第十九章矩形，菱形與正方形章末測試（一）
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，則DH的長是（ �。�
A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5
2．下列說法：①矩形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸；②兩條對角線相等的四邊形是矩形；③有兩個角相等的平行四邊形是矩形；④兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；⑤兩條對角線互相垂直平分的四邊形是矩形．其中，正確的有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3．不能判斷四邊形ABCD是矩形的是（0為對角線的交點）（ �。�
A．AB=CD，AD=BC，∠A=90° B．OA=OB=OC=OD
C．AB CD，AC=BD D．AB CD，OA=OC，OB=OD
4．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加適當?shù)臈l件使四邊形ABCD成為菱形．下列添加的條件不正確的是（ �。�
A．AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D．BO=DO
5．能判定四邊形ABCD是菱形的條件是（ ）
A．對角線AC平分對角線BD，且AC⊥BD
B．對角線AC平分對角線BD，且∠A=∠C
C．對角線AC平分對角線BD，且平分∠A和∠C
D．對角線AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C
6．已知如圖，在矩形ABCD中有兩個一條邊長為1的平行四邊形．則它們的公共部分（即陰影部分）的面積是（ �。�
A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1
7．矩形各內(nèi)角的平分線能圍成一個（ ）
A．矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D．正方形
8．如果一個平行四邊形要成為正方形，需增加的條件是（ �。�
A．對角線互相垂直且相等 B．對角線互相垂直
C．對角線相等 D．對角線互相平分
二．填空題（共6小題，每題3分）
9．如圖，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，則它的面積為 _________�。�
10．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，設有下列條件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，則在下列推理不成立的是 _________
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④11． _________ 的矩形是正方形， _________ 的菱形是正方形．
12．若四邊形ABCD是矩形，請補充條件 _________�。▽懸粋�即可），使矩形ABCD是正方形．
13．如圖，在△ABC中，點D在BC上過點D分別作AB、AC的平行線，分別交AC、AB于點E、F
①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC應具備條件： _________��；
②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC應具備條件： _________ ．
14．在矩形ABCD中，M為AD邊的中點，P為BC上一點，PE⊥MC，PF⊥MB，當AB、BC滿足條件 _________ 時，四邊形PEMF為矩形．
三．解答題（共11小題）
15．（6分）如圖所示，順次延長正方形ABCD的各邊AB，BC，CD，DA至E，F(xiàn)，G，H，且使BE=CF=DG=AH．
求證：四邊形EF GH是正方形．
16．（6分）已知：如圖，△ABC中，D是BC上任意一點，DE∥AC，DF∥AB．
①試說明四邊形AEDF的形狀，并說明理由．
②連接AD，當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，為什么？
③在②的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形，不說明理由．
17．（6分）已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E，求證：四邊形ADCE是矩形．
18．（6分）已知：如圖，M為▱ABCD的AD邊上的中點，且MB=MC，
求證：▱ABCD是矩形．
19．（6分）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四邊形ABCD的面積．
20．（8分）如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．過點C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG．
（1）求證：AC=FG．
（2）當AC⊥F G時，△ABC應是怎樣的三角形？為什么？
21．（8分）如圖，E是等邊△ABC的BC邊上一點，以AE為邊作等邊△ AEF，連接CF，在CF延長線取一點D，使∠DAF=∠EFC．試判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．
22．（8分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于點E．試說明：四邊形OBEC是菱形．
23．（8分）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判斷四邊形CODE的形狀，并計算其周長．
24．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于N，連接MN，DN．
（1）求證：四邊形BMDN是菱形；
（2）若AB=6，BC=8，求MD的長．
25．（8分）如圖所示，有四個動點P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD的四個頂點出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣速度向B，C，D，A各點移動．
（1）試判斷四邊形PQEF是否是正方形，并證明；
（2）PE是否總過某一定點，并說明理由．
第十九章矩形，菱形與正方形章末測試（一）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，則DH的長是（ �。�
A． 7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5
考點： 矩形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形．
專題： 幾何綜合題．
分析： 過C作DH的垂線CE交DH于E，證明四邊形BCEH是矩形．所以求出HE的長；再求出∠DCE=30°，又因為CD=11，所以求出DE，進而求出DH的長．
解答： 解：過C作DH的垂線CE交DH于E，
∵DH⊥AB，CB⊥AB，
∴CB∥DH又CE⊥DH，
∴四邊形BCEH是矩形．
∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
又∵∠ADC=90°
∴∠CDE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴在Rt△CED中，DE= CD=5.5，
∴DH=2+5.5=7.5．
故選A．
點評： 本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形的一個重要性質(zhì)：30°的銳角所對的直角邊是斜邊的一半；以及勾股定理的運用．
2．下列說法：①矩形是軸對稱圖形，兩條對角線所在的直線是它的對稱軸；②兩條對角線相等的四邊形是矩形；③有兩個角相等的平行四邊形是矩形；④兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；⑤兩條對角線互相垂直平分的四邊形是矩形．其中，正確的有（ ）
A． 1個 B．2個 C．3個 D． 4個
考點： 矩形的判定與性質(zhì)．
分析： 直接利用矩形的性質(zhì)與判定定理求解即可求得答案．
解答： 解：①矩形是軸對稱圖形，兩組對邊的中點的連線所在的直線是它的對稱軸，故錯誤；
②兩條對角線相等的平行四邊形是矩形，故錯誤；
③有兩個鄰角相等的平行四邊形是矩形，故錯誤；
④兩條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；正確；
⑤兩條對角線互相垂直平分的四邊形是菱形；故錯誤．
故選A．
點評： 此題考查了矩形的性質(zhì)與判定定理．此題難度不大，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．
3．不能判斷四邊形ABCD是矩形的是（0為對角線的交點）（ �。�
A． AB=CD，AD=BC，∠A=90° B． OA=OB=OC=OD
C．AB CD，AC=BD D． AB CD，OA=OC，OB=OD
考點： 矩形的判定．
分析： 矩形的判定定理有：
（1）有一個角是直角的平行四邊形是矩形．
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形．
（3）對角線互相平分且相等的四邊形是矩形．據(jù)此判斷．
解答： 解：A、由“AB=CD，AD=BC”可以判定四邊形ABCD是平行四邊形，又∠BAD=90°，則根據(jù)“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”可以判定平行四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
B、根據(jù)“對角線互相平分且相等的四邊形是矩形”可以判定平行四邊形ABCD是矩形，故本選項不符合題意；
C、根據(jù)AB CD得到四邊形是平行四邊形，根據(jù)AC=BD，利用對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項不符合題意；
D、只能得到四邊形是平行四邊形，故本選項符合題意；
故選：D．
點評： 本題考查的是矩形的判定定理，但考生應注意的是由矩形的判定引申出來的各圖形的判定．難度一般．
4．如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD，AC⊥BD，添加適當?shù)臈l件使四邊形ABCD成為菱形．下列添加的條件不正確的是（ �。�
A． AB∥CD B．AD=BC C．BD=AC D． BO=DO
考點： 菱形的判定．
分析： 通過菱形的判定定理進行分析解答．
解答： 解：A項根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形這一定理可以推出四邊形ABCD為菱形，故本選項錯誤，
B項根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形這一定理可以推出四邊形ABCD為菱形，故本選項錯誤，
C項根據(jù)題意還可以推出四邊形ABCD為等腰梯形，故本選項正確，
D項根據(jù)題意可以推出Rt△AOD≌Rt△COB，即可推出OA=OC，再根據(jù)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形這一定理推出四邊形ABCD為菱形，故本選項錯誤，
故選擇C．
點評： 本題主要考查菱形的判定，關(guān)鍵在于熟練掌握菱形的判定定理．
5．能判定四邊形ABCD是菱形的條件是（ ）
A． 對角線AC平分對角線BD，且AC⊥BD
B． 對角線AC平分對角線BD，且∠A=∠C
C． 對角線AC平分對角線BD，且平分∠A和∠C
D． 對角線AC平分∠A和∠C，且∠A=∠C
考點： 菱形的判定．
專題： 推理填空題．
分析： 菱形的判定方法有三種：①定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四邊相等；③對角線互相垂直平分的四邊形是菱形．據(jù)此判斷即可．
解答： 解：A、C的反例如圖，AC垂直平分BD，但AO≠OC；
B只能確定為平行四邊形．
故選D．
點評： 主要考查了菱形的判定．菱形的特性：菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直平分，且每一條對角線平分一組對角．
6．已知如圖，在矩形ABCD中有兩個一條邊長為1的平行四邊形．則它們的公共部分（即陰影部分）的面積是（ �。�
A． 大于1 B．等于1 C．小于1 D． 小于或等于1
考點： 菱形的判定與性質(zhì)．
分析： 利用割補法得出陰影部分面積為四邊形EFMN的面積，進而利用直角三角形的性質(zhì)得出EG＜1，即可得出答案．
解答： 解：如圖所示：作EN∥AB，F(xiàn)M∥CD，過點E作EG⊥MN于點G，
可得陰影部分面等于四邊形EFMN的面積，
則四邊形EFMN是平行四邊形，且EN=FM=1，
∵EN=1，
∴EG＜1，
∴它們的公共部分（即陰影部分）的面積小于1．
故選：C．
點評： 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及平行四邊形面積求法，得出陰影部分面等于四邊形EFMN的面積是解題關(guān)鍵．
7．矩形各內(nèi)角的平分線能圍成一個（ �。�
A． 矩形 B．菱形 C．等腰梯形 D． 正方形
考點： 正方形的判定；矩形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)進行分析即可．
解答： 解：矩形的四個角平分線將矩形的四個角分成8個45°的角，因此形成的四邊形每個角是90°
又知兩條角平分線與矩形的一邊構(gòu)成等腰直角三角形，
所以這個四邊形鄰邊相等，根據(jù)有一組鄰邊相等的矩形是正方形，得到該四邊形是正方形．
故選：D．
點評： 此題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：①先說明它是矩形，再說明有 一組鄰邊相等；②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角
8．如果一個平行四邊形要成為正方形，需增加的條件是（ �。�
A． 對角線互相垂直且相等 B． 對角線互相垂直 C． 對角線相等 D． 對角線互相平分
考點： 正方形的判定；平行四邊形的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)正方形的判定：對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形對各個選項進行分析．
解答： 解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，而對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，同時具有矩形和菱形的性質(zhì)的平行四邊形是正方形，故本選項正確；
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，而非正方形，故本選項錯誤；
C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項錯誤；
D、平行四邊形的對角線都互相平分，這是平行四邊形的性質(zhì)．故本選項錯誤；
故選A．
點評： 此題主要考查正方形的判定：對角線相等的菱形是正方形．
二．填空題（共6小題）
9．如圖，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，則它的面積為 7 �。�
考點： 菱形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 作輔助線延長EA，BC相交于點F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，因為∠EAB=∠CBA=120°，可得∠FAB=∠FBA=60°，可得△FAB為等邊三角形，容易證明四邊形EFCD是菱形，所以SABCDE=SCDEF?S△ABF由此即可求解．
解答： 解：如圖，延長EA，BC相交于點F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，
因為∠EAB=∠CBA=120°，
所以∠FAB=∠FBA=60°，
所以△FAB為等邊三角形，
AF=FB=AB=2，
所以CD=DE=EF=FC=4，
所以四邊形EFCD是菱形，
所以SABCDE=SCDEF?S△ABF
點評： 本題考查軸對稱的性質(zhì)，對應點 的連線與對稱軸的位置關(guān)系是互相垂直，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對稱軸上的任何一點到兩個對應點之間的距離相等，對應的角、線段都相等．
10．四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，設有下列條件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，則在下列推理不成立的是 C
A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④
考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；矩形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 根據(jù)矩形、菱形、正方形的判定定理，對角線互相平分的四邊形為平行四邊形，再由鄰邊相等，得出是菱形，和一個角為直角得出是正方形，根據(jù)已知對各個選項進行分析從而得到最后的答案．
解答： 解：A、由①④得，一組鄰邊相等的矩形是正方形，故正確；
B、由③得，四邊形是平行四邊形，再由①，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故正確；
C、由①②不能判斷四邊形是正方形；
D、由③得，四邊形是平行四邊形，再由②，一個角是直角的平行四邊形是矩形，故正確．
故選C．
點評： 此題用到的知識點是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一組鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形是菱形；對角線互相平分且一個角是直角的四邊形是矩形．靈活掌握這些判定定理是解本題的關(guān)鍵．
11． 有一組鄰邊相等 的矩形是正方形， 有一個角為直角 的菱形是正方形．
考點： 正方形的判定．
分析： 根據(jù)正方形的判定定理（有一組鄰邊相等的矩形是正方形，有一個角為直角的菱形是正方形）求解即可求得答案．
解答： 解：有一組鄰邊相等的矩形是正方形，有一個角為直角的菱形是正方形．
故答案為：有一組鄰邊相等，有一個角為直角．
點評： 此題考查了正方形的判定．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．
12．若四邊形ABCD是矩形，請補充條件 此題答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等�。▽懸粋�即可），使矩形ABCD是正方形．
考點： 正方形的判定．
專題： 開放型．
分析： 由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)鄰邊相等的矩形是正方形或?qū)蔷�互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案．
解答： 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴當AC⊥BD或AB=AD時，矩形ABCD是正方形．
故答案為：此題答案不唯一，如AC⊥BD或AB=AD等．
點評： 此題考查了正方形的判定．此題比較簡單，注意熟記定理是解此題的關(guān)鍵．
13．如圖，在△ABC中，點D在BC上過點D分別作AB、AC的平行線，分別交AC、AB于點E、F
①如果要得到矩形AEDF，那么△ABC應具備條件： ∠BAC=90°��；
②如果要得到菱形AEDF，那么△ABC應具備條件： AD平分∠BAC�。�
考點： 菱形的判定；矩形的判定．
分析： 已知DE∥AB，DF∥AC，則有四邊形AEDF是平行四邊形．①因為有一直角的平行四邊形是矩形，可添加條件：∠BAC=90°；
②鄰邊相等的平行四邊形是菱形，可添加條件：AD平分∠BAC．
解答： 解：∵DE∥AB，DF∥AC，AF、AE分別在AB、AC上
∴DE∥AF，DF∥AE
∴四邊形AEDF是平行四邊形
①∵∠BAC=90°
∴四邊形AEDF是矩形；
②∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠DAE=∠DAF
∴∠ADE=∠DAE
∴AE=DE
∴▱AEDF是菱形．
故答案為∠BAC=90°，AD平分∠BAC．
點評： 本題考查菱形和矩形的判定．本題是開放題，可以針對各種特殊的平行四邊形的判定方法，給出條件，再證明結(jié)論．答案可以有多種，主要條件明確，說法有理即可．
14．在矩形ABCD中，M為AD邊的中點，P為BC上一點， PE⊥MC，PF⊥MB，當AB、BC滿足條件 AB= BC 時，四邊形PEMF為矩形．
考點： 矩形的判定與性質(zhì)．
分析： 根據(jù)已知條件、矩形的性質(zhì)和判定，欲證明四邊形PEMF為矩形，只需證明∠BMC=90° ，易得AB= BC時能滿足∠BMC=90°的條件．
解答： 解：AB= BC時，四邊形PEMF是矩形．
∵在矩形ABCD中，M為AD邊的中點，AB= BC，
∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠MCD=45°，
∴∠BMC=90°，
又∵PE⊥MC，PF⊥MB，
∴∠PFM=∠PEM=90°，
∴四邊形PEMF是矩形．
點評： 此題考查了矩形的判定和性質(zhì)的綜合應用，是一開放型試題，是中考命題的熱點．
三．解答題（共11小題）
15．如圖所示，順次延長正方形ABCD的各邊AB，BC，CD，DA至E，F(xiàn)，G，H，且使BE=CF=DG=AH．
求證：四邊形EFGH是正方形．
考點： 正方形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 此題先根據(jù)正方形ABCD的性質(zhì)，可證△AEH≌△CGF≌△DHG（SAS），得四邊形EFGH為菱形，再求一個角是直角從而證明它是正方形．
解答： 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠EBF=∠HAE=∠GDH=∠FCG，
又∵BE =CF=DG=AH，
∴CG=DH=AE=BF
∴△AEH≌△CGF≌△DHG，
∴EF=FG=GH=HE，∠EFB=∠HEA，
∴四邊形EFGH為菱形，
∵∠EFB+∠FEB=90°，∠EFB=∠HEA，
∴∠FEB+∠HEA=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．
點評： 本題主要考查了正方形的判定方法：一角是直角的菱形是正方形．
16．已知：如圖，△ABC中，D是BC上任意一點，DE∥AC，DF∥AB．
①試說明四邊形AEDF的形狀，并說明理由．
②連接AD，當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，為什么？
③在②的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為正方形，不說明理由．
考點： 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定．
分析： ①根據(jù)DE∥AC，DF∥AB可判斷四邊形AEDF為平行四邊形；
②由四邊形AEDF為菱形，能得出AD為∠BAC的平分線即可；
③由四邊形AEDF為正方形，得∠BAC=90°，即當△ABC是以BC為斜邊的直角三角形即可．
解答： 解：①∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四邊形AEDF為平行四邊形；
②∵四邊形AEDF為菱形，
∴AD平分∠BAC，
則AD平分 ∠BAC時，四邊形AEDF為菱形；
③由四邊形AEDF為正方形，∴∠BAC=90°，
∴△ABC是以BC為斜邊的直角三角形即可．
點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．
17．已知：如圖，△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的高，AE是△BAC的外角平分線，DE∥AB交AE于點E，求證：四邊形ADCE是矩形．
考點： 矩形的判定．
分析： 首先利用外角性質(zhì)得出∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，進而得到AE∥CD，即可求出四邊形AEDB是平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)求出四邊形ADCE是平行四邊形，即可求出四邊形ADCE是矩形．
解答：
證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AE是∠BAC的外角平分線，
∴∠FAE=∠EAC，
∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，
∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，
∴AE∥CD，
又∵DE∥AB，
∴四邊形AEDB是平行四邊形，
∴AE平行且等于BD，
又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC，
故四邊形ADCE是平行四邊形，
又∵∠ADC=90°，
∴平行四邊形ADCE是矩形．
即四邊形ADCE是矩形．
點評： 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定，靈活利用平行四邊形的判定得出四邊形AEDB是平行四邊形是解題關(guān)鍵．
18．已知：如圖，M為▱ABCD的AD邊上的中點，且MB=MC，
求證：▱ABCD是矩形．
考點： 矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 根據(jù)平行四邊形的兩組對邊分別相等可知△ABM≌△DCM，可知∠A+∠D=180°，所以是矩形．
解答： 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD．
∵AM=DM，MB=MC，
∴△ABM≌△DCM．
∴∠A=∠D．
∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°．
∴∠A=90°．
∴▱ABCD是矩形．
點評： 此題主要考查了矩形的判定，即有一個角是90度的平行四邊形是矩形．
19．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四邊形ABCD的面積．
考點： 矩形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．
分析： 如上圖所示，延長AB，延長DC，相交于E點．△ADE是等腰直角三角形，AD=DE=2，則可以求出△ADE的面積；∠C=∠AED=45度，所以△CBE是等腰直角三角形，BE=CB=4厘米，則可以求出△CBE的面積；那么四邊形ABCD 的面積是兩個三角形的面積之差．
解答： 解：延長AB，延長DC，相交于E點，得到兩個等腰直角三角形△ADE和△CBE，
由等腰直角三角形的性質(zhì)得：
DE=AD=2，
BE=CB=4，
那么四邊形ABCD的面積是：
4×4÷2?2×2÷2
=8?2
=6．
答：四邊形ABCD的面積是6．
點評： 此題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積公式的運用，解題的關(guān)鍵是作延長線，找到交點，組成新圖形，是解決此題的關(guān)鍵．
20．如圖，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．過點C作CG⊥AD，垂足為G，AF是BC邊上的中線，連接FG．
（1）求證：AC=FG．
（2）當AC⊥FG時，△ABC應是怎樣的三角形？為什么？
考點： 矩形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．
專題： 證明題．
分析： 先根據(jù)題意推理出四邊形AFCG是矩形，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)得到對角線相等；由第一問的結(jié)論和AC⊥FG得到四邊形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．
解答： （1）證明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，
∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，
∴AB=AC；
AF是BC邊上的中線，
∴AF⊥BC，
∵CG⊥AD，AD∥BC，
∴CG⊥BC，
∴AF∥CG，
∴四邊形AFCG是平行四邊形，
∵∠AFC=90°，
∴四邊形AFCG是矩形；
∴AC=FG．
（2）解：當AC⊥FG時，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：
∵四邊形AFCG是矩形，
∴四邊形AFCG是正方形，∠ACB=45°，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
點評： 該題目考查了矩形的判定和性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，知識點比較多，注意解答的思路要清晰．
21．如圖，E是等邊△ABC的BC邊上一點，以AE為邊作等邊△AEF，連接CF，在CF延長線取一點D，使∠DAF=∠EFC．試判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論．
考點： 菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 在已知條件中求證全等三角形，即△BAE≌△CAF，△AEC≌△AFD，從而得到△ACD和△ABC都是等邊三角形，故可根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形判定．
解答： 解：四邊形ABCD是菱形．
證明：在△ABE、△ACF中
∵AB=AC，AE=AF
∠BAE=60°?∠EAC，∠CAF=60°?∠EAC
∴∠BAE=∠CAF
∴△BAE≌△CAF
∵∠CFA=∠CFE+∠EFA=∠CFE+60°
∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60°
∴∠EAC=∠CFE
∵∠DAF=∠CFE
∴∠EAC=∠DAF
∵AE=AF，∠AEC=∠AFD
∴△AEC≌△AFD
∴AC=AD，且∠D=∠ACE=60°
∴△ACD和△ABC都是等邊三角形
∴四邊形ABCD是菱形．
點評： 本題考查了菱形的判定、等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定，學會在已知條件中多次證明三角形全等，尋求角邊的轉(zhuǎn)化，從而求證結(jié)論．
22．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于點E．試說明：四邊形OBEC是菱形．
考點： 菱形的判定；矩形的性質(zhì)．
專題： 證明題．
分析： 在矩形ABCD中，可得OB=OC，由BE∥AC，EC∥BD，所以四邊形OBEC是平行四邊形，兩個條件合在一起，可得出其為菱形．
解答： 證明：在矩形ABCD中，AC=BD，∴OB=OC，
∵BE∥AC，EC∥BD，
∴四邊形OBEC是平行四邊形，
∴四邊形OBEC是菱形．
點評： 熟練掌握菱形的性質(zhì)及判定定理．
23．如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，CE∥BD，DE∥A C，若AC=4，判斷四邊形CODE的形狀，并計算其周長．
考點： 菱形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．
分析： 首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四 邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD=2，即可判定四邊形CODE是菱形，繼而求得答案．
解答： 解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四邊形CODE是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，
∴OD=OC= AC=2，
∴四邊形CODE是菱形，
∴四邊形CODE的周長為：4OC=4×2=8．
故答案為：8．
點評： 此題考查了菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度不大，注意證得四邊形CODE是菱形是解此題的關(guān)鍵．
24．如圖，在矩形ABCD中，對角線BD的垂直平分線MN與AD相交于點M，與BD相交于點O，與BC相交于N，連接MN，DN．
（1）求證：四邊形BMDN是菱形；
（2）若AB=6，BC=8，求MD的長．
考點： 菱形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)．
分析： （1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，證△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四邊形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出DM=BM，在Rt△AMB中，根據(jù)勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=（8?x）2+62，求出即可．
解答： （1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
在△DMO和△BNO中，
，
∴△DM O≌△BNO（ASA），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四邊形BMDN是平行四邊形，
∵MN⊥BD，
∴平行四邊形BMDN是菱形．
（2）解：∵四邊形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
設MD長為x，則MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8?x）2+62，
解得：x= ．
答：MD長為 ．
點評： 本題考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識點的應用．注意對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
25．如圖所示，有四個動點P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD的四個頂點出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣速度向B，C，D，A各點移動．
（1）試判斷四邊形PQEF是否是正方形，并證明；
（2）PE是否總過某一定點，并說明理由．
考點： 正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．
專題： 動點型．
分析： （1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形，故可根據(jù)正方形的定義證明四邊形PQEF是否使正方形．
（2）證PE是否過定點時，可連接AC，證明四邊形APCE為平行四邊形，即可證明PE過定點．
解答： 解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，
∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，
∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．
∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．
∴四邊形PQEF是菱形，
∵∠FPQ=90°，
∴四邊形PQEF為正方形．
（2）連接AC交PE于O，
∵AP平行且等于EC，
∴四邊形APCE為平行四邊形．
∵O為對角線AC的中點，
∴對角線PE總過AC的中點．
點評： 在證明過程中，應了解正方形和平行四邊形的判定定理，為使問題簡單化，在證明過程中，可適當加入輔助線．
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