第1章
一、選擇題(每小題3分，共30分)
 
(第1題)

1．如圖，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，則下列條件中不能判定△ABM≌△CDN的是(B)
A. ∠M＝∠N
B. AM＝CN
C. AB＝CD
D. AM∥CN
2．已知三角形兩邊的長分別是4和10，則此三角形第三邊的長可能是(C)
A. 5　　  B. 6
C. 12  D. 16
3．如圖，圖中∠1的度數(shù)為(D)
A. 40°  B. 50°
C. 60°  D. 70°
 
(第3題)
　　
(第4題)
4．如圖，把一塊含有45°角的直角三角尺的兩個頂點放在直尺的對邊上．如果∠1＝20°，那么∠2的度數(shù)為(C)
A. 15°　   B. 20°
C. 25°  D. 30°
 
(第5題)

5．如圖，在余料ABCD中，AD∥BC，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交BA，BC于點G，H；再分別以點G，H為圓心，大于12GH長為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點O，畫射線BO，交AD于點E.若∠A＝96°，則∠EBC的度數(shù)為(B)
A. 45°  B. 42°
C. 36°  D. 30°
6．如圖，已知∠1＝∠2，AE⊥OB于點E，BD⊥OA于點D，AE，BD的交點為C，則圖中的全等三角形共有(C)
A. 2對　　　  B. 3對
C. 4對　　　　  D. 5對
 , (第6題))　　　 ,(第7題))
7．如圖，BE⊥AC于點D，且AD＝CD，BD＝ED.若∠ABC＝72°，則∠E等于(B)
A．18°  B．36°
C．54°  D．72°
【解】　可證△ADB≌△CDE，△ABD≌△CBD，
∴∠E＝∠ABD＝12∠ABC＝36°.
 
(第8題)
8．如圖，△ABC的三邊AB，BC，CA的長分別是100，110，120，其三條角平分線將△ABC分為三個三角形，則S△ABO∶S△BOC∶S△CAO＝(C)
A．1∶1∶1  B．9∶10∶11
C．10∶11∶12  D．11∶12∶13
【解】　利用角平分線的性質(zhì)定理可得△ABO，△BOC，△CAO分別以AB，BC，AC為底時，高線長相等，則它們的面積之比等于底之比．
9．如圖，BF是∠ABD的平分線，CE是∠ACD的平分線，BF與CE交于點G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，則∠A的度數(shù)為(B)
A. 70°　  B. 80°
C. 50°　  D. 55°
【解】　連結(jié)BC.
∵∠BDC＝140°，∴∠DBC＋∠DCB＝40°.
又∵∠BGC＝110°，∴∠GBC＋∠GCB＝70°.
∴∠GBD＋∠GCD＝30°.
∴∠ABD＋∠ACD＝60°.
∴∠ABC＋∠ACB＝100°.∴∠A＝80°.
 ,(第9題))　　 ,(第10題))
10．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分線，P是AD上異于A的任意一點，設(shè)PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，則m＋n與b＋c的大小關(guān)系是(A)
A. m＋n＞b＋c　　　　　  B. m＋n＜b＋c
C. m＋n＝b＋c　　　　　　  D. 無法確定
 
 (第10題解)
【解】　如解圖，在BA的延長線上取一點E，使AE＝AC，連結(jié)ED，EP.
∵AD是∠BAC的外角平分線，
∴∠CAD＝∠EAD.
在△ACP和△AEP中，
∵AC＝AE，∠CAP＝∠EAP，AP＝AP，
∴△ACP≌△AEP(SAS)．∴PC＝PE.
在△PBE中，PB＋PE＞AB＋AE，
即PB＋PC>AB＋AC.
∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，
∴m＋n＞b＋c.
二、填空題(每小題3分，共30分)
11．如圖，已知△ABC的周長為3 cm，D，E分別是AB，AC上的點，將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A′處，且點A′在△ABC外部，則圖中陰影部分圖形的周長為__3__cm.
 ,(第11題))　　　 , (第12題))
12．如圖，在△ABC中，AB>AC，按以下步驟作圖：分別以點B和點C為圓心，大于12BC長為半徑作圓弧，兩弧相交于點M和點N；作直線MN交AB于點D；連結(jié)CD.若AB＝8，AC＝4，則△ACD的周長為12．
13．已知三角形的三邊長分別為3，5，x，則化簡式子|x－2|＋|x－9|＝__7__．
【解】　提示：2＜x＜8.
 
 (第14題)

14．如圖，在△ABC中，已知∠1＝∠2，BE＝CD，AB＝5，AE＝2，則CE＝__3__．
【解】　在△ABE和△ACD中，
∵∠1＝∠2，∠A＝∠A，BE＝CD，
∴△ABE≌△ACD(AAS)．
∴AC＝AB＝5.
∵AE＝2，∴CE＝3.

15．如圖，在4×5的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，在圖中找兩個格點D和E，使∠ABE＝∠ACD＝90°，并使AC＝DC，AB＝EB，則四邊形BCDE的面積為__3__．
 ,(第15題))　　 ,(第15題解))
【解】　如解圖，四邊形BCDE的面積為8－3－32－12＝3.
 
(第16題)

16．如圖，四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，△ABO≌△ADO.有下列結(jié)論：①AC⊥BD；②CB＝CD；③△ABC≌△ADC；④AD＝CD.其中正確結(jié)論的序號是①②③．
【解】　∵△ABO≌△ADO，
∴∠AOB＝∠AOD，AB＝AD，∠BAO＝∠DAO.
∵∠AOB＋∠AOD＝180°，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，故①正確．
在△ABC和△ADC中，∵AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC(SAS)，
∴CB＝CD，故②③正確．
AD與CD不一定相等，故④錯誤．
綜上所述，正確結(jié)論的序號是①②③.
 
(第17題)
17．如圖，△ABC三邊的中線AD，BE，CF的交點為G.若S△ABC＝12，則圖中陰影部分的面積是__4__．
【解】　∵△ABC的三條中線AD，BE，CF交于點G，
∴S△ABD＝S△ACD，S△AFG＝S△BFG，
S△AGE＝S△CGE，S△BDG＝S△CDG，
∴S△ABG＝S△ACG.∴S△BFG＝S△CGE.
同理，S△BFG＝S△BDG，∴圖中6個小三角形的面積都相等．∴S陰影＝13S△ABC＝4.
18．如圖，已知長方形紙片的一條邊經(jīng)過直角三角形紙片的直角頂點，若長方形紙片的一組對邊與直角三角形的兩條直角邊相交成∠1，∠2，則∠2－∠1＝90°．
 (第18題)
　　 (第18題解)

【解】　如解圖．
∵AB∥DC，∴∠2＝∠3.
∵∠3＋∠4＝180°，∴∠2＝180°－∠4.
又∵∠1＋∠4＝90°，即∠1＝90°－∠4.
∴∠2－∠1＝180°－∠4－(90°－∠4)＝90°.
 
 (第19題)
19．如圖，在△ABC中，∠A＝52°，∠ABC與∠ACB的平分線交于點D1，∠ABD1與∠ACD1的平分線交于點D2……依此類推，∠BD5C的度數(shù)是56°．
【解】　∵∠A＝52°，
∴∠ABC＋∠ACB＝128°.
∵BD1，CD1分別平分∠ABC和∠ACB，
∴∠D1BC＋∠D1CB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝64°.∴∠D1＝180°－64°＝116°.
同理，∠D2＝180°－64°－12×64°＝84°……
∴∠D5＝180°－64°－12×64°－122×64°－123×64°－124×64°＝56°.
20．如圖，圖①是一塊邊長為1，周長記為P1的等邊三角形紙板，沿圖①的底邊剪去一塊邊長為12的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊依次剪去一塊更小的等邊三角形紙板(即邊長為前一塊被剪掉等邊三角形紙板邊長的12)后得到圖③……記第n(n≥3)塊紙板的周長為Pn，則Pn－Pn－1＝12n－1．
 
(第20題)
【解】　∵P1＝3，P2＝212，P3＝234，P4＝278，
∴P4－P3＝18＝123＝124－1……
故Pn－Pn－1＝12n－1.
三、解答題(共40分)
21．(6分)如圖，△ABC≌△A1B1C1，AD，A1D1分別是△ABC和△A1B1C1的角平分線．求證：AD＝A1D1.
 
(第21題)
【解】　∵△ABC≌△A1B1C1，
∴AB＝A1B1，∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1.
∵AD，A1D1分別是△ABC和△A1B1C1的角平分線，
∴∠BAD＝12∠BAC，∠B1A1D1＝12∠B1A1C1.
∴∠BAD＝∠B1A1D1.
在△ABD與△A1B1D1中，
∵∠BAD＝∠B1A1D1，AB＝A1B1，∠B＝∠B1，
∴△ABD≌△A1B1D1(ASA)．
∴AD＝A1D1.
 
(第22題)
22．(6分)如圖，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE＝BD，連結(jié)AE，DE，CD.
(1)求證：△ABE≌△CBD.
(2)若∠CAE＝27°，∠ACB＝45°，求∠BDC的度數(shù)．
【解】　(1)∵∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝90°＝∠ABC.
在△ABE和△CBD中，
∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS)．
(2)∵△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠CDB.
∵∠AEB為△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠CAE＋∠ACB＝27°＋45°＝72°，
∴∠BDC＝72°.
 
(第23題)
23．(6分)如圖，△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的．若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，求∠α的度數(shù)．
【解】　∵∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，
∴∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°.
設(shè)BE與CD的交點為F.
∵△ABE和△ADC是△ABC分別沿著AB，AC邊翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ABC≌△ADC.
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD.
∴∠FBC＝2∠2＝2×25°＝50°，
∠FCB＝2∠3＝2×15°＝30°.
∵∠α是△FBC的一個外角，
∴∠α＝∠FBC＋∠FCB＝50°＋30°＝80°.
24．(6分)如圖，已知BD，CE是△ABC的高線，點F在BD上，BF＝AC，點G在CE的延長線上，CG＝AB.求證：AG⊥AF.
 
(第24題)

【解】　∵BD，CE是△ABC的高線，
∴∠BEC＝∠CDB＝90°.
∵∠EHB＝∠DHC，∴∠EBH＝∠DCH.
又∵BF＝CA，AB＝GC，
∴△ABF≌△GCA(SAS)．∴∠BAF＝∠G.
∵∠AEG＝90°，∴∠G＋∠GAE＝90°，
∴∠BAF＋∠GAE＝90°，即∠GAF＝90°，
∴AG⊥AF.
 
(第25題)
25．(6分)如圖，已知BE，CF分別是△ABC中AC，AB邊上的高線，在BE的延長線上取點P，使PB＝AC，在CF的延長線上取點Q，使CQ＝AB.求證：AQ⊥AP.
【解】　∵BE，CF分別是△ABC中AC，AB邊上的高線，
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∴∠ABP＋∠EAF＝90°，∠ACQ＋∠EAF＝90°，
∴∠ABP＝∠ACQ.
在△ABP和△QCA中，
∵PB＝AC，∠ABP＝∠QCA，AB＝QC，
∴△ABP≌△QCA(SAS)．
∴∠APB＝∠QAC.
∴∠APB＋∠PAE＝∠QAC＋∠PAE，
即180°－∠AEP＝∠PAQ.
∴∠PAQ＝90°，即AQ⊥AP.
26．(10分)舊知新意：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，那么三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢？
(1)嘗試探究：
如圖①，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，試探究∠A與∠DBC＋∠ECB之間的數(shù)量關(guān)系．
(2)初步運用：
如圖②，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE.若∠1＝130°，則∠2－∠C＝50°．小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖③，在△ABC中，BP，CP分別平分外角∠DBC，∠ECB，則∠P與∠A有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案：∠P＝90°－12∠A．
(3)拓展提升：
如圖④，在四邊形ABCD中，BP，CP分別平分外角∠EBC，∠FCB，則∠P與∠A，∠D有何數(shù)量關(guān)系？

 
(第26題)

【解】　(1)∠DBC＋∠ECB＝(180°－∠ABC)＋(180°－∠ACB)＝360°－(∠ABC＋∠ACB)＝360°－(180°－∠A)＝180°＋∠A.
(2)∵∠1＋∠2＝180°＋∠C，
∴130°＋∠2＝180°＋∠C，
∴∠2－∠C＝50°.

∵∠DBC＋∠ECB＝180°＋∠A，BP，CP分別平分外角∠DBC，∠ECB，
∴∠PBC＋∠PCB＝12(∠DBC＋∠ECB)＝12(180°＋∠A)，
∴∠P＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－12(180°＋∠A)＝90°－12∠A，
即∠P＝90°－12∠A.
 
(第26題解)

(3)如解圖，延長BA，CD相交于點Q，
則∠P＝90°－12∠Q，
∴∠Q＝180°－2∠P，
∴∠BAD＋∠CDA＝180°＋∠Q＝180°＋180°－2∠P＝360°－2∠P.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chuer/1111808.html

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