第19章矩形、菱形與正方形
一、選擇題
1.下列命題正確的是（ ）
A. 對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形 B. 對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形是正方形
C. 對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形是菱形 D. 兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形
2.若菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為6和8, 則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為( )
A. 20 B. 16 C. 12 D. 10
3.正方形具備而菱形不具備的性質(zhì)是（）
A. 對(duì)角線(xiàn)互相平分 B. 對(duì)角線(xiàn)互相垂直 C. 對(duì)角線(xiàn)相等 D. 每條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角
4.在四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，給出下列條件：①AB∥CD； ②AB=CD； ③OA=OC；④OB=OD； ⑤AC⊥BD；⑥AC平分∠BAD．則下列各組組合中，不能推出四邊形ABCD為菱形的是（ ）
A. ①②④ B. ③④⑤ C. ①②⑤ D. ①②⑥
5.如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是原點(diǎn)，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1， ），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A. （ ， 1） B. （?1， ） C. （? ， 1） D. （? ， ?1）
6.已知：如圖，在▱ABCD中，點(diǎn)E在AD上，連接BE，DF∥BE交BC于點(diǎn)F，AF與BE交于點(diǎn)M，CE與DF交于點(diǎn)N，AF，BE分別平分∠BAD，∠ABC；CE，DF分別平分∠BCD，∠ADC，則四邊形MFNE是（ �。�
A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四邊形 D. 正方形
7.如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE垂直AC交AD于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是（ �。�
A. 3 B. 5 C. 2.4 D. 2.5
8.正方形四邊中點(diǎn)的連線(xiàn)圍成的四邊形（最準(zhǔn)確的說(shuō)法）一定是（ �。�
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四邊形
9.如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，OM∥AB交AD于點(diǎn)M，若OM=3，BC=10，則OB的長(zhǎng)為（ ）
A. 5 B. 4 C. D.
10.如圖，四邊形ABCD為菱形，AB=5，BD=8，AE⊥CD于E，則AE的長(zhǎng)為（ ）
A. B. C. D.
11.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，在各邊上順次截取AE=BF=CG=DH=5，則四邊形EFGH的面積是（ �。�
A. 30 B. 34 C. 36 D. 40
12.如圖，正方形ABCD中，以對(duì)角線(xiàn)AC為一邊作菱形AEFC，則∠FAB等于（ ）
A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 135°
二、填空題
13.如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，請(qǐng)你添加一個(gè)適當(dāng)?shù)臈l件________使其成為菱形（只填一個(gè)即可）．
14.如圖，剪兩張等寬對(duì)邊平行的紙條，隨意交叉疊放在一起，轉(zhuǎn)動(dòng)其中的一張，重合的部分構(gòu)成了一個(gè)四邊形，這個(gè)四邊形是________．
15.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線(xiàn)分別交AD和BC于點(diǎn)E、F，AB=2，BC=3，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______
16.已知正方形的周長(zhǎng)是8 ，則對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)是________．
17.如圖，BF平行于正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，點(diǎn)E在BF上，且AE=AC，CF∥AE，則∠BCF的度數(shù)為_(kāi)_______．
18.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA ， 對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O ， 若不增加任何字母與輔助線(xiàn)，要使四邊形ABCD是正方形，則還需增加一個(gè)條件是________
19.已知：如圖所示，E是正方形ABCD邊BC延長(zhǎng)線(xiàn)一點(diǎn)，若EC=AC，AE交CD于F，則∠AFC=________度．
20.如圖，矩形ABCD中，DE⊥AC于點(diǎn)E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=12，則DE的長(zhǎng)度是________ �。ńY(jié)果用根號(hào)表示）．
三、解答題
21.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，連接對(duì)角線(xiàn)AC，E、F是對(duì)角線(xiàn)AC上兩點(diǎn)，滿(mǎn)足AE=CF，求證：四邊形DEBF是平行四邊形．
22.如圖，菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BC相交于點(diǎn)O，H為AD邊中點(diǎn)，菱形ABCD的周長(zhǎng)為28，求OH的長(zhǎng)？
23.如圖，在▱ABCD中，∠DAB=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在CD，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且AE=AD，CF=CB．
（1）求證：四邊形AFCE是平行四邊形；
（2）若去掉已知條件“∠DAB=∠60°”，（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
24.四邊形ABCD是正方形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O．
（1）如圖1，點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與邊BC相交，連接AP，BN．
①依題意補(bǔ)全圖1；
②判斷AP與BN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，寫(xiě)出結(jié)論并加以證明；
（2）點(diǎn)P在AB延長(zhǎng)線(xiàn)上，且∠APO=30°，連接OP，以O(shè)P為一邊，作正方形OPMN，且邊ON與BC的延長(zhǎng)線(xiàn)恰交于點(diǎn)N，連接CM，若AB=2，求CM的長(zhǎng)（不必寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果，簡(jiǎn)述求CM長(zhǎng)的過(guò)程）
參考答案
一、選擇題
D A C A C B B C D C B A
二、填空題
13. AC⊥BD或∠AOB=90°或AB=BC 14. 菱形 15. 3
16. 4 17. 105°
18. AC＝BD或AB⊥BC（答案不唯一）
19. 112.5 20.
三、解答題
21. 證明：連接BD，交AC于點(diǎn)O， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵AE=CF，
∴OA?AE=OC?CF，
即OE=OF，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．
22. 解：在菱形ABCD中，AB=AD=BC=DC，AO=OC，
∵菱形的周長(zhǎng)為28，
∴AB=7，
∵H為AD邊的中點(diǎn)，
∴OH為△ABD的中位線(xiàn)，
∴OH= AB= ×7=3.5．
23. （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC∥AB，∠DCB=∠DAB=60°．
∴∠ADE=∠CBF=60°．
∵AE=AD，CF=CB，
∴△AED，△CFB是正三角形．
∴∠AEC=∠BFC=60°，∠EAF=∠FCE=120°．
∴四邊形AFCE是平行四邊形
（2）解：上述結(jié)論還成立． 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC∥AB，∠CDA=∠CBA，∠DCB=∠DAB，AD=BC，DC=AB．
∴∠ADE=∠CBF．
∵AE=AD，CF=CB，
∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF．
∴∠AED=∠CFB．
又∵AD=BC，
在△ADE和△CBF中．
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）．
∴∠AED=∠BFC，∠EAD=∠FCB．
又∵∠DAB=∠BCD，
∴∠EAF=∠FCE．
∴四邊形EAFC是平行四邊形．
24. （1）解：①補(bǔ)全圖形如圖1所示，
②結(jié)論：AP=BN，AP⊥BN．
理由：延長(zhǎng)NB交AP于H，交OP于K．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OB，AO⊥BO，
∴∠1+∠2=90°，
∵四邊形OPMN是正方形，
∴OP=ON，∠PON=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△APO和△BNO中，
，
∴△APO≌△BNO，
∴AP=BN，∴∠4=∠5，
在△OKN中，∠5+∠6=90°，
∵∠7=∠6，
∴∠4+∠7=90°，
∴∠PHK=90°，
∴AP⊥BN．
（2）解：解題思路如下：
a．首先證明△APO≌△BNO，AP=BN，∠OPA=ONB．
b．作OT⊥AB于T，MS⊥BC于S，由題意可知AT=TB=1，
c．由∠APO=30°，可得PT= ，BN=AP= +1，可得∠POT=∠MNS=60°．
d．由∠POT=∠MNS=60°，OP=MN，
可證，△OTP≌△NSM，
∴PT=MS= ，
∴CN=BN?BC= ?1，
∴SC=SN?CN=2? ，
在RT△MSC中，CM2=MS2+SC2 ，
∴MC的長(zhǎng)可求．
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