交于P點，此時線段ED最大，
連接OM，PD，可得F為ED的中點，
∵∠BAC=60°，AE=AD，
∴△AED為等邊三角形，
∴AF為角平分線，即∠FAD=30°，
在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，
∴OA=2，
∴PD=PA=AO+OP=3，
在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，
∴PF= ，
根據(jù)勾股定理得：FD= = ，
則DE=2FD=3 ．
故選：D．
二、填空題：（每小題3分）
11．（3分）分解因式：4x3?4x2y+xy2= x（2x?y）2�。�
【解答】解：4x3?4x2y+xy2
=x（4x2?4xy+y2）
=x（2x?y）2．
故答案為：x（2x?y）2．
12．（3分）已知y= ，則xy的值為 �。�
【解答】根據(jù)題意得： ，
解得：x=3，則y=?2，
故xy=3?2= ．
故答案是： ．
13．（3分）某組數(shù)據(jù)按從小到大的順序如下：2、4、8、x、10、14，已知這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是9，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 10�。�
【解答】解：由題意得，（8+x）÷2=9，
解得：x=10，
則這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的是10，故眾數(shù)為10．
故答案為：10．
14．（3分）如圖，AB是⊙O直徑，CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD交⊙O于F，∠A=60°，AB=4，求陰影部分面積 3 ? π�。�
【解答】解：設AD交⊙O于F，
連接OE、OF、BF，如圖，
∵AB為⊙O直徑，AB=4，
∴OE= AB=2，∠AFB=90°，
∵∠A=60°，
∴AF= AB=2，BF= AF=2 ，
∵根據(jù)圓周角定理得：∠BOF=2∠A=120°，
∴∠AOF=180°?120°=60°，
∵CD切⊙O于E，BC⊥CD，AD⊥CD，
∴∠C=∠OED=∠D=90°，
∴OE∥BC∥AD，
∵O為AB中點，
∴CE=ED，
∴BC+AD=2OE=AB=4，
∴陰影部分的面積S=S梯形BCDF?（S扇形AOF?S△BOF）
= （BC+AD）×BF? + ×2 ×1
= ×4×2 ? π?
=3 ? π，
故答案為：3 ? π．
15．（3分）如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y= 的圖象相交于C，D兩點，分別過C，D兩點作y軸，x軸的垂線，垂足為E，F(xiàn)，連接CF，DE．有下列五個結(jié)論：
①△CEF與△DEF的面積相等； ②△AOB∽△FOE；
③△DCE≌△CDF；④AC=BD； ⑤tan∠BAO=a
其中正確的結(jié)論是�、佗冖堍荨。ò涯阏J為正確結(jié)論的序號都填上）
【解答】解：①設D（x， ），則F（x，0），
由圖象可知x＞0，k＞0，
∴△DEF的面積是： × ×x= k，
設C（a， ），則E（0， ），
由圖象可知：a＞0， ＜0，
△CEF的面積是： ×|a|×| |= |k|，
∴△CEF的面積=△DEF的面積，
故①正確；
②△CEF和△DEF以EF為底，則兩三角形EF邊上的高相等，
∴EF∥CD，
∴FE∥AB，
∴△AOB∽△FOE，
故②正確；
③BD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，
∴BE=DF，而只有當a=1時，才有CE=BE，
即CE不一定等于DF，故△DCE≌△CDF不一定成立；
故③錯誤；
④∵BD∥EF，DF∥BE，
∴四邊形BDFE是平行四邊形，
∴BD=EF，
同理EF=AC，
∴AC=BD，
故④正確；
⑤由一次函數(shù)y=ax+b的圖象與x軸，y軸交于A，B兩點，
易得A（? ，0），B（0，b），
則OA= ，OB=b，
∴tan∠BAO= =a，
故⑤正確．
正確的有4個：①②④⑤．
故答案為：①②④⑤．
16．（3分）拋物線C1：y=x2?1（?1≤x≤1）與x軸交于A、B兩點，拋物線C2與拋物線C1關(guān)于點A中心對稱，拋物線C3與拋物線C1關(guān)于點B中心對稱．若直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點，則b的取值或取值范圍是 b=? 或? 或3≤b＜ �。�
【解答】解：拋物線C1：y=x2?1（?1≤x≤1），頂點E（0，?1），
當y=0時，x=±1，
∴A（?1，0），B（1，0），
當拋物線C2與拋物線C1關(guān)于點A中心對稱，
∴頂點E關(guān)于點A的對稱點E′（?2，1），
∴拋物線C2的解析式為：y=?（x+2）2+1=?x2?4x?3，
當拋物線C3與拋物線C1關(guān)于點B中心對稱，
∴頂點E關(guān)于點B的對稱點E′′（2，1），
∴拋物線C3的解析式為：y=?（x?2）2+1=?x2+4x?3，
①當y=?x+b過D（3，0）時，b=3，
當y=?x+b與C3相切時，即與C3有一個公共點，
則 ，
?x2+4x?3=?x+b，
x2?5x+b+3=0，
△=25?4（b+3）=0，
b= ，
∴當3≤b＜ 時，直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點，
②當y=?x+b與C1相切時，即與C1有一個公共點，
則 ，
x2?1=?x+b，
x2+x?1?b=0，
△=1?4（?1?b）=0，
b=? ，
當y=?x+b與C2相切時，即與C2有一個公共點，
則 ，
?x2?4x?3=?x+b，
?x2?3x?3?b=0，
△=9?4×（?1）×（?3?b）=0，
b=? ，
∴當b=? 或? 時，直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點，
綜上所述：當b=? 或? 或3≤b＜ 時，直線y=?x+b與由C1、C2、C3組成的圖形恰好有2個公共點．
三、解答題：
17．（8分）先化簡，后求值：（ ? ）÷ ，其中x滿足x2?x?2=0．
【解答】解：原式= ×
=x?1，
∵滿足x2?x?2=0，
∴x=?1或2，
∵x=2分式無意義，
∴x=?1時，原式=?2．
18．（8分）如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于點E，DF平分∠ADC交BC于F．求證：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）若BD⊥EF，則判斷四邊形EBFD是什么特殊四邊形，請證明你的結(jié)論．
【解答】：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AD=CB，AD∥CB，∠A=∠C，∠ABC=∠ADC，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠ABE= ∠ABC，∠CDF= ∠ADC，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∴AE=CF，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形．
∵BD⊥EF，
∴四邊形EBFD是菱形．
19．（8分）我校舉行“漢字聽寫”比賽，每位學生聽寫漢字39個，比賽結(jié)束后隨機抽查部分學生的聽寫結(jié)果，以下是根據(jù)抽查結(jié)果繪制的統(tǒng)計圖的一部分．
組別 正確數(shù)字x 人數(shù)
A 0≤x＜8 10
B 8≤x＜16 15
C 16≤x＜24 25
D 24≤x＜32 m
E 32≤x＜40 n
根據(jù)以上信息解決下列問題：
（1）在統(tǒng)計表中，m= 30 ，n= 20 ，并補全條形統(tǒng)計圖．
（2）扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是 90°�。�
（3）有三位評委老師，每位老師在E組學生完成學校比賽后，出示“通過”或“淘汰”或“待定”的評定結(jié)果．學校規(guī)定：每位學生至少獲得兩位評委老師的“通過”才能代表學校參加鄂州市“漢字聽寫”比賽，請用樹形圖求出E組學生王云參加鄂州市“漢字聽寫”比賽的概率．
【解答】 解：（1）∵總?cè)藬?shù)為15÷15%=100（人），
∴D組人數(shù)m=100×30%=30，E組人數(shù)n=100×20%=20，
補全條形圖如下：
（2）扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應的圓心角的度數(shù)是360°× =90°，
故答案為：90°；
（3）記通過為A、淘汰為B、待定為C，
畫樹狀圖如下：
由樹狀圖可知，共有27種等可能結(jié)果，其中獲得兩位評委老師的“通過”有7種情況，
∴E組學生王云參加鄂州市“漢字聽寫”比賽的概率為 ．
20．（8分）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2?（2m+3）x+m2+2?
（1）若二次函數(shù)y的圖象與x軸有兩個交點，求實數(shù)m的取值范圍．
（2）設二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A（x1，0），B（x2，0），且滿足x12+x22=31+|x1x2|，求實數(shù)m的值．
【解答】解：（1）由題意得，[?（2m+3）]2?4×1×（m2+2）＞0，
解得，m＞? ；
（2）由根與系數(shù)的關(guān)系可知，x1+x2=2m+3，x1x2=m2+2，
x12+x22=31+|x1x2|，
（x1+x2）2?2x1x2=31+|x1x2|，
（2m+3）2?2×（m2+2）=31+m2+2，
整理得，m2+12m?28=0，
解得，m1=2，m2=?14（舍去），
當m=2時，滿足x12+x22=31+|x1x2|．
21． （9分）在一次數(shù)學活動課上，老師帶領(lǐng)學生測量一條南北流向的河的寬度，如圖所示，某學生在河東岸點A處觀測到河對岸水邊有一點C，測得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行10米到達B處，測得C在B北偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學計算出這條河的寬度．（精確到1米，參考數(shù)值：tan31°≈ ，sin31°≈ ）
【解答】解：過點C作CD⊥AB，垂足為D，
設CD=x米，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，
AD=AB+BD=（10+x）米，CD=x米，
∵tan∠DAC= ，
∴ = ，
解得x=15．
經(jīng)檢驗x=15是原方程的解，且符合 題意．
答：這條河的寬度為15米．
22．（9分）如圖，D為⊙O上一點，點C在直徑BA的延長線上，∠CDA=∠CBD．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E，若BC=9，tan∠CDA= ，求BE的長．
【解答】（1）證明：連OD，OE，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，即∠ADO+∠1=90°，
又∵∠CDA=∠CBD，
而∠CBD=∠1，
∴∠1=∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO=90°，即∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：∵EB為⊙O的切線，ED是切線，
∴ED=EB，∵OB=OD，
∴OE⊥DB，
∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°，
∴∠ABD=∠OEB，
∴∠CDA=∠OEB．
而tan∠CDA= ，
∴tan∠OEB= = ，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，
∴ = = = ，
∴CD= ×9=6，
在Rt△CBE中，設BE=x，
∴（x+6）2=x2+92，
解得x= ．
即BE的長為 ．
23．（10分）某景點試開放期間，團隊收費方案如下：不超過30人時，人均收費120元；超過30人且不超過m（30＜m≤100）人時，每增加1人，人均收費降低1元；超過m人時，人均收費都按照m人時的標準．設景點接待有x名游客的某團隊，收取總費用為y元．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)表達式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）景點工作人員發(fā)現(xiàn)：當接待某團隊人數(shù)超過一定數(shù)量時，會 出現(xiàn)隨著人數(shù)的增加收取的總費用反而減少這一現(xiàn)象．為了讓收取的總費用隨著團隊總?cè)藬?shù)的增加而增加，求m的取值范圍．
【解答】解：（1）y= ，其中（30＜m≤100）．
（2）由（1）可知當0＜x≤30或x＞m，函數(shù)值y都是隨著x是增加而增加，
當30＜x≤m時，y=?x2+150x=?（x?75）2+5625，
∵a=?1＜0，
∴x≤75時，y隨著x增加而增加，
∴為了讓收取的總費用隨著團隊中人數(shù)的增加而增加，
∴30＜m≤75．
24．（12分）如圖①、②，在平面直角坐標系中，一邊長為2的等邊三角板CDE恰好與坐標系中的△OAB重合，現(xiàn)將三角板CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°到△C′ED的位置．
（1）求C′點的坐標；
（2）求經(jīng)過O、A、C′三點的拋物線的解析式；
（3）如圖③，⊙G是以AB為直徑的圓，過B點作⊙G的切線與x軸相交于點F，求切線BF的解析式；
（4）在（3）的條件下，拋物線上是否存在一點M，使得△BOF與△AOM相似？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）作C′H⊥x軸，如圖②，
∵△CDE和△OAB為全等的等邊三角形，
而三角板CDE繞邊AB的中點G（G點也是DE的中點），按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°得到△C′ED，
∴AC′=OA=2，∠OAB=∠BAC′=60°，
∴∠C′AH=60°，
∴AH= AC′=1，C′H= AH= ，
∴C′（3， ）；
（2）設拋物線解析式為y=ax（x?2），
把C′（3， ）代入得a•3•1= ，解得a= ，
∴拋物線解析式為y= x（x?2），
即y= x2? x；
（3）∵BF為⊙G的切線，
∴AB⊥BF，
而∠FAB=60°，
∴FA=2AB=4，
∴F（?2，0），
∵OB=OA=AC′=BC′=2，
∴四邊形AOBC′為菱形，
∴B（1， ），
設直線BF的解析式為y=kx+b，
把F（?2，0），B（1， ）代入得 ，解得 ，
∴直線BF的解析式為y= x+ ；
（4）存在．
拋物線的對稱軸為直線x=1，
當x=1時，y= x2? x=? ，則拋物線的頂點坐標為（1，? ），
∵OF=OB=2，
∴△OBF為頂角為120°的等腰三角形，
當AM=AO=2時，點M與點C′重合，△BOF與△AOM相似，此時M（3， ），
當OM=OA時，點M與點C′關(guān)于直線x=1對稱，△BOF與△AOM相似，此時M（?1， ），
當MA=MO時，點M為拋物線的頂點時，∠OAM=120°，△BOF與△AOM相似，此時M（1，? ），
綜上所述，滿足條件的M點的坐標為（3， ）或（?1， ）或（1，? ）．
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