全等三角形是相似三角形的相似比等于1的特殊情況，從全等到相似是 認(rèn)識(shí)上的一個(gè)巨大飛躍，不但認(rèn)識(shí)形式上有質(zhì)的變化．而且思維方式也產(chǎn)生突變，相等是全等三角形的主旋律，在相似形的問題中出現(xiàn)的線段間的關(guān)系比全等形中的等量關(guān)系復(fù)雜，不僅有比例式，還有等積式、平方式、線段乘積的和、差、線段比的和差等．
通過尋找(或構(gòu)造)相似三角形，用以計(jì)算或論證的方法，我們稱為相似三角形法，在線段長度的計(jì)算、角相等的證明、比例線段的證明等方面有廣泛的應(yīng)用，是幾何學(xué)中應(yīng)用最廣泛的方法之一．
熟悉以下形如“A型”、“X型”“子母型”等相似三角形．
例題求解
【例1】如圖，△ABC中，∠ABC=60’°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，使得∠APB=∠BPC=∠CPA，且PA=8，PC=6，則PB= ．
(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)
思路點(diǎn)撥 PA、PB、PC分別是△ABP、△BCP的邊，從判定這兩個(gè)三角形的關(guān)系入手．
注 相似是幾何中的一個(gè)概念，但相似性不僅表現(xiàn)在事物的幾何形態(tài)上，而且還體現(xiàn)在事物的功能、結(jié)構(gòu)、原理上．
類比推理也貫穿在物理學(xué)的全部發(fā)展過程中，著名物理學(xué)家麥克斯韋曾說：“借助類比，我試圖以便利的形式提出研究電現(xiàn)象所必須的數(shù)學(xué)手段和公式．”
在新事物面前，人們往往習(xí)慣于把它們與原有的、熟 知的事物相比．這里蘊(yùn)含的思想方法就是類比．
【例2】 a、b、c分別是△ABC的三邊的長，且 ，則它的內(nèi)角∠A、∠B的關(guān)系是( )
A．∠B>2∠A B．∠B=2∠A C．∠B<2∠A D．不確定
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
思路點(diǎn)撥 先化簡已知等式，根據(jù)所得等式構(gòu)造相應(yīng)線段，通過全等或相似尋找角的關(guān)系．
【例3】 如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是中線，P是AD上一點(diǎn)，過C作CF∥AB，延長BP交AC于E，交CF于F．求證：BP2=PE×PF
(吉林省中考題)
思路點(diǎn)撥 由于BP、PE、PF在同一條直線上，所以必須通過作輔助線尋找等線段來轉(zhuǎn)化問題．
【例4】 如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，EF⊥EC交AB于F，連結(jié)FC(AB>AE) ．
(1)△AEF與△EFC是否相似，若相似，證明你的結(jié)論，若不相似，請(qǐng)說明理由；
(2)設(shè) ，是否存在這樣的 值，使△AEF與△BFC相似?若存在，證明你的結(jié)論并求出 的值：若不存在，說明理由．
(重慶市中考題)
思路點(diǎn)撥 本例是一道存在性探索問題，對(duì)于(2)，假設(shè)存在，則Rt△AEF與Rt△BFC中有一對(duì)銳角相等，怎樣由邊的比值得出角的關(guān)系?不妨從特殊角入手，逆推求出 的值．
【例5】 如圖，△ABC和△AlBlC1均為正三角形，BC和B1C1的中點(diǎn)均為D．求證：AA1⊥CC1．
(重慶市競賽題)
思路點(diǎn)撥 作出等邊三角形最基本的輔助線，并延長AAl交CCl于E，尋找相似三角形，證明∠A=90°．
注 比例 線段(或等積式的)證明是幾何問題中的常見題型．基本證法有：
(1)從相似三角形入手；
(2)利用平行截割定理．
有時(shí)需根據(jù)要證明的式子，過恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)作平行線，在具體證明過程中，常常要作等線段代換、等比代抉或等積代換，以促使問題的轉(zhuǎn)化．
將問題置于幾何問題的背景中探索，要綜合運(yùn)用幾何代數(shù)知識(shí)，多角度思考嘗試，需要注意的是，若題目沒有指出具體的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)論常常具有不確定性，需要分類討論．
學(xué)力訓(xùn)練
1．如圖，由邊長為1的25個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC，在網(wǎng)格上，畫出一個(gè)與△ABC相似且面積最大的△A1BlC1，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都落在小正方形的頂點(diǎn)上，則△A1BlC1的面積是 ． (泰州市中考題)
2．如圖，在△ABC中，AB=15cm，AC=12cm，AD是∠BAC的外角平分線，DE∥AB交AC的延長線于點(diǎn)C，那么CE= cm． (重慶市中考題)
3．如圖，正方形ABCD的邊長為2，AE=BE，MN=1，線段MN的兩端點(diǎn)在CB、CD上滑動(dòng)，當(dāng)CM= 時(shí)，△AED與以M、N、C為頂點(diǎn)的三角 形相似．
(桂林市中考題)
4．如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AE⊥EF，有下列結(jié)論：①∠BAE=30°；②CE2=AB×CF；③CF= CD；④△ABE∽△AEF．其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ． (黃岡市中考題)
5．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中點(diǎn)，AE⊥AD交CB延長線于點(diǎn)E，則結(jié)論正確的是( )
A ．△AEDt∽△ACD B．△AEB∽△ACD C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC
(江蘇省競賽題)
6．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，對(duì)角線AC⊥BD于P，若 ，
則 的值是（ ）
A． B． C． D． (2000年紹興市中考題)
7．如圖，將△ADE繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF，連結(jié)EF交AB于H，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．AE⊥AF B． EF：AF= C．AF2=FH×FE D．
(黑龍江省中考題)
8．如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD=60°，BP=1，CD＝ ，則△ABC的邊長為( )
A．3 B．4 C．5 D． 6 (黑龍江省中考題)
9．已知：正方形的邊長為1
(1)如圖①，可以算出一個(gè)正方形的對(duì)角線長為 ，求兩個(gè)正方形并排拼成的矩形的對(duì)角線 長，并猜想出n個(gè)正方形并排拼成的矩形的對(duì)角線長．
(2)根據(jù)圖②，求證：△BCK∽△BED．
(3)由圖③，在下列所給的三 個(gè)結(jié)論中，選出一個(gè)正確的結(jié)論加以證明：
①∠BEC+∠BDE=45°；②∠BEC+∠BED=45°；③∠BEC+∠DFE=45°．
10．如圖，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒4?的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3?的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x．
(1)當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC?
（2）當(dāng) 時(shí)，求 的值；
(3)△APQ能否與△C QB相似?若能，求出AP的長；若不能，請(qǐng)說明理由．
(金華市中考題)
11．如圖，設(shè)P是等邊△ABC的一邊BC上的任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，它的垂直平分線交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，求證：BP×PC=BM×CN． (安徽省競賽題)
12．已知平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)B的直線順次與AC、AD及CD的延長線相交于點(diǎn)E、
F、G，若BE=5，EF=2，則FG的長是 ． ( “弘晟杯”上海市競賽題)
13．如圖，ABCD是正方形，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，連結(jié)CC交DB、DF于G、H，則EG：GH：= ． (重慶市競賽題)
14．如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB
15．已知一個(gè)梯形被一條對(duì)角線分成兩個(gè)相似三角形，如果兩腰的比為 ，那么兩底的比為( )
A． B． C． D． (江蘇省競賽題)
16．如圖，若PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與PB交于點(diǎn)D，且PB=4，PD=3，則AD×DC等于( )
A．6 B．7 C． 12 D．16
(TI杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題)
17．如圖，在△ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，下面4種情況中，△ABD∽△ACB不一定成立的情況是( )
A．AD×BC=AB×BD B．AB2=AD×AC C．∠ABD=∠ACB D．AB×BC=AC×BD
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
18．如圖，正方形ABCD中，M為AD中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作∠BMN=∠MBC，MN交CD于N，求證：DN=2NC．
19．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＞CD，K、M分別是 AD、BC上的點(diǎn)，已知∠DAM=∠CBK，求證：∠DMA=∠CKB． (“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題)
20．如圖，△ABC中，∠ACB=2∠ABC，求證：AB2=AC2+AC×BC．
21．如圖，AB是等腰直角三角形的斜邊，若點(diǎn)M在邊AC上，點(diǎn)N在邊BC上，沿直線MN將△MCN翻折，使點(diǎn)C落在AB上，設(shè)其落點(diǎn)為點(diǎn)P．
(1)當(dāng)點(diǎn)P是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證： ；
(2)當(dāng)點(diǎn)P不是邊AB的中點(diǎn)時(shí)， 是否仍然成立?請(qǐng)證明你的結(jié)論．
(2001年北京市宣武區(qū)中考題)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chuer/54979.html
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