第十九章矩形，菱形與正方形章末測試（二）
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．對角線相等且互相平分的四邊形是（ �。�
A．一般四邊形 B．平行四邊形 C．矩形 D．菱形
2．下列說法中不能判定四邊形是矩形的是（ �。�
A．四個角都相等的四邊形 B．有一個角為90°的平行四邊形
C．對角線相等的平行四邊形 D．對角線互相平分的四邊形
3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分別延長BA，CA到D，E點，使DA=AB，EA=CA，則四邊形BCDE是（ �。�
A．任意四邊形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
4．在平行四邊形ABCD中，增加一個條件能使它成為矩形，則增加的條件是（ �。�
A．對角線互相平分 B．AB=BC C．AB= AC D．∠A+∠C=180°
5．如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30°的角，則重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（ �。�
A．2 B． C．1 D．
6．下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（ �。�
A．AC⊥BD，AC與BD互相平分 B．AB=BC=CD=DA
C．AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
7．已知四邊形ABCD是平行四邊形，若要使它成為正方形，則應(yīng)增加的條件是（ �。�
A．AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D．AC平分∠BAD
8．△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（ �。�
A．2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D．2cm，3cm，5cm
二．填空題（共6小題，每題3分）
9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再補(bǔ)充一個條件，如∠A= _________ 度時，就能推出四邊形ABCD是矩形．
10．如圖，已知MN∥PQ，EF與MN，PQ分別交于A、C兩點，過A、C兩點作兩組內(nèi)錯角的平分線，分別交于點B、D，則四邊形ABCD是 _________ ．
11．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是 _________ ．
12．在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，則四邊形ABCD是 _________�。�
13．一組鄰邊相等的 _________ 是正方形，有一個角是 _________ 角的菱形是正方形．
14．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一動點，DE∥AC，DF∥AB，對△ABC及線段AD添加條件 _________ 使得四邊形AEFD是正方形．
三．解答題（共11小題）
15．（6分）如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．過點C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG．
（1）求證：AC=FG．
（2）當(dāng)AC⊥FG時，△ABC應(yīng)是怎樣的三角形？為什么？
16．（6分）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形：△ABD，△BCE，△ACF，請解答下列問題：
（1）求證：四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是矩形？
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是菱形？
（4）對于任意△ABC，▱AFED是否總存在？
17．（6分）如圖，BC是等腰三角形BED底邊DE上的高，四邊形ABEC是平行四邊形．判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．
18．（6分）如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F．
（1）求證：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，連接AC，BE．求證：四邊形ABEC是矩形．
19．（6分）已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分別為點D、E、F、G，DF、EG相交于點P．判斷四邊形MDPE的形狀，并說明理由．
20．（8分）如圖：在平行四邊形ABCD中，AC的垂直平分線分別交CD、AB于E、F兩點，交AC于O點，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
21．（8分）如圖所示，▱ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、BC、AC分別交于點E、F、O，連接AF，EC，則四邊形AFCE是菱形嗎？為什么？
22．（8分）在△ABC中，點O是AC邊上一動點，點P在BC延長線上，過點O的直線DE∥BC交∠ACB與∠ACP的平分線于點D、E．
（1）點O在什么位置時，四邊形ADCE是矩形？說明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCE是正方形？為什么？
23．（8分）如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點O在邊AC上運(yùn) 動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
（3）當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
24．（8分）如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說明理由；
（2）當(dāng)點O運(yùn)動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF會是正方形．
25．（8分）（1）如圖矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，過點D作DP∥OC，且DP=OC，連接CP，判斷四邊形CODP的形狀并說明理由．
（2）如果題目中的矩形變?yōu)榱庑�，結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁�？說明理由．
（3）如果題目中的矩形變?yōu)檎叫�，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁�？說明理由。
第十九章矩形，菱形與正方形章末測試（二）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．對角線相等且互相平分的四邊形是（ ）
A． 一般四邊形 B．平行四邊形 C．矩形 D． 菱形
考點： 矩形的判定．
分析： 根據(jù)矩形的判定（矩形的對角線 相等且互相平分）可得C正確．
解答： 解：因為對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，
所以C正確，
故選C．
點評： 本題考查的是矩形的判定定理（矩形的對角線相等且互相平分），難度簡單．
2．下列說法中不能判定四邊形是矩形的是（ ）
A． 四個角都相等的四邊形 B． 有一個角為90°的平行四邊形
C． 對角線相等的平行四邊形 D． 對角線互相平分的四邊形
考點： 矩形的判定．
專題： 常規(guī)題型．
分析： 矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．據(jù)此判斷．
解答： 解：根據(jù)矩形的判定，可得A、B、C可判定四邊形為矩形，D不能．
故選D．
點評： 本題考查的是矩形的判定以及矩形的定理，難度簡單．
3．已知，在等腰△ABC中，AB=AC，分別延長BA，CA到D，E點，使DA=AB，EA=CA，則四邊形BCDE是（ ）
A． 任意四邊形 B．矩形 C．菱形 D． 正方形
考點： 矩形的判定．
分析： 由一組對邊平行且相等可得其為平行四邊形，再由一角為90°且鄰邊不等可得其為矩形．
解答： 解：如圖所示，
∵AC=AE，AB=AD
∴四邊形BCDE為平行四邊形，
∵AB=AE，∴∠AEB=∠ABE，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°
∠ABC=∠ACB
∴∠ABC+∠EBA=90°
∴四邊形BCDE為矩形．
故選B．
點評： 熟練掌握矩形的判定，會證明一個四邊形是矩形所滿足的條件．
4．在平行四邊形ABCD中，增加一個條件能使它成為矩形，則增加的條件是（ �。�
A． 對角線互相平分 B．AB=BC C．AB= AC D． ∠A+∠C=180°
考點： 矩形的判定．
分析： 根據(jù)矩形的判定（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），所以在平行四邊形的基礎(chǔ)上，只要滿足一個角為直角即可．
解答： 解：答案D中∠A與∠C為對角，∠A=∠C，又∠A+∠C=180°，
∴∠A=∠C=90°，又四邊形為平行四邊形，所以可得其為矩形；故該選項正確，
故選D．
點評： 本題考查 了矩形的判定，矩形的判定定理有：（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．
5．如圖，若兩條寬度為1的帶子相交成30°的角，則重疊部分（圖中陰影部分）的面積是（ �。�
A． 2 B． C．1 D．
考點： 菱形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．
專題： 計算題．
分析： 因為在直角三角形中30度角對應(yīng)的直角邊是斜邊的一半，已知菱形的高為1，可得邊長為2，所以面積為2．
解答： 解：因為在直角三角形中30度角對應(yīng)的直角邊是斜邊的一半，
在題目中的菱形中，已知菱形的高為1，可得邊長為2，
所以面積為2．
故選：A．
點評： 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握在直角三角形中30度角對應(yīng)的直角邊是斜邊的一半．
6．下列條件中，不能判定四邊形ABCD為菱形的是（ ）
A． AC⊥BD，AC與BD互相平分 B． AB=BC=CD=DA
C． AB=BC，AD=CD，AC⊥BD D． AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
考點： 菱形的判定．
分析： 直接利用菱形的判定定理求解即可求得答案，注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．
解答： 解：A、∵AC與BD互相平分，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形，故正確；
B、∵AB=BC=CD=DA，
∴四邊形ABCD為菱形，故 正確；
C、AB=BC，AD=CD，AC⊥BD，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故錯誤；
D、∵AB=CD，AD=BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形，故正確；
故選C．
點評： 此題考查了菱形的判定．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．
7．已知四邊形ABCD是平行四邊形，若要使它成為正方形，則應(yīng)增加的條件是（ �。�
A． AC⊥BD B．AC=BD C．AC=BD且AC⊥BD D． AC平分∠BAD
考點： 正方形的判定．
分析： 由四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，可判定四邊形ABCD是菱形，又由AC=BD，即 可判定四邊形ABCD是正方形．注意掌握排除法在選擇題中的應(yīng)用．
解答： 解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形，故錯誤；
B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形，故錯誤；
C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∵AC=BD，
∴四邊形ABCD是正方形，故正確；
D、∵四邊形ABCD是平行四 邊形，AC平分∠BAD，
∴四邊形ABCD是矩形，故錯誤．
故選C．
點評： 此題考查了正方形的判定．此題比較簡單，注意熟記判定定理是解此題的關(guān)鍵．
8．△ABC中，∠C=90°，點O為△ABC三條角平分線的交點，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點O到三邊AB、AC、BC的距離為（ �。�
A． 2cm，2cm，2cm B．3cm，3cm，3cm C．4cm，4cm，4cm D． 2cm， 3cm，5cm
考點： 正方形的判定與性質(zhì)．
分析： 連接OA，OB，OC，利用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可知△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，又因為點O到三邊AB、AC、BC的距離是CD，∴AB=8?CD+6?CD=10，解得CD=2，所以點O到三邊AB、AC、BC的距離為2．
解答： 解：連接OA，OB，OC，則△BDO≌△BFO，△CDO≌△CEO，△AEO≌△AFO，
∴BD=BF，CD=CE，AE=AF，
又∵∠C=90，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，且O為△ABC三條角平分線的交點
∴四邊形OECD是正方形，
則點O到三邊AB、AC、BC的距離=CD，
∴AB=8?CD+6?CD=?2CD+14，又根據(jù)勾股定理可得：AB=10，
即?2CD+14=10
∴CD=2，
即點O到三邊AB、AC、BC的距離為2cm．
故選A
點評： 本題主要考查垂直平分線上的點到線段兩段的距離相等的性質(zhì)和邊的和差關(guān)系．
二．填空題（共6小題）
9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，若再補(bǔ)充一個條件，如∠A= 90 度時，就能推出四邊形ABCD是矩形．
考點： 矩形的判定．
專題： 推理填空題．
分析： 矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形；
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形，據(jù)此分析可得．
解答： 解：∵四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵有一個角為90°的平行四邊形是矩形，
∴添加∠A=90°就能推出四邊形ABCD是矩形，
故答案為：90．
點評： 本題考查了矩形的判定，解題的關(guān)鍵是了解有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
10．如圖，已知MN∥PQ，EF與MN，PQ分別交于A、C兩點，過A、C兩點作兩組內(nèi)錯角的平分線，分別交于點B、D，則四邊形ABCD是 矩形�。�
考點： 矩形的判定；平行線的性質(zhì)．
專題： 幾何圖形問題；推理填空題．
分析： 首先推出∠BAC=∠DCA，繼而推出AB∥CD；推出∠BCA=∠DAC，進(jìn)而推出AD∥CB，因此四邊形ABCD平行四邊形，再證明∠ABC=90°，可得平行四邊形ABCD是矩形．
解答： 證明：∵M(jìn)N∥PQ，
∴∠MAC=∠ACQ、∠ACP=∠NAC，
∵AB、CD分別平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC= ∠MAC、∠DCA= ∠ACQ，
又∵∠MAC=∠ACQ，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分別平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA= ∠ACP、∠DAC= ∠NAC，
又∵∠ACP=∠NAC，
∴∠BCA=∠DAC，
∴AD∥CB，
又∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD平行四邊形，
∵∠BAC= ∠MAC，∠ACB= ∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP=180°，
∴∠BAC+∠ACP=90°，
∴∠ABC=90°，
∴平行四邊形ABCD是矩形，
故答案為：矩形．
點評： 此題主要考查了矩形的判定，關(guān)鍵是掌握有一個角是直角的平行四邊形是矩形，難度不大，重點考查基本定理的應(yīng)用．
11．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P．若四邊形ABCD的面積是18，則DP的長是 3 �。�
考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
分析： 過點D作DE⊥DP交BC的延長線于E，先判斷出四邊形DPBE是矩形，再根據(jù)等角的余角相等求出∠ADP =∠CDE，再利用“角角邊”證明△ADP和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DE=DP，然后判斷出四邊形DPBE是正方形，再根據(jù)正方形的面積公式解答即可．
解答： 解：如圖，過點D作DE⊥DP交BC的延長線于E，
∵∠ADC=∠ABC=90°，
∴四邊形DPBE是矩形，
∵∠CDE+∠CDP=90°，∠ADC=90°，
∴∠ADP+∠CDP=90°，
∴∠ADP=∠CDE，
∵DP⊥AB，
∴∠APD=90°，
∴∠APD=∠E=90°，
在△ADP和△CDE中，
，
∴△ADP≌△CDE（AAS），
∴DE=DP，四邊形ABCD的面積=四邊形DPBE的面積=18，
∴矩形DPBE是正方形，
∴DP= =3 ．
故答案為：3 ．
點評： 本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形和正方形是解題的關(guān)鍵．
12．在四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D，則四邊形ABCD是 矩形 ．
考點： 正方形的判定．
分析： 根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360就可以求出就可以求出，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，從而得出四邊形ABCD是矩形．
解答： 解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，且∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°．
∴四邊形ABCD是矩形．
故答案為：矩形
點評： 本題考查了四邊形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，矩形的判定的運(yùn)用，解答時求出每個角為90°是關(guān)鍵．
13．一組鄰邊相等的 矩形 是正方形，有一個角是 直 角的菱形是正方形．
考點： 正方形的判定．
分析： 根據(jù)正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形是正方形，有一個角是直角的菱形是正方形，即可求得答案．
解答： 解：一組鄰邊相等的矩形是正方形，有一個角是直角的菱形是正方形．
故答案為：矩形，直．
點評： 此題考查了正方形的定義．此題比較簡單，注意熟記正方形的定義是解此題的關(guān)鍵．
14．如圖，在△ABC中，點D是邊BC上一動點，DE∥AC，DF∥AB，對△ABC及線段AD添加條件 △ABC是等腰直角三角形，AD是角平分線 使得四邊形AEFD是正方形．
考點： 正方形的判定．
分析： 由DE∥AC，DF∥AB，易得四邊形AEDF是平行四邊形，由∠BAC=90°，可得四邊形AEDF是矩形，又由鄰邊相等，即可判定四邊形AEFD是正方形．
解答： 解：添加條件：△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分線．
理由：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF是平行四邊形，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF是矩形，
∵AD是角平分線，
∴∠ADE=∠DAE=45°，
∴AE=DE，
∴四邊形AEFD是正方形．
故答案為：：△ABC是等腰直角三角形，AD是角平分線．
點評： 此題考查了正方形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
三．解答題（共11小題）
15．如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．過點C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG．
（1）求證：AC=FG．
（2）當(dāng)AC⊥FG時，△ABC應(yīng)是怎樣的三角形？為什么？
考點： 矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．
專題： 證明題．
分析： 先根據(jù)題意推理出四邊形AFCG是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得到對角線相等；由第一問的結(jié)論和AC⊥FG得到四邊形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．
解答： （1）證明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，
∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，
∴AB=AC；
AF是BC邊上的中線，
∴AF⊥BC，
∵CG⊥AD，AD∥BC，
∴CG⊥BC，
∴AF∥CG，
∴四邊形AFCG是平行四邊形，
∵∠AFC=90°，
∴四邊形AFCG是矩形；
∴AC=FG．
（2）解：當(dāng)AC⊥FG時，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
∵四邊形AFCG是矩形，
∴四邊形AFCG是正方形，∠ACB=45°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
點評： 該題目考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，知識點比較多，注意解答的思路要清晰．
16．如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同側(cè)分別作三個等邊三角形：△ABD，△BCE，△ACF，請解答下列問題：
（1）求證：四邊形AFED是平行四邊形；
（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是矩形？
（3）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFED是菱形？
（4）對于任意△ABC，▱AFED是否總存在？
考點： 矩形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定．
分析： （1）當(dāng)一個圖中出現(xiàn)2個等邊三角形時就可以找出一對全等三角形，可得出一對對邊相等，進(jìn)而往四邊形ADEF是平行四邊形方面進(jìn)行證明．
（2）四邊形ADEF是矩形，那么它的每個內(nèi)角是90°，那么可利用在點A處組成的周角算出∠BAC的度數(shù)．
（3）AB=AC，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（4）當(dāng)∠BAC=60°時四邊形不存在．
解答： （1）證明：四邊形ADEF是平行四邊形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°?∠EBA，∠ABC=60°?∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四邊形ADEF為平行四邊形；
（2）解：若四邊形ADEF為矩形，則∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°?∠DAB?∠FAC?∠DAF=360°?60°?60°?90°=150°，
∴當(dāng)△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；
（3）解： 當(dāng)∠BAC≠60°且AB=AC時，四邊形AFED是菱形，
∵此時AB=AC=AF=AD，四邊形AFED是平行四邊形，
∴四邊形AFED是菱形；
（4）解：當(dāng)∠BAC=60°時，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在．
點評： 本題考查了平行四邊形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，本題主要應(yīng)用的知識點為：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，一個角是直角的平行四邊形是矩形．
17．如圖，BC是等腰三角形BED底邊DE上的高，四邊形ABEC是平行四邊形．判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．
考點： 矩形的判定；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可以證得AB與CD平行且相等，則四邊形ABCD是平行四邊形，再證得對角線相等即可證得．
解答： 解：四邊形ABCD是矩形，
理由：∵BC是等腰△BED底邊ED上的高，
∴EC=CD，
∵四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CE=CD，AC=BE，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵AC=BE，BE=BD，
∴AC=BD，
∴四邊形ABCD是矩形．
點評： 本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定，關(guān)鍵是掌握對角線相等的平 行四邊形是矩形．
18．如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F．
（1）求證：AC=BE；
（2）若∠AFC=2∠D，連接AC，BE．求證：四邊形ABEC是矩形．
考點： 矩形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．
專題： 幾何圖形問題；證明題．
分析： （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB∥CD，AB=CD，然后根據(jù)CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷即可；
（2）由（1）得的結(jié)論先證得四邊形ABEC是平行四邊形，通過角的關(guān)系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得證．
解 答： 證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵CE=DC，
∴AB=EC，AB∥EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴AC=BE；
（2）∵AB=EC，AB∥EC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴FA=FE，F(xiàn)B=FC，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠D，
又∵∠AFC=2∠D，
∴∠AFC=2∠ABC，
∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，
∴∠ABC=∠BAF，
∴FA=FB，
∴FA=FE=FB=FC，
∴AE=BC，
∴四邊形ABEC是矩形．
點評： 此題考查的知識點是平行四邊形的判定與性質(zhì)和性質(zhì)及矩形的判定，關(guān)鍵是先由平行四邊形的性質(zhì)證三角形全等，然后推出平行四邊形通過角的關(guān)系證矩形．
19．已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，M是BC的中點，MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，垂足分別為點D、E、F、G，DF、EG相交于點P．判斷四邊形MDPE的形狀，并說明理由．
考點： 菱形的判定．
專題： 證明題．
分析： 根據(jù)MD⊥AB，ME⊥AC，DF⊥AC，EG⊥AB，先推得四邊形MDPE為平行四形，再根據(jù)AB=AC，M是BC的中點，得到MD=ME，由“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”證明．
解答： 證明：四邊形MDPE為菱形，理由：
連接AM．
∵M(jìn)E⊥AC，DF⊥AC，
∴ME∥DF，
∵M(jìn)D⊥AB，EG⊥AB，
∴MD∥EG，
∴四邊形MDPE是平行四邊形；
∵AB=AC，M是BC的中點，
∴AM是角平分線，
∴MD=ME，
∴四邊形MDPE為菱形．
點評： 菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．
20．如圖：在平行四邊形ABCD中，AC的垂直平分線分別交C D、AB于E、F兩點，交AC于O點，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
考點： 菱形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AD∥BC，得出∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，根據(jù)AAS證△AEO≌△CFO，推出OE=OF即可．
解答： 證明：：四邊形AECF的形狀是菱形，
理由是：∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAO=∠ACF，∠AEO=∠CFO，
∵EF過AC的中點O，
∴OA=OC，
在△AEO和△CFO中，
，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE=OF，
∵OA=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵EF⊥AC，
∴四邊形AECF是菱形．
點評： 本題考查了平行線性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形、菱形的判定等知識點的應(yīng)用，能熟練地運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，題型較好，具有一定的代表性，但難度不大．
21．如圖所示，▱ABCD的對角線AC的垂直平分線EF與AD、BC、AC分別交于點E、F、O，連接AF，EC，則四邊形AFCE是菱形嗎？為什么？
考點： 菱形的判定．
專題： 證明題．
分析： 要證四邊形AFCE是菱形，只需通過定義證明其四邊相等即可．
解答： 解：四邊形AFCE是菱形．
∵點E在AC的垂直平分線上，
∴AE=EC．
同理，AF=FC．
∴∠1=∠3．
又∵AE∥FC，
∴∠1=∠2．
∴∠2=∠3．
又∵CO⊥EF，
∴∠COF=∠COE=90°，
∴△COF≌△COE．
∴CF=CE．
∴AE=EC=CF=FA．
∴四邊形AFCE是菱形．
點評： 菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：
①定義；
②四邊相等；
③對角線互相垂直平分．
22．在△ABC中，點O是AC邊上一動點，點P在BC延長線上，過點O的直線DE∥BC交∠ACB與∠ACP的平分線于點D、E．
（1）點O在什么位置時，四邊形ADCE是矩形？說明理由．
（2）在（1）的條件下，當(dāng)AC與BC滿足什么條件時，四邊形ADCE是正方形？為什么？
考點： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）根據(jù)CE平分∠ACP，DE∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECP，再根據(jù)等邊對等角得OE=OC，同理OC=OD，可得EO=DO，再有條件AO=CO，可得到四邊形ADCE為平行四邊形，再證明∠DCE=90°，可利用矩形的判定解答，即有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形；
（2）利用正方形的判定得出DE⊥AC，進(jìn)而得出答案．
解答： 解：（1）當(dāng)O為AC的中點則四邊形ADCE是矩形；
理由：∵CE平分∠ACP，
∴∠ACE=∠PCE，
∵DE∥BC，
∴∠OEC=∠ECP，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理，OC=OD，
∴OD=OE．
∵AO=CO，EO=DO，
∴四邊形ADCE為平行四邊形，
∵DC、CE是∠ACB與∠ACP的平分線，
∴∠DCE=90°，
∴四邊形AECF是矩形；
（2）當(dāng)AC⊥BC時，四邊形ADCE是正方形．
理由：∵∠BCA=90°，
∵DE∥CB，
∴∠DOA=90°，
則DE⊥AC，
∴矩形AECF是正方形．
點評： 此題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的判定以及正方形的判定等知識，解決問題的關(guān)鍵是證明EO=DO和∠DCF=90°．
23．如圖，△ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MN∥BC．設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）求證：OE=OF；
（2）當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由．
（3）當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到何處，且△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形？
考點： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)AO=CO，EO=FO可得四邊形AECF平行四邊形，再證明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可；
（3）當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到AC中點時，若∠ACB=90°，四邊形AECF為正方形，首先證明為矩形，再證明AC⊥EF根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形可得結(jié)論．
解答： （1）證明：∵M(jìn)N交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵M(jìn)N∥BC，
∴ ∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，F(xiàn)O=CO，
∴OE=OF；
（2）當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到AC中點時，四邊形AECF是矩形．
證明：當(dāng)O為AC 的中點時，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四邊形AECF是矩形．
（3）當(dāng)點O在邊AC上運(yùn)動到AC中點時，若∠ACB=90°，四邊形AECF為正方形．
證明：由（2）可得點O在邊AC上運(yùn)動到AC中點時平行四邊形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，
∴∠2=45°，
∵平行四邊形AECF是矩形，
∴EO=CO，
∴∠1=∠2=45°，
∴∠MOC=90°，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF是正方形．
點評： 此題主要考查了矩形和正方形的判定，關(guān)鍵是掌握矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
24．如圖，△ABC中，點O是AC邊上的一個動點，過點O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點E，交∠ACB的外角平分線于點F．
（1）判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說明理由；
（2）當(dāng)點O運(yùn)動到何處時，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF會是正方形．
考點： 正方形的判定；矩形的判定．
分析： （1）利用角平分線的性質(zhì)的得出，∠1=∠2，進(jìn)而得出，∠3=∠2，即可得出OE與OF的大小關(guān)系；
（2）首先的很粗四邊形AECF是平行四邊形，進(jìn)而得出∠ECF=90度，再利用矩形的判定得出即可；
（3）由（2）證明可知，當(dāng)點O運(yùn)動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，進(jìn)而得出AC⊥MN，即可得出答案．
解答： （1）證明：∵CE平分∠ACB，∴∠1=∠2，
又∵M(jìn)N∥BC，
∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，
∴EO=CO，同理，F(xiàn)O=CO，
∴EO=FO．
（2）解：當(dāng)點O運(yùn)動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形．
理由：∵EO=FO，點O是AC的中點．∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，∴∠2+∠4= ×180°=90°．
即∠ECF=90度，∴平行四邊形AECF是矩形．
（3）解：當(dāng)△ABC是直角三角形時，即∠ACB=90°時，四邊形AECF會是正方形，
理由：由（2）證明可知，當(dāng)點O運(yùn)動到AC的中點時，四邊形AECF是矩形，
∵∠ACB=90°，CE、CN分別是∠ACB與∠ACB的外角平分線，
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，
∴AC⊥MN，
∴四邊形AECF是正方形．
點評： 此題主要考查了矩形的判定、平行四邊形的判定以及正方形的判定等知識，正確區(qū)分它們的定義是解題關(guān)鍵．
25．（1）如圖矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，過點D作DP∥OC，且DP=OC，連接CP，判斷四邊形CODP的形狀并說明理由．
（2）如果題目中的矩形變?yōu)榱庑�，結(jié)論應(yīng)變?yōu)槭裁矗空f明理由．
（3）如果題目中的矩形變?yōu)檎叫�，結(jié)論又應(yīng)變?yōu)槭裁�？說明理由．
考點： 正方形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．
分析： （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=OC，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定推出即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出∠DOC=90°，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定推出即可；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OD=OC，∠DOC=90°，根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形CODP是平行四邊形，根據(jù)正方形的判定推出即可；
解答： 解：（1）四邊形CODP的形狀是菱形，
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴OC=OD，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四邊形CODP是平行四邊形，
∵OC=OD，
∴平行四邊形CODP是菱形；
（2）四邊形CODP的形狀是矩形，
理由是：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠DOC=90°，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四邊形CODP是平行四邊形，
∵∠DOC=90°，
∴平行四邊形CODP是矩形；
（3）四邊形CODP的形狀是正方形，
理由是：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∴∠DOC=90°，OD=OC，
∵DP∥OC，DP=OC，
∴四邊形CODP是平行四邊形，
∵∠DOC=90°，OD=OC
∴平行四邊形CODP是正方形．
點評： 本題考查了平行四邊形的判定，矩形、菱形、正方形的性質(zhì)和判定，主要考查學(xué)生的猜想能力和推理能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chuer/261683.html
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