第一章 勾股定理
1.1探索勾股定理
專題一 有關(guān)勾股定理的折疊問題
1. 如圖，將邊長為8c的正方形ABCD折疊，
使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，
折痕為N，則線段CN長是（　�。�
A．3cB．4c
C．5cD．6c

2. 如圖，EF是正方形兩對邊中點(diǎn)的連線段，將∠A沿DK折疊，使它的頂點(diǎn)A落在EF上的G點(diǎn)，求∠DKG的度數(shù)．
3． 已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一個(gè)圓心角為45°，半徑長等于CA的扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，直線CE、CF分別與直線AB交于點(diǎn)、N．
（1）如圖①，當(dāng)A=BN時(shí)，將△AC沿C折疊，點(diǎn)A落在弧EF的中點(diǎn)P處，再將△BCN沿CN折疊，點(diǎn)B也恰好落在點(diǎn)P處，此時(shí)，P=A，PN=BN，△PN的形狀是_______________．線段A、BN、N之間的數(shù)量關(guān)系是______________________________；
（2）如圖②，當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C在∠ACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段N、A、BN之間的數(shù)量關(guān)系是_______________．試證明你的猜想；
（3）當(dāng)扇形CEF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)至圖③的位置時(shí)，線段N、A、BN之間的數(shù)量關(guān)系是_______________．（不要求證明）

① ② ③

專題二 勾股定理的證明
4．在教材中，我們通過數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了直角三角形的三邊關(guān)系，利用四個(gè)完全相同的直角三角形拼圖的方式驗(yàn)證了勾股定理的正確性．

問題1：以直角三角形的三邊為邊向外作等邊三角形，探究S′+ S″與S的關(guān)系（如圖1）．
問題2：以直角三角形的三邊為斜邊向外作等腰直角三角形，探究S′+S″與S的關(guān)系（如圖2）．
問題3：以直角三角形的三邊為直徑向外作半圓，探究S′+ S″與S的關(guān)系（如圖3）．

5. 如圖，是用硬紙板做成的兩種直角三角形各有若干個(gè)，圖① 中兩直角邊長分別為a和b，斜邊長為c；圖②中兩直角邊長為c．請你動(dòng)腦，將它們拼成能夠證明勾股定理的圖形．
（1）請你畫出一種圖形，并驗(yàn)證勾股定理．
（2）你非常聰明，能再拼出另外一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的圖形（無需證明）．

答案：
1．A 【解析】設(shè)CN=x c，則DN=（8-x）c. 由折疊的性質(zhì)知EN=DN=（8-x）c，
而EC= BC=4 c，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2，即（8-x）2=16+x2，
整理得16x=48，所以x=3．故選A．
2．解：∵DF= CD= DG，∴∠DGF=30°．∵∠EKG+∠KGE=90°，∠KGE+∠DGF=90°，
∴∠EKG=∠DGF=30°．∵2∠DKG+∠GKE=180°，∴∠DKG=75°．
3．解：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知：△CA≌△CP，△CNB≌△CNP．∴A=P，∠A=∠CP，PN=NB，∠B=∠CPN. ∴∠PN=∠A+∠B=90°，P=PN=A=BN.
故△PN是等腰直角三角形，A2+BN2=N2（或A=BN= N）．
（2）A2+BN2=N2.
證明:如圖,將△AC沿C折疊，得△DC，連DN，
則△AC≌△DC，∴CD=CA，D=A，∠DC=∠AC.
同理可知∠DCN=∠BCN，△DCN≌△BCN，DN=BN，
而∠DC=∠A=45°，∠CDN=∠B=45°，∴∠DN=90°，
∴D2+DN2=N2，故A2+BN2=N2．
（3）A2+BN2=N2；解法同（2）．
4．解：探究1：由等邊三角形的性質(zhì)知：S′= a2，S″= b2，S= c2，
則S′+ S″= （a2+b2）.因?yàn)閍2+b2=c2，所以S′+ S″=S．
探究2：由等腰直角三角形的性質(zhì)知：S′= a2，S″= b2，S= c2．
則S′+S″= （a2+b2）.因?yàn)閍2+b2=c2，所以S′+S″=S．
探究3：由圓的面積計(jì)算公式知：S′= πa2，S″= πb2，S= πc2．
則S′+ S″= π（a2+b2），因?yàn)閍2+b2=c2，所以S′+ S″=S．
5．解：（1）如圖所示，
根據(jù)正方形的面積可得（a+b）2=4× ab+c2，
即a2+b2=c2．

（2）如圖所示．

1.2一定是直角三角形嗎
專題 判斷三角形形狀
1. 已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，則它的形狀為（　�。�
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
2. 在△ABC中，a=2+n2，b=2-n2，c=2n，且＞n＞0，
（1）你能判斷△ABC的最長邊嗎？請說明理由；
（2）△ABC是什么三角形，請通過計(jì)算的方法說明．

3. 張老師在一次“探究性學(xué)習(xí)”課中，設(shè)計(jì)了如下數(shù)表：
n2345…
a22-132-142-152-1…
b46810…
c22+132+142+152+1…
（1） 請你分別觀察a、b、c與n之間的關(guān)系，并用含自然數(shù)n （n＞1）的代數(shù)式表示a，b，c．
（2）猜想：以a、b、c為邊的三角形是否為直角三角形？請證明你的猜想．

答案：
1．D 【解析】 ∵a2c2-b2c2=a4-b4，
∴（a2c2-b2c2）-（a4-b4）=0，
∴c2（a+b）（a-b）-（a+b）（a-b）（a2+b2）=0，
∴（a+b）（a-b）（c2-a2-b2）=0，
∵a+b≠0，
∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2，
即它是等腰三角形或直角三角形．
故選D．
2．解：（1）a是最長邊，其理由是：
∵a-b=（2+n2）-（2-n2）=2n2＞0，
a-c=（2+n2）-2n=（-n）2＞0，
∴a＞b，a＞c，
∴a是最長邊.
（2）△ABC是直角三角形，其理由是：
∵b2+c2=（2-n2）2+（2n）2=（2+n2）2=a2，
∴△ABC是直角三角形．
3．解：（1）由圖表可以得出：
∵n=2時(shí)，a=22-1，b=2×2，c=22+1；
n=3時(shí)，a=32-1，b=2×3，c=32+1；
n=4時(shí)，a=42-1，b=2×4，c=42+1.
∴a=n2-1，b=2n，c=n2+1．
（2）以a、b、c為邊的三角形是直角三角形.
∵a2+b2=（n2-1）2+4n2=n4+2n2+1，
c2=（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴a2+b2=c2，
∴以a、b、c為邊的三角形是直角三角形．

1.3勾股定理的應(yīng)用
專題 最短路徑的探究
1. 編制一個(gè)底面周長為a、高為b的圓柱形花柱架，需用沿圓柱
表面繞織一周的竹條若干根，如圖中的A1C1B1，A2C2B2，…，則
每一根這樣的竹條的長度最少是______________.
2. 請下列材料：
問題：如圖（1），一圓柱的底面半徑和高均為5d，BC是底面
直徑，求一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)沿圓柱表面爬行到點(diǎn)C的最短路線.
小明設(shè)計(jì)了兩條路線：
路線1：側(cè)面展開圖中的線段AC.如下圖（2）所示：

設(shè)路線1的長度為 ，則 ；
路線2：高線AB + 底面直徑BC，如上圖（1）所示，
設(shè)路線2的長度為 ，
則 .
.
∴ ∴
所以要選擇路線2較短。
（1）小明對上述結(jié)論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的
底面半徑為1d，高AB為5d”繼續(xù)按前面的方式進(jìn)行計(jì)算.
請你幫小明完成下面的計(jì)算：
路線1： ___________________；
路線2： __________ ,
∵ , ∴ ( 填>或<).
所以應(yīng)選擇路線____________(填1或2)較短.
(2)請你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當(dāng)圓柱的底面半徑為r,高為h時(shí)，應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點(diǎn)的路線最短.

3. 探究活動(dòng):有一圓柱形食品盒，它的高等于8c，底面直徑為 c，螞蟻爬行的速度為2c/s.
（1）如果在盒內(nèi)下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對面中部點(diǎn)B處的食物，那么它至少需要多少時(shí)間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)，結(jié)果可含根號）

（2）如果在盒外下底面的A處有一只螞蟻，它想吃到盒內(nèi)對面中部點(diǎn)B處的食物，那么它至少需要多少時(shí)間？（盒的厚度和螞蟻的大小忽略不計(jì)）

答案：
1. 【解析】 底面周長為a、高為b的圓柱的側(cè)面展開圖為矩形,它的邊長分別為a,b，所以對角線長為 ，所以每一根這樣的竹條的長度最少是 .
2.解：（1）25+π2 49 ＜ ＜ 1
（2）l12=AC2=AB2+BC2=h2+（πr）2，
l22=（AB+BC）2=（h+2r）2，
l12-l22=h2+（πr）2-（h+2r）2=r（π2r-4r-4h）=r[（π2-4）r-4h].
r恒大于0，只需看后面的式子即可．
當(dāng)r= 時(shí)，l12=l22；
當(dāng)r＞ 時(shí)，l12＞l22；
當(dāng)r＜ 時(shí)，l12＜l22．
3.解：（1）如圖，AC=π• ÷2=9c，BC=4c，則螞蟻?zhàn)哌^的最短路徑為：AB= = c，所以 ÷2= （s），即至少需要 s．

（2）如圖，作B關(guān)于EF的對稱點(diǎn)D，連接AD，交EF于點(diǎn)P，連接BP，則
螞蟻?zhàn)叩淖疃搪烦淌茿P+PB=AD，由圖可知，AC=9c，CD=8+4=12（c）．
所以AD= =15（c），15÷2=7.5（s）
即至少需要7.5s．

本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chuer/209031.html

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