第二十八章 銳角三角函數(shù)
本章小結(jié)
小結(jié)1 本章概述
銳角三角函數(shù)、解直角三角形，它們既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù)，也是繼續(xù)學(xué)習(xí)三角形的基礎(chǔ)．本章知識(shí)首先從工作和生活中經(jīng)常遇到的問題人手，研究直角三角形的邊角關(guān)系、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，進(jìn)而學(xué)習(xí)解直角三角形，進(jìn)一步解決一些簡單的實(shí)際問題．只有掌握銳角三角函數(shù)和直角三角形的解法，才能繼續(xù)學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)和解斜三角形等知識(shí)，同時(shí)解直角三角形的知識(shí)有利于培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，應(yīng)牢固掌握．
小結(jié)2 本章學(xué)習(xí)重難點(diǎn)
【本章重點(diǎn)】 通過實(shí)例認(rèn)識(shí)直角三角形的邊角關(guān)系，即銳角三角函數(shù)(sin A，cos A，tan A)，知道30°，45°，60°角的三角函數(shù)值，會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)解決與直角三角形有關(guān)的簡單的實(shí)際問題．
【本章難點(diǎn)】 綜合運(yùn)用直角三角形的邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系來解決實(shí)際問題．
【學(xué)習(xí)本章應(yīng)注意的問題】
在本章的學(xué)習(xí)中，應(yīng)正確掌握四種三角函數(shù)的定義，熟記特殊角的三角函數(shù)值，要善于運(yùn)用方程思想求直角三角形的某些未知元素，會(huì)運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想通過添加輔助線把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形來求解，會(huì)用數(shù)學(xué)建模思想和轉(zhuǎn)化思想把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，從而提高分析問題和解決問題的能力．
小結(jié)3 中考透視
這一章在中考中主要考查一些特殊角的三角函數(shù)值及幾個(gè)三角函數(shù)間的關(guān)系，主要題型是選擇題、填空題．另外解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用也是考查的一個(gè)重點(diǎn)，主要題型是填空題和解答題，約占3～7分．
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖
專題總結(jié)及應(yīng)用
一、知識(shí)性專題
專題1：銳角三角函數(shù)的定義
【專題解讀】 銳角三角函數(shù)定義的考查多以選擇題、填空題為主．
例1 如圖28－123所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，則下列結(jié)論正確的是 ( )
A．sin A＝ B．tan A＝
C．cosB＝ D．tan B＝
分析 sinA＝ ＝ ，tan A＝ ＝ ，cos B＝ ＝ ．故選D.
例2 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ,則tan A等于 ( )
A． B． C． D．
分析 在Rt△ABC中，設(shè)AC＝3k，AB＝5k，則BC＝4k，由定義可知tan A＝ ．故選D.
分析 在Rt△ABC中，BC＝ ＝3，∴sin A＝ ．故填 ．
專題2 特殊角的三角函數(shù)值
【專題解讀】 要熟記特殊角的三角函數(shù)值．
例4 計(jì)算－3＋2cos 45°－( －1)0．
分析 cos 45°＝ ．
解：原式＝3＋2× －1＝ ＋2．
例5 計(jì)算－ ＋ ＋(－1)2007－cos 60°．
分析 cos 60°＝ ．
解：原式＝ ＋3＋(－1)－ ＝3－1＝2．
例6 計(jì)算－ ＋(cos 60°－tan 30°)0＋ ．
分析 cos 60°＝ ，tan 30°＝ ，∴cos 60°－tan 30°≠0，∴(cos 60°－tan 30°)0＝1，
解：原式＝ ＋1十＋2 ＝3 ＋1．
例7 計(jì)算 －(π－3.14)0－1－tan 60°－ .
分析 tan 60°＝ .
解：原式＝8－1－ ＋1＋ ＋2＝10.
專題3 銳角三角函數(shù)與相關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用
【專題解讀】 銳角三角函數(shù)常與其他知識(shí)綜合起來運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力.
例8 如圖28－124所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E為AC邊的中點(diǎn)，BC＝14，AD＝12，sin B＝ ．
(1)求線段DC的長；
(2)求tan∠EDC的值.
分析 在Rt△ABD中，由sinB＝ ，可求得BD，從而求得CD．由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得DE＝ AC＝EC，則∠EDC＝∠C，所以求tan∠EDC可以轉(zhuǎn)化為求tan C.
解：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC
在Rt△ABD中，sin B＝ ．
∵AD＝12，sin B＝ ，∴AB＝15，
∴BD＝ ＝ ＝9．
∵BC＝14，∴CD＝5．
(2)在Rt△ADC中，∵AE＝EC，∴DE＝ AC＝EC，
∴∠EDC＝∠C
∵tan C＝ ＝ ,∴tan∠EDC＝tan C＝ ．
例9 如圖28－125所示，在△ABC中，AD是BC邊上的高，tan B＝cos∠DAC.
(1)求證AC＝BD；
(2)若sin C＝ ，BC＝12，求AD的長．
分析 (1)利用銳角三角函數(shù)的定義可得AC＝BD．(2)利用銳角三角函數(shù)與勾股定理可求得AD的長．
證明：(1)∵AD是BC邊上的高，∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°．
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tan B＝ ，cos∠DAC＝ ，tan B＝cos∠DAC，
∴ ＝ ，∴AC＝BD.
解：(2)在Rt△ADC中，sin C＝ ，設(shè)AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝ ＝5k．
∵BC＝BD＋CD，AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k．
由已知BC＝12，∴18k＝12，k＝ ，
∴AD＝12k＝12× ＝8．
例10 如圖28－126所示，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，BC＝30＋30 ，求AB的長．
分析 過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用AD是兩個(gè)直角三角形的公共邊，設(shè)AD＝x，把BD，DC用含x的式子表示出來，再由BD＋CD＝BC這一等量關(guān)系列方程，求得AD，則AB可在Rt△ABD中求得．
解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，設(shè)AD＝x.
在Rt△ADB中，tanB＝ ，∴BD＝ ＝x，
在Rt△ADC中，tan C＝ ，∴CD＝ ＝ ＝ x．
又∵BD＋CD＝BC，BC＝30＋30 ，
∴x＋ x＝30＋30 ,∴x＝30．
在Rt△ABD中，sin B＝ ，
∴AB＝ ＝ ＝30 .
專題4 用銳角三角函數(shù)解決實(shí)際問題
【專題解讀】 加強(qiáng)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，提高數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力是當(dāng)今數(shù)學(xué)改革的方向，圍繞本章內(nèi)容，縱觀近幾年各地的中考試題，與解直角三角形有關(guān)的應(yīng)用問題逐步成為命題的熱點(diǎn)，其主要類型有輪船定位問題、堤壩工程問題、建筑測(cè)量問題、高度測(cè)量問題等，解決各類應(yīng)用問題時(shí)要注意把握各類圖形的特征及解法．
例11 如圖28－127所示，小山上有一棵樹，現(xiàn)有一測(cè)角儀和皮尺兩種測(cè)量工具，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案，在山腳的水平地面上測(cè)出小樹頂端A到水平地面上的距離AB．
(1)畫出測(cè)量示意圖；
(2)寫出測(cè)量步驟(測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示)；
(3)根據(jù)(2)中的數(shù)據(jù)計(jì)算AB．
解：(1)測(cè)量示意圖如圖28—128所示．
(2)測(cè)量步驟．
第一步：在地面上選擇點(diǎn)C安裝測(cè)角儀，測(cè)得此時(shí)小樹頂端A的仰角∠AHE＝α.
第二步：沿CB方向前進(jìn)到點(diǎn)D，用皮尺量出C，D之間的距離
CD＝m．
第三步：在點(diǎn)D安裝測(cè)角儀，測(cè)得此時(shí)小樹頂端A的仰角
∠AFE＝β.
第四步：用皮尺測(cè)出測(cè)角儀的高h(yuǎn)．
(3)令A(yù)E＝x，則tan α＝ ，得HE＝ .
又tan β＝ ，得EF＝ ，
∵HE－FE＝HF＝CD＝m，
∴ ＝m，解得x＝ ．
∴AB＝ ＋h．
例12 如圖28－129所示，一條小船從港口A出發(fā)，沿北偏東40°方向航行20海里后到達(dá)B處，然后又沿北偏西30°方向航行10海里后到達(dá)C處，則此時(shí)小船距港口A多少海里?(結(jié)果保留整數(shù)，提示：sin 40°≈0.6428，cos 40°≈0.7660，tan 40°≈0．8391， ≈1.732)
分析 此題可作CD⊥AP構(gòu)造直角三角形求AC，而CD，AD的長可轉(zhuǎn)移到其他三角形中解決，可作BE⊥AD，CF⊥BE，CF，BF在Rt△BCF中可求，進(jìn)而求解．
解：如圖28－130所示，過點(diǎn)B作BE⊥AP，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)C分別作CD⊥AP，CF⊥BE，垂足分別為點(diǎn)D，F(xiàn)，則四邊形CDEF為矩形，
∴CD＝EF，DE＝CF．
∵∠QBC＝30°，∴∠CBF＝60°．
∵AB＝20，∠BAD＝40°，
∴AE＝AB?cos 40°≈20×0.7660≈15.3，
BE＝AB?sin 40°≈20×0.6428＝12.856≈12.9．
又∵BC＝10，∠CBF＝60°，
∴CF＝BC?sin 60°≈10× ＝5 ≈8.7，
BF＝BC?cos 60°＝10×0.5＝5，
∴CD＝EF＝BE－BF≈12.9－5＝7.9．
∵DE＝CF≈8.7，∴AD＝DE＋AE≈8.7＋15.3＝24.0，
由勾股定理得AC＝ ≈ ＝ ≈25，
即此時(shí)小船距港口A約25海里．
【解題策略】 正確理解方位角，作出恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造直角三角形是解此題的關(guān)鍵．
例13 如圖28－131所示，我市某中學(xué)數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組的同學(xué)利用所學(xué)知識(shí)去測(cè)量沱江流經(jīng)我市某段的河寬．小凡同學(xué)在點(diǎn)A處觀測(cè)到對(duì)岸C點(diǎn)，測(cè)得∠CAD＝45°，又在距A處60米遠(yuǎn)的B處測(cè)得∠CBA＝30°，請(qǐng)你根據(jù)這些數(shù)據(jù)算出河寬是多少?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)
分析 本題可作CE⊥AB，垂足為E，求出CE的長即為河寬．
解：如圖28－131所示，過點(diǎn)C作CE⊥AB于E，則CE即為河寬，
設(shè)CE＝x(米)，則BE＝x＋60(米)．
在Rt△BCE中，tan30°＝ ，即 ＝ ,
解得x＝30( ＋1)≈81.96(米)．
答：河寬約為81．96米．
【解題策略】 解本題的關(guān)鍵是設(shè)CE＝x，然后根據(jù)BE＝AB＋AE列方程求解．
例14 如圖28－132所示，某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的A點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的B點(diǎn)有人求救，便立即派三名救生員前去營救．1號(hào)救生員從A點(diǎn)直接跳入海中；2號(hào)救生員沿岸邊(岸邊可以看成是直線)向前跑到C點(diǎn)再跳入海中；3號(hào)救生員沿岸邊向前跑300米到離B點(diǎn)最近的D點(diǎn)，再跳入海中，救生員在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米/秒．若∠BAD＝45°，∠BCD＝60°，三名救生員同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，請(qǐng)說明誰先到達(dá)營救地點(diǎn)B．(參考數(shù)據(jù) ≈1.4， ≈1.7)
分析 在Rt△ABD中，已知∠A＝45°和AD，可求AB，BD，在Rt△BCD中，可利用求出的BD和∠BCD＝60°求出BC，然后根據(jù)計(jì)算出的數(shù)據(jù)判斷誰先到達(dá)．
解：在Rt△ABD中，∠A＝45°，∠D＝90°，AD＝300，
∴AB＝ ＝300 .
＝tan 45°，即BD＝AD?tan 45°＝300．
在Rt△BCD中，∠BCD＝60°，∠D＝90°，
∴BC＝ ＝200 ，CD＝ ＝ ＝100 .
1號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為 ＝150 ≈210(秒)，
2號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為 ＝50＋ ≈192(秒)，
3號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為 ＋ ＝200(秒)．
∵192＜200＜210.∴2號(hào)求生員先到達(dá)營救地點(diǎn)B.
【解題策略】 本題為閱讀理解題，題目中的數(shù)據(jù)比較多，正確分析題意是解題的關(guān)鍵．
例15 如圖28－133所示，某貨船以24海里/時(shí)的速度將一批重要物資從A處運(yùn)往正東方向的M處，在點(diǎn)A處測(cè)得某島C在它的北偏東60°方向上，該貨船航行30分鐘后到達(dá)B處，此時(shí)再測(cè)得該島在它的北偏東30°方向上；已知在C島周圍9海里的區(qū)域內(nèi)有暗礁，若貨船繼續(xù)向正東方向航行，該貨船有無觸礁危險(xiǎn)?試說明理由．
分析 本題可作CD⊥AM于點(diǎn)D，在Rt△BCD中求出CD即可．
解：過點(diǎn)C作CD⊥AM，垂足為點(diǎn)D，
由題意得∠CBD＝60°，∠CAB＝30°,
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝24× ＝12(海里)．
在Rt△BCD中，CD＝BC×sin 60°＝6 (海里)．
∵6 ＞9，∴貨船繼續(xù)向正東方向航行無觸礁危險(xiǎn)．
【解題策略】 此題實(shí)際上是通過⊙C(半徑為9海里)與直線AM相離判斷出無觸礁危險(xiǎn).
例16 如圖28－134所示，某幢大樓頂部有一塊廣告牌CD，甲、乙兩人分別在相距8米的A，B兩處測(cè)得D點(diǎn)和C點(diǎn)的仰角分別為45°和60°，且A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上，若BE＝15米，求這塊廣告牌的高度．( ≈1.73，結(jié)果保留整數(shù))
分析 由于CD＝CE－DE，所以可分別在Rt△AED和Rt△BEC中求DE，CE的長，從而得出結(jié)論．
解：∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23．
在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE＝23．
在Rt△BEC中，∠CBE＝60°，∴CE＝BE?tan 60°＝15 ，
∴CD＝CE－DE＝15 －23≈3，
即這塊廣告牌的高度約為3米．
例17 如圖28－135所示，某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬AD＝2.5m，壩高4 m，背水坡的坡度是1：1，迎水坡的坡度是1：1.5，求壩底寬BC.
分析 坡度即坡角的正切值，所以分別過A，D兩點(diǎn)向壩底引垂線，把梯形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形．
解：過A作AE⊥BC于E，過D作DF⊥BC于F，
由題意可知tanB＝1，tan C＝ ，
在Rt△ABE中，AE＝4，tanB＝ ＝1，∴BE＝AE＝4，
在Rt△DFC中，DF＝AE＝4，tanC＝ ，
∴CF＝1．5DF＝1.5×4＝6．
又∵EF＝AD＝2.5，
∴BC＝BE＋EF＋FC＝4＋2.5＋6＝12．5．
答：壩底寬BC為12．5 m．
【解題策略】 背水坡是指AB，而迎水坡是指CD.
例18 如圖28－136所示，山頂建有一座鐵塔，塔高CD＝30m，某人在點(diǎn)A處測(cè)得塔底C的仰角為20°，塔頂D的仰角為23°，求此人距CD的水平距離AB．(參考數(shù)據(jù)：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，tan 20°≈0.364，sin 23°≈0.391，cos 23°≈0.921，tan 23°≈0.424)
分析 要求AB的值，由于兩個(gè)直角三角形中都只有角的已知條件，不能直接求解，所以設(shè)AB為未知量，即用AB表示BD和BC，根據(jù)BD－BC＝CD＝30，列出關(guān)于AB的方程．
解：在Rt△ABC中，∠CAB＝20°，
∴BC＝ABtan∠CAB＝ABtan 20°．
在Rt△ABD中，∠DAB＝23°，
∴BD＝ABtan∠DAB＝ABtan 23°．
∴CD＝BD－BC＝ABtan 23°－ABtan 20°＝AB(tan 23°－tan 20°)．
∴AB＝ ≈ ＝500(m)．
答：此人距CD的水平距離AB約為500 m．
二、規(guī)律方法專題
專題5 公式法
【專題解讀】 本章的公式很多，熟練掌握公式是解決問題的關(guān)鍵．
例19 當(dāng)0°＜α＜90°時(shí)，求 的值．
分析 由sin2α＋cos2α＝1，可得1－sin2α＝cos2α
解：∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α．
∴ .
∵0°＜a＜90°，∴cosα＞0．
∴原式＝ ＝1．
【解題策略】 以上解法中，應(yīng)用了關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1(0°＜α＜90°)，這一關(guān)系式在解題中經(jīng)常用到，應(yīng)當(dāng)牢記，并靈活運(yùn)用．
三、思想方法專題
專題6 類比思想
【專題解讀】 求方程中未知數(shù)的過程叫做解方程，求直角三角形中未知元素的過程叫做解直角三角形，因此對(duì)解直角三角形的概念的理解可類比解方程的概念．我們可以像解方程(組)一樣求直角三角形中的未知元素．
例20 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，解這個(gè)直角三角形．
分析 已知兩直角邊長a，b，可由勾股定理c＝ 求出c，再利用sin A＝ 求出∠A，進(jìn)而求出∠B＝90°－∠A．
解：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝c2．
∴c＝ .
又∵sin A＝ ，∴∠A＝30°．
∴∠B＝90°－∠A＝60°．
【解題策略】 除直角外，求出Rt△ABC中的所有未知元素就是解直角三角形．
專題7 數(shù)形結(jié)合思想
【專題解讀】由“數(shù)”思“形”，由“形”想“數(shù)”，兩者巧妙結(jié)合，起到互通、互譯的作用，是解決幾何問題常用的方法之一．
例21 如圖28－137所示，已知∠α的終邊OP⊥AB，直線AB的方程為y＝－ x＋ ，則cosα等于 ( )
A． B．
C． D．
分析 ∵y＝－ x＋ ，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ ，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝1，∴A(1，0)，B ，∴OB＝ ，OA＝1，∴AB＝ ＝ ，∴cos∠OBA＝ . ∴OP⊥AB，∴∠α＋∠OAB＝90°，又∵∠OBA＋∠OAB＝90°，∴∠α＝∠OBA．∴cosα＝cos∠OBA＝ ．故選A.
專題8 分類討論思想
【專題解讀】 當(dāng)結(jié)果不能確定，且有多種情況時(shí)，對(duì)每一種可能的情況都要進(jìn)行討論．
例22 一條東西走向的高速公路上有兩個(gè)加油站A，B，在A的北偏東45°方向上還有一個(gè)加油站C，C到高速公路的最短距離是30 km，B，C間的距離是60 km．要經(jīng)過C修一條筆直的公路與高速公路相交，使兩路交叉口P到B，C的距離相等，求交叉口P與加油站A的距離．(結(jié)果可保留根號(hào))
解：①如圖28－138(1)所示，
在Rt△BDC中，∵CD＝30，CB＝60，∴∠B＝30°．
又PC＝PB，∴∠CPD＝60°，∴DP＝10 ．
故AP＝AD＋DP＝(30＋10 )km．
②同理，如圖28－138(2)所示，可求得AP＝(30－10 )km，
故交叉口P與加油站A的距離為(30＋10 )km或(30－10 )km．
【解題策略】 此題針對(duì)P點(diǎn)的位置分兩種情況進(jìn)行討論，即點(diǎn)P在線段AB上或點(diǎn)P在線段BA的延長線上．
專題9 轉(zhuǎn)化思想
【專題解讀】 本章中的轉(zhuǎn)化思想主要應(yīng)用在把直角三角形的線段比轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值、把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題、把斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題等．
例23 如圖28－139所示，某校樓的后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡上面是一塊平地，BC∥AD，斜坡AB的長為22 m，坡角∠BAD＝68°，為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造，經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過50°時(shí)，可確保山體不滑坡．
(1)求改造前坡頂與地面的距離；
(2)為確保安全，學(xué)校計(jì)劃改造時(shí)保持坡腳A不動(dòng)，坡頂B沿BC改到F點(diǎn)處，則BF至少是多少米?(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin 68°≈0.9272，cos 68°≈0.3746，tan 68°≈2.4751，sin 50°≈0.7660，cos 50°≈0.6428，tan 50°≈1.1918)
分析 將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題關(guān)鍵．
解：(1)過B作BE⊥AD于E，
則在Rt△ABE中，sin∠BAE＝ ，
∴BE＝AB?sin 68°＝22sin 68°≈20.4(m)．
(2)過F作FG⊥AD于G，連接FA，則FG＝BE．
∵AG＝ ≈17.12，AE＝AB?cos 68°＝22cos 68°≈8．24，
∴BF＝GE＝AG－AE≈8.88≈8.9(m)．
例24 如圖28－140所示，A，B兩城市相距100 km．現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市中間修筑一條高速公路(即線段AB)，經(jīng)測(cè)量，森林保護(hù)中心P在A城市的北偏東30°和B城市的北偏西45°的方向上．已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以P點(diǎn)為圓心，50 km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)．請(qǐng)問計(jì)劃修筑的這條高速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．為什么?(參考數(shù)據(jù)： ≈1.732， ≈1.414)
解：過點(diǎn)P作PC⊥AB，C是垂足，
則∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC?tan 30°，BC＝PC?tan 45°，
∵AC＋BC＝AB，
∴PC?tan 30°＋PC?tan 45°＝100，
∴( ＋1)PC＝100，
∴PC＝50(3－ )≈50×(3－1.732)≈63．4＞50．
答：森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于保護(hù)區(qū)的半徑，所以計(jì)劃修筑的這條高速公路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．
例25 小鵑學(xué)完解直角三角形知識(shí)后，給同桌小艷出了一道題：“如圖28－141所示，把一張長方形卡片ABCD放在每格寬度為12 mm的橫格紙中，恰好四個(gè)頂點(diǎn)都在橫格線上．已知α＝36°，求長方形卡片的周長．”請(qǐng)你幫小艷解答這道題．(結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：sin 36°≈0．6，cos 36°≈0．8，tan 36°≈0.7)
解：作BE⊥l于點(diǎn)E，DF⊥l于點(diǎn)F．
∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°，
∠ADF＋∠DAF＝90°，
∴∠ADF＝α＝36°．
根據(jù)題意，得BE＝24 mm，DF＝48 mm．
在Rt△ABE中，sinα＝ ，
∴AB＝ ≈ ＝40(mm)．
在Rt△ADF中，cos∠ADF＝ ，
∴AD＝ ≈ ＝60(mm)．
∴矩形ABCD的周長＝2(40＋60)＝200(mm)．
例26 如圖28－142所示，某居民樓I高20米，窗戶朝南．該樓內(nèi)一樓住戶的窗臺(tái)離地面距離CM為2米，窗戶CD高1．8米．現(xiàn)計(jì)劃在I樓的正南方距1樓30米處新建一居民樓Ⅱ．當(dāng)正午時(shí)刻太陽光線與地面成30°角時(shí)，要使Ⅱ樓的影子不影響I樓所有住戶的采光，新建Ⅱ樓最高只能蓋多少米?
解：設(shè)正午時(shí)光線正好照在I樓的一樓窗臺(tái)處，此時(shí)新建居民樓
Ⅱ高x米．
過C作CF⊥l于F，
在Rt△ECF中，EF＝(x－2)米，F(xiàn)C＝30米，∠ECF＝30°，
∴tan 30°＝ ,∴＝10 ＋2．
答：新建居民樓Ⅱ最高只能建(10 ＋2)米．
2011中考真題精選
一、選擇題
1. （2011江蘇連云港，14，3分）如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，則sinA=_______.
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：網(wǎng)格型。
分析：設(shè)小方格的長度為1，過C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出sinA．
解答：解：過C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)小方格的長度為1，
在Rt△ACD中，AC= =2 .∴sinA= = ，
故答案為 ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理的知識(shí)點(diǎn)，此題比較簡單，構(gòu)造一個(gè)直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．
2. （2011江蘇蘇州，9，3分）如圖，在四邊形ABCD中，E、F分?是AB、AD的中點(diǎn)，若EF=2，BC=5，CD=3，則tanC等于（ �。�
A． B． C． D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理；三角形中位線定理．
專題：幾何圖形問題．
分析：根據(jù)三角形的中位線定理即可求得BD的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得△BCD是直角三角形，然后根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．
解答：解：連接BD．
∵E、F分?是AB、AD的中點(diǎn)．
∴BD=2EF=4
∵BC=5，CD=3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC=
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形的中位線定義，勾股定理的逆定理，和三角函數(shù)的定義，正確證明△BCD是直角三角形是解題關(guān)鍵．
3. （2011江蘇鎮(zhèn)江常州，6，2分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．若AC= ，BC=2，則sin∠ACD的值為（ ）
A． B．
C． D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
專題：應(yīng)用題．
分析：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理即可求得AB，而∠B=∠ACD，即可把求sin∠ACD轉(zhuǎn)化為求sinB．
解答：在直角△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：AB= = =3．
∵∠B+∠BCD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ACD．
∴sin∠ACD=sin∠B= = ，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了解直角三角形中三角函數(shù)的應(yīng)用，要熟練掌握好邊角之間的關(guān)系，難度適中．
4. （2011山東日照，10，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，把∠A的鄰邊與對(duì)邊的比叫做∠A的余切，記作cotA= ．則下列關(guān)系式中不成立的是（ �。�
A．tanA?cotA=1B．sinA=tanA?cosA C．cosA=cotA?sinAD．tan2A+cot2A=1
考點(diǎn)：同角三角函數(shù)的關(guān)系。
專題：計(jì)算題。
分析：可根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系；正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）；正切之間的關(guān)系進(jìn)行解答．
解答：解：根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，得
A、tanA?cotA= =1，關(guān)系式成立；
B、sinA= ，tanA?cosA= ，關(guān)系式成立；
C、cosA= ，cotA?sinA= ，關(guān)系式成立；
D、tan2A+cot2A=（ ）2+（ ）2≠1，關(guān)系式不成立．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)的關(guān)系．（1）平方關(guān)系：sin2A+cos2A=1 （2）正余弦與正切之間的關(guān)系（積的關(guān)系）：一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的正弦與余弦的比，即tanA= 或sinA=tanA?cosA．
（3）正切之間的關(guān)系：tanA?tanB=1．
5. （2011陜西，5，3分）在△ABC中，若三邊BC、CA、AB滿足 BC∶CA∶AB=5∶12∶13，則cosB=（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理的逆定理。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)三角形余弦表達(dá)式即可得出結(jié)果．
解答：解：根據(jù)三角函數(shù)性質(zhì) cosB= = ，
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及比例關(guān)系，比較簡單．
6.（2011天津，1，3分）sin45°的值等于（ ）
A. B. C. D.1
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：根據(jù)特殊角度的三角函數(shù)值解答即可．
解答：解：sin45°= ．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題比較簡單，只要熟記特殊角度的三角函數(shù)值即可．
7. （2011?貴港）如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC邊上的中線，BD=4，AD=2 ，則tan∠CAD的值是（ ）
A、2B、
C、 D、
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：常規(guī)題型。
分析：根據(jù)中線的定義可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的長，再根據(jù)正切等于對(duì)邊：鄰邊列式求解即可．
解答：解：∵AD是BC邊上的中線，BD=4，
∴CD=BD=4，
在Rt△ACD中，AC= = =2，
∴tan∠CAD= = =2．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了正切的定義以及勾股定理的應(yīng)用，熟記直角三角形中，銳角的正切等于對(duì)邊：鄰邊是解題的關(guān)鍵．
8.（2011山東煙臺(tái)，9，4分）如果△ABC中，sinA=cosB= ，則下列最確切的結(jié)論是（ ）
A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形
C. △ABC是等腰直角三角形 D. △ABC是銳角三角形
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值.
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，直接得出∠A，∠B的角度從而得出答案．
解答：解：∵sinA=cosB= ，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確的記憶特殊角的三角函數(shù)值是解決問題的關(guān)鍵．
10. （2011四川達(dá)州，8，3分）如圖所示，在數(shù)軸上點(diǎn)A所表示的數(shù)x的范圍是（ ）
A、 B、
C、 D、
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；實(shí)數(shù)與數(shù)軸。
專題：計(jì)算題。
分析：先根據(jù)數(shù)軸上A點(diǎn)的位置確定出其范圍，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值對(duì)四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．
解答：解：由數(shù)軸上A點(diǎn)的位置可知， ＜A＜2．
A、由 sin30°＜x＜sin60°可知， × ＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、由cos30°＜x＜ cos45°可知， ＜x＜ × ，即 ＜x＜ ，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、由 tan30°＜x＜tan45°可知， × ＜x＜1，即 ＜x＜1，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、由 cot45°＜x＜cot30°可知， ×1＜x＜ ，即 ＜x＜ ，故本選項(xiàng)正確．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值及在數(shù)軸的特點(diǎn)，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
9.（2011甘肅蘭州，4，4分）如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處，若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AC’B’，則tanB’的值為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
分析：過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B，把求tanB′的問題，轉(zhuǎn)化為在Rt△BCD中求tanB．
解答：解：過C點(diǎn)作CD⊥AB，垂足為D．
根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= CD：BD= ，
∴tanB′=tanB= ．
故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法．
10 （2011甘肅蘭州，8，4分）點(diǎn)M（－sin60°，cos60°）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．（ ， ）B．（ ， ）C．（ ， ） D．（ ， ）
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．
分析：先根據(jù)特殊三角函數(shù)值求出M點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)對(duì)稱性解答．
解答：解：∵sin60°= ，cos60°= ，∴點(diǎn)M（－ ， ）．
∵點(diǎn)P（m，n）關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)P′（m，-n），
∴M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（－ ，－ ）．故選B．
點(diǎn)評(píng)：考查平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的對(duì)稱性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值．
11. （2011廣東省茂名，8，3分）如圖，已知：45°＜A＜90°，則下列各式成立的是（ �。�
A、sinA=cosAB、sinA＞cosA
C、sinA＞tanAD、sinA＜cosA
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的增減性。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，直接得出答案即可．
解答：解：∵45°＜A＜90°，
∴根據(jù)sin45°=cos45°，sinA隨角度的增大而增大，cosA隨角度的增大而減小，
當(dāng)∠A＞45°時(shí)，sinA＞cosA，
故選：B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，正確的利用銳角三角函數(shù)的增減性是解決問題的關(guān)鍵．
12. （2011?宜昌，11，3分）如圖是用直角三角板，邊AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC= ，則邊BC的長為（ �。�
A、30 cmB、20 cmC、10 cmD、5 cm
考點(diǎn)：解直角三角形；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：因?yàn)榻虒W(xué)用的直角三角板為直角三角形，所以利用三角函數(shù)定義，一個(gè)角的正切值等于這個(gè)角的對(duì)邊比鄰邊可知角BAC的對(duì)邊為BC，鄰邊為AC，根據(jù)角BAC的正切值，即可求出BC的長度．
解答：解：在直角三角形ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義可知：
tan∠BAC= ，又AC=30cm，tan∠BAC= ，
則BC=ACtan∠BAC=30× =10 cm．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握三角函數(shù)正弦、余弦及正切的定義，是一道基礎(chǔ)題．要求注意觀察生活中的數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來自于生活且服務(wù)于生活．
13. （2011湖北隨州，9，3）cos30°＝（ ）
A、 B、 C、 D、
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：直接根據(jù)cos30°＝ 進(jìn)行解答即可．
解答：解：因?yàn)閏os30°＝ ，
所以C正確．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵．
14. （2011?玉林，2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（ �。�
A、 B、 C、 D、
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：先根據(jù)題意求得α的值，再求它的余弦值．
解答：解：∠α=90°?30°=60°，
cosα=cos60°= ．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主．
【相關(guān)鏈接】特殊角三角函數(shù)值：
sin30°= ，cos30°= ，tan30°= ，cot30°= ；
sin45°= ，cos45°= ，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ，cot60°= ．
互余角的性質(zhì)：兩角互余其和等于90度．
15.（2011廣西防城港 2，3分）若∠α的余角是30°，則cosα的值是（ �。�
A． B． C． D．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值
專題：解直角三角形
分析：先根據(jù)題意求得α的值，再求它的余弦值．∠α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝ ．
解答：A
點(diǎn)評(píng)：本題考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題．填空題為主．特殊角三角函數(shù)值：sin30°＝ ，cos30°＝ ，tan30°＝ ，cot30°＝ ；sin45°＝ ，cos45°＝ ，tan45°＝1，cot45°＝1；sin60°＝ ，cos60°＝ ，tan60°＝ ，cot60°＝ ．
16.（2011年廣西桂林，6，3分）如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，
則sinA的值為（ ）．
A． B．
C． D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
分析：直角三角形中，正弦值是角的對(duì)邊與斜邊的比值；先求出斜邊AB的值，然后，即可解答．
答案：解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5；
∴sinA= = ．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)值的求法及勾股定理的應(yīng)用，熟記公式才能正確運(yùn)用．
17.（2011廣西來賓，6，3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，則∠A的余弦值是
A. B. C. D.
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理。
專題：計(jì)算題。
分析：先根據(jù)勾股定理，求出AC的值，然后再由余弦=鄰邊÷斜邊計(jì)算即可．
解答：解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC=4，
∴cosA= = ．
故選C．
18. （2011湖州，4，3分）如圖，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1，AC=2，則tanA的值為（ ）
A．2 B． C． D．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義.
分析：根據(jù)tanA是角A的對(duì)邊比鄰邊，直接得出答案tanA的值．
解答：解：∵∠C=90°，BC=1，AC=2，∴tanA= ．故選B．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練記憶銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．
19. 如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，則sinA的值是（ �。〢、 B、 C、 D、
【答案】A
【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理．
【專題】待定系數(shù)法．
【分析】本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義求解，sinA為∠A的對(duì)邊比上斜邊，求出即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，∴sinA= ．故選A．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用：在直角三角形中，銳角的正弦為對(duì)邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對(duì)邊比鄰邊．
20． （2011福建莆田，8，4分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上，沿CE折疊矩形ABCD，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)F處，若AB=4，BC=5，則tan∠AFE的值為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）；矩形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：由四邊形ABCD是矩形，可得：∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由折疊的性質(zhì)可得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，由同角的余角相等，即可得∠DCF=∠AFE，然后在Rt△DCF中，即可求得答案．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，
由題意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，
∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，
∴∠DCF=∠AFE，
∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，
∴DF=3，
∴tan∠AFE=tan∠DCF= = ．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及三角函數(shù)的性質(zhì)．解此題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．
21. （2011四川遂寧，8，4分）計(jì)算2sin30°?sin245°+cot60°的結(jié)果是（ �。�
A、 +3 B、 + C、 + D、1－ +
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：分別把sin30°的值，sin45°的值，cot60°的值代入進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：2sin30°?sin245°+cot60°=2× －（ ）2+（ ）2+ =1? + = + ．故選B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟記30°，45°，60°角的特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
22. （2011四川雅安，11,3分）已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則sinB=（ �。�
A. B. C. D.
考點(diǎn)：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長交圓于E，連CE） 構(gòu)造直角三角形ACE，在直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對(duì)的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：解：連接AO并延長交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E= ；
又∵∠B=∠E（同弧所對(duì)的的圓周角相等），
∴sinB= ．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義．在求銳角三角函數(shù)值時(shí)，一般是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中解三角函數(shù)的三角函數(shù)值即可．
23.(2011四川雅安11，3分)已知△ABC的外接圓O的半徑為3，AC=4，則 （ ）
A B C D
考點(diǎn)：圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義。
專題：推理填空題。
分析：作輔助線（連接AO并延長交圓于E，連CE） 構(gòu)造直角三角形ACE，在直角三角形中根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求得角E的正弦值；然后由同弧所對(duì)的的圓周角相等知∠B=∠E；最后由等量代換求得∠B的正弦值，并作出選擇．
解答：連接AO并延長交圓于E，連CE．
∴∠ACE=90°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）；
在直角三角形ACE中，AC=4，AE=6，
∴sin∠E= = ；
又∵∠B=∠E（同弧所對(duì)的的圓周角相等），
∴sinB= ．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理、銳角三角函數(shù)的定義．在求銳角三角函數(shù)值時(shí)，一般是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，在直角三角形中解三角函數(shù)的三角函數(shù)值即可．
二、填空題
1. （2011江蘇南京，11，2分）如圖，以0為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線OM交于點(diǎn)A，再以A為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)B，畫射線OB，則cos∠AOB的值等于 ．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；等邊三角形的判定與性質(zhì)。
分析：根據(jù)作圖可以證明△ABC是等邊三角形，則∠AOB=60°，據(jù)此即可求解．
解答：解：∵OA=OB=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠AOB=60°，
∴cos∠AOB=cos60°= ．
故答案是： ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確理解△ABC是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
2. （2011江蘇鎮(zhèn)江常州，11，3分）若∠α的補(bǔ)角為120°，則∠α= 60° ，sinα= ．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；余角和補(bǔ)角．
專題：計(jì)算題．
分析：根據(jù)補(bǔ)角的定義，即可求出∠α的度數(shù)，從而求出sinα的值．
解答：解：根據(jù)補(bǔ)角定義，∠α=180°?120°=60°，
于是sinα=sin60°= ．
故答案為60°， ．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了特殊角的三角函數(shù)值和余角和補(bǔ)角的定義，要熟記特殊角的三角函數(shù)值．
3. （2010福建泉州，16，4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，則AB= 5 ，sinA= ．
考點(diǎn)銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理
分析先利用勾股定理計(jì)算出AB，然后根據(jù)正弦的定義即可得到∠A的正弦．
解答解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= = =5，∴sinA= = ．故答案為：5， ．
點(diǎn)評(píng)本題考查了正弦的定義：在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦等于這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比值．也考查了勾股定理．
4. （2011福建廈門，14，4分）在△ABC中，若∠C=90°，AC=1，AB=5，則sinB= ．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義。
專題：數(shù)形結(jié)合。
分析：利用銳角三角函數(shù)的定義知：銳角的正弦值= ．
解答：解：∵∠C=90°，AC=1，AB=5（如圖），
sinB= = ．
故答案是： ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義．①正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊； ②余弦（cos）等于鄰邊比斜邊； ③正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊； ④余切（cot）等于鄰邊比對(duì)邊； ⑤正割（sec）等于斜邊比鄰邊； ⑥余割 （csc）等于斜邊比對(duì)邊．
5.（2011天水，16，4）計(jì)算：sin230°+tan44°tan46°+sin260°= �。�
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算．tanA?tan（90°?A）=1．
解答：解：原式= +1+ =2．
故答案為2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系，牢記三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
6. （2011山東日照，13，4分）計(jì)算sin30°??2= ．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；絕對(duì)值。
專題：計(jì)算題。
分析：本題涉及絕對(duì)值、特殊角的三角函數(shù)值，針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
解答：解：原式= ?2= ．
故答案為： ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．
7. （2011重慶江津區(qū)，15，4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，sinA＝ ．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義。
專題：計(jì)算題。
分析：在Rt△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)定義sinA＝ 即可求出．
解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝12，
∴根據(jù)三角函數(shù)的定義得：sinA＝ ＝ ，
故答案為 ．
點(diǎn)評(píng)：此題比較簡單，考查的是銳角三角函數(shù)的定義，解答此類題目的關(guān)鍵是畫出圖形便可直觀解答．
8. （2011內(nèi)蒙古呼和浩特，24，8）如圖所示，AC為⊙O的直徑且PA⊥AC，BC是⊙O的一條弦，直線PB交直線AC于點(diǎn)D， ．
（1）求證：直線PB是⊙O的切線；
（2）求cos∠BCA的值．
考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．
專題：綜合題．
分析：（1）連接OB、OP，由 ，且∠D=∠D，根據(jù)三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易證得△BOP≌△AOP，則∠PBO=∠PAO=90°；
（2）設(shè)PB=a，則BD=2a，根據(jù)切線長定理得到PA=PB=a，根據(jù)勾股定理得到AD=2 a，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到DC=CA= ×2 a= a，則OA= a，利用勾股定理求出OP，然后根據(jù)余弦函數(shù)的定義即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．
解答：（1）證明：連接OB、OP，如圖，
∵ ，且∠D=∠D，
∴△BDC∽△PDO，
∴∠DBC=∠DPO，
∴BC∥OP，
∴∠BCO=∠POA，∠CBO=∠BOP
而OB=OC
∴∠OCB=∠CBO
∴∠BOP=∠POA
又∵OB=OA，OP=OP
∴△BOP≌△AOP
∴∠PBO=∠PAO
又∵PA⊥AC
∴∠PBO=90°
∴直線PB是⊙O的切線；
（2）由（1）知∠BCO=∠POA，
設(shè)PB=a，則BD=2a
又∵PA=PB=a
∴AD= a，
又∵BC∥OP
∴DC=2CO，
∴DC=CA= ×2 a= a，
∴OA= a，
∴OP= ，
∴cos∠BCA=cos∠POA= ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的性質(zhì)和判定：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑；過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線．也考查了三角形相似和全等的判定與性質(zhì)以及三角函數(shù)的定義．
9.（2011?安順）如圖，點(diǎn)E（0，4），O（0，0），C（5，0）在⊙A上，BE是⊙A上的一條弦．則tan∠OBE= ．
考點(diǎn)：圓周角定理；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義。
分析：根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可證∠ECO=∠OBE．由銳角三角函數(shù)可求tan∠ECO= ，即tan∠OBE= ．
解答：解：連接EC．
根據(jù)圓周角定理∠ECO=∠OBE．
在Rt△EOC中，OE=4，OC=5，
則tan∠ECO= ．故tan∠OBE= ．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了同弧所對(duì)的圓周角相等及解直角三角形的知識(shí)．
注意銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)比斜；余弦等于鄰比斜；正切等于對(duì)比鄰．
10. （2011黑龍江大慶，11，3分）計(jì)算sin230°+cos230°?tan245°= ? ．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：把三角函數(shù)的數(shù)值代入計(jì)算即可．
解答：解：原式=（ ）2+（ ）2?1= + ?1，=? ．故答案是：? ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
11. （2011?西寧）計(jì)算： sin45°= 1�。�
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值解答．
解答：解：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得：sin45°= ，
∴ sin45°= × =1．
故答案為1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查特殊角三角函數(shù)值的計(jì)算，特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主，比較簡單．
12.（2011山東濱州，16，4分）在等腰△ABC中，∠C=90°則tanA=________.
【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值；等腰直角三角形．
【分析】根據(jù)△ABC是等腰三角形，∠C=90°，求出∠A=∠B=45°，從而求出角A的正切值．
【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴tanA=tan45°=1，
故答案為1．
【點(diǎn)評(píng)】本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形、特殊角的三角函數(shù)值，解題時(shí)牢記特殊角的三角函數(shù)值．
13. （2011?萊蕪）若a=3?tan60°，則 = 。
考點(diǎn)：分式的化簡求值；分式的基本性質(zhì)；約分；通分；最簡分式；最簡公分母；分式的乘除法；分式的加減法；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：計(jì)算題。
分析：求出a的值，把分式進(jìn)行計(jì)算，先算括號(hào)里面的減法，把除法轉(zhuǎn)化成乘法，再進(jìn)行約分即可．
解答：解：a=3?tan60°=3? ，
∴原式=
=
=
故答案為： ．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)分式的基本性質(zhì)，約分、通分，最簡分式，最簡公分母，分式的加減、乘除運(yùn)算，特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
14. （2011山東淄博16，4分）如圖，正方體的棱長為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM= DM，HN=2NE，HC與NM的延長線交于點(diǎn)P，則tan∠NPH的值為 ．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義。
分析：根據(jù)已知首先求出MC=1，HN=2，再利用平行線分線段成比例定理得出 ，進(jìn)而得出PH=6，即可得出tan∠NPH的值．
解答：解：∵正方體的棱長為3，點(diǎn)M，N分別在CD，HE上，CM= DM，HN=2NE，
∴MC=1，HN=2，
∵DC∥EH，
∴ ，
∵HC=3，
∴PC=3，
∴PH=6，
∴tan∠NPH= ，
故答案為： ．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義以及平行線分線段成比例定理等知識(shí)，根據(jù)已知得出PH的長再利用銳角三角函數(shù)的定義求出是解決問題的關(guān)鍵．
15. （2011黑龍江省哈爾濱,19，3分）已知：正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)P是直線CD上一點(diǎn)，若DP=1，則tan∠BPC的值是 ．
考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義；勾股定理；正方形的性質(zhì)。
分析：本題可以利用銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及正方形的性質(zhì)求解．
解答：解：此題有兩種可能：
（1）∵BC=2，DP=1，∠C=90°，
∴tan∠BPC= =2；
（2）∵DP=1，DC=2，
∴PC=3，
又∵BC=2，∠C=90°，
∴tan∠BPC= ．
故答案為：2或 ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了銳角三角函數(shù)的定義、勾股定理以及正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用圖形考慮此題有兩種可能，要依次求解．
16. （2011湖北武漢，13，3分）sin30°的值為．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值。
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．
解答：解：sin30°= ，故答案為 ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
三、解答題
1. （2011新疆建設(shè)兵團(tuán)，20，8分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°．
（1）用尺規(guī)作圖的方法，作出△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后的圖形△AB1C1（保留作圖痕跡）；
（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．
考點(diǎn)：作圖－旋轉(zhuǎn)變換；銳角三角函數(shù)的定義．
分析：（1）作出∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，再作出AB1的垂線，即可得出答案．
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AB1＝3，AC1＝4，再利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出．
解答：解：（1）作∠CAB的平分線，在平分線上截取AB1＝AB，
作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，
如圖所示即是所求．
（2）∵AB＝3，BC＝5，
∴AC＝4，
∴AB1＝3，AC1＝4，
tan∠AB1C1＝AC1AB1＝43．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了做旋轉(zhuǎn)圖形和銳角三角函數(shù)的定義，根據(jù)已知熟練記憶銳角三角函數(shù)的定義是解決問題的關(guān)鍵．
2. （2011浙江金華，17，6分）(本題6分)
計(jì)算：－1－ －（5－π）0+4cos45°.
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運(yùn)算。
專題：計(jì)算題。
分析：本題涉及絕對(duì)值、二次根式化簡、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值四個(gè)考點(diǎn)．針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
【解】原式=1－ ×2 －1+4× =
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
3.（2011浙江麗水，17，6分）計(jì)算： ．
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；二次根式的混合運(yùn)算。
專題：計(jì)算題。
分析：本題涉及絕對(duì)值、二次根式化簡、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值四個(gè)考點(diǎn)．針對(duì)每個(gè)考點(diǎn)分別進(jìn)行計(jì)算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計(jì)算結(jié)果．
解答：解： ，
= ，
= ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計(jì)算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握零指數(shù)冪、二次根式、絕對(duì)值等考點(diǎn)的運(yùn)算．
4. （2011浙江衢州，17，6分）（1）計(jì)算：?2?（3?π）0+2cos45°；
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；分式的加減法；零指數(shù)冪。
專題：計(jì)算題。
分析：（1）根據(jù)絕對(duì)值、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值的性質(zhì)化簡，然后根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)果，
解答：解：（1）原式= ，
= ；
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了絕對(duì)值、零指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值的性質(zhì)、實(shí)數(shù)運(yùn)算法則及同分母分式加減法法則，難度適中．
5.（1）（2011浙江義烏，17（1），3分）計(jì)算：20110＋ －2sin45°；
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；解分式方程。
專題：計(jì)算題。
分析：（1）根據(jù)零指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值即可解答本題，
（2）觀察方程可得最簡公分母是：2（x－2），兩邊同時(shí)乘最簡公分母可把分式方程化為整式方程來解答．
解答：解：（1）原式＝1＋2 － ，
＝1＋ ；
（2）2（x＋3）＝3（x－2），
解得：x＝12，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝12時(shí)，x－2＝12－2＝10≠0，
∴原方程的根是x＝12．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了零指數(shù)冪，以及特殊角的三角函數(shù)值，以及解分式方程需轉(zhuǎn)化為整式方程，還要注意一定要驗(yàn)根．
6. （2011黑龍江省哈爾濱,21，6分）先化簡，再求代數(shù)式 的值，其中x=2cos45°?3．
考點(diǎn)：分式的化簡求值；特殊角的三角函數(shù)值。
專題：探究型。
分析：先把原式進(jìn)行化簡，再把x=2cos45°?3代入進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：原式=
=
當(dāng)x=2cos45°?3時(shí)，
原式=
= ．
故答案為： ．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是分式的化簡求值及特殊角的三角函數(shù)值，熟知分式混合運(yùn)算的法則把原式化為 的形式是解答此題的關(guān)鍵．
7. （2011甘肅蘭州，21，7分）已知α是銳角，且sin(α+15°)= .
計(jì)算 的值.
考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪.
分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得出α，然后利用二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行化簡，根據(jù)實(shí)數(shù)運(yùn)算法則即可計(jì)算出結(jié)果．
解答：解：∵sin60°= ，∴α+15°=60°，∴α=45°，∴原式=2 ?4× ?1+1+3=3．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次根式、特殊角的三角函數(shù)值、零指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪的性質(zhì)及實(shí)數(shù)運(yùn)算法則，難度適中．
8. （2011甘肅蘭州，26，9分）通過學(xué)習(xí)三角函數(shù)，我們知道在直角三角形中，一個(gè)銳角的大小與兩條邊長的比值相互唯一確定，因此邊長與角的大小之間可以相互轉(zhuǎn)化。類似的，可以在等腰三角形中建立邊角之間的聯(lián)系。我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)（sad）.如圖①在△ABC中，AB=AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA .容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的.根據(jù)上述角的正對(duì)定義，解下列問題：
（1）sad60°= .
（2）對(duì)于0°
考點(diǎn)：解直角三角形
分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出底角的的度數(shù)，判斷出三角形為等邊三角形，再根據(jù)正對(duì)的定義解答；
（2）求出0度和180度時(shí)等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角△ABC，構(gòu)造等腰三角形ACD，根據(jù)正對(duì)的定義解答．
解答：解：（1）根據(jù)正對(duì)定義，
當(dāng)頂角為60°時(shí)，等腰三角形底角為60°，
則三角形為等邊三角形，則sad60°= =1．故答案為1．
（2）當(dāng)∠A接近0°時(shí)，sadα接近0，
當(dāng)∠A接近180°時(shí)，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范圍是0＜sadA＜2．
故答案為0＜sadA＜2．
（3）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A= ．
在AB上取點(diǎn)D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H為垂足，令BC=3k，AB=5k，則AD=AC= =4k，
又在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A= ．∴DH=ADsin∠A= k，
AH= = k．
則在△CDH中，CH=AC?AH= k，CD= = k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD= k．
由正對(duì)的定義可得：sadA= = ，即sadα= ．
點(diǎn)評(píng)：此題是一道新定義的題目，考查了正對(duì)這一新內(nèi)容，要熟悉三角函數(shù)的定義，可進(jìn)行類比解答．
綜合驗(yàn)收評(píng)估測(cè)試題
(時(shí)間：120分鐘 滿分：120分)
一、選擇題
1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ，則tan B的值為 ( )
A． B． C． D．
2．已知α為銳角，tanα＝ ，則cosα等于 ( )
A． B． C． D．
3．如圖28－143所示，為了確定一條小河的寬度BC，可在C左側(cè)的岸邊選擇一點(diǎn)A，使得AC⊥BC，若測(cè)得AC＝a，∠CAB＝θ，則BC等于 ( )
A．a(chǎn)sinθ B．a(chǎn)cosθ C．a(chǎn)tanθ D.
4．某同學(xué)想用所學(xué)的知識(shí)測(cè)量旗桿的高度，在地面距旗桿底部5 m遠(yuǎn)的地方，他用測(cè)傾器測(cè)得旗桿頂部的仰角為α，且tanα＝3，則旗桿高等于(不計(jì)測(cè)傾器的高度) ( )
A．10 m B．12 m C．15 m D．20 m
5．如圖28－144所示，測(cè)量人員在山腳A處測(cè)得山頂B的仰角為45°，沿著傾角為30°的山坡前進(jìn)1000米到達(dá)D處，在D處測(cè)得山頂B的仰角為60°，則山的高度BC大約是(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位) ( )
A．1366．03米 B．1482．12米
C．1295．93米 D．1508.21米
6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝6，sin B＝ ，那么AB的長是 ( )
A．4 B．9 C．3 D．2
7．如圖28－145所示，在高樓前的D點(diǎn)測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?0°，向高樓前進(jìn)60米到達(dá)C點(diǎn)，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?5°，則該高樓的高度大約為 ( )
A．82米 B．163米 C．52米 D．70米
8．某人沿傾斜角為B的斜坡前進(jìn)100米，則他上升的最大高度是 ( )
A. 米 B.100sinβ米 C． 米 D．100cosβ米
9．鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，其腰的坡度為2：3，上底寬6米，路基高4米，則路基的下底寬為 ( )
A．18米 B．15米 C．12米 D．10米
10．觀察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cosα＜1(α是銳角)；③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( )
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
二、填空題
11．計(jì)算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．
12．如圖28－146所示，在△ABC中，∠A＝30°，tanB＝ ，BC＝ ，
則AB的長為 ．
13．當(dāng)x＝sin 60°時(shí)，代數(shù)式 ? ＋ 的值是 ．
14．已知cos 59°24′≈0.509，則sin 30°36′≈ ．
15．若∠A，∠B互余，且tan A－tan B＝2，則tan2A＋tan2B＝ ．
16．如圖28－147所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，cosB＝ ，則這個(gè)菱形的面積是 .
17．已知正方形ABCD的邊長為1，若將線段BD繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)D落在DC延長線上的點(diǎn)D′處，則∠BAD′的正弦值為 .
18．如圖28－148所示，若將四根木條釘成的矩形木框變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD的形狀，并使其面積為矩形面積的一半，則這個(gè)平行四邊形的一個(gè)最小內(nèi)角等于 ．
19．在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝2，AB＝2，則BC＝ ．
20．設(shè)θ為銳角，且x2＋3x＋2sinθ＝0的兩根之差為 ．則θ＝ ．
三、解答題
21．如圖28－149所示，在△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在BC邊上，BD＝4，AD＝BC，
cos∠ADC＝ ．
(1)求DC的長；
(2)求sinB的值．
22．如圖28－150所示，已知燈塔A的周圍7海里的范圍內(nèi)有暗礁，一艘漁船在B處測(cè)得燈塔A在它的北偏東60°方向上，向正東方向航行8海里后到達(dá)C處，又測(cè)得該燈塔在它的北偏東30°方向上，若漁船不改變航向，繼續(xù)向正東方向航行，有沒有觸礁的危險(xiǎn)?通過計(jì)算說明理由．
23．如圖28－151所示，塔AB和樓CD的水平距離為80米，從樓頂C處、樓底D處測(cè)得塔頂A的仰角分別為45°和60°，試求塔高與樓高．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位，參考數(shù)據(jù)： ≈1.414， ≈1.732)
24．如圖28—152所示，斜坡AC的坡度(坡比)為1： ，AC＝10米．坡頂有一旗桿BC，旗桿頂端B點(diǎn)與A點(diǎn)有一條彩帶AB相連，AB＝14米．試求旗桿BC的高度．
25．閱讀下面的材料并回答問題．
如圖28－153所示，在銳角三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，過A作AD⊥BC于D，則sinB＝ ，sin C＝ ，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsin C，即 ＝ ，同理， ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＝ ，即在—個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦值的比相等．
(1)在銳角三角形中，若已知三個(gè)元素a，b，∠A，運(yùn)用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可以求出其余三個(gè)未知元素c，∠B，∠C，請(qǐng)你按照下面的步驟填空，完成求解過程；
第一步：由條件a，b，∠A 求出∠B；
第二步：由條件∠A，∠B 求出∠C；
第三步：由條件 求出c；
(2)一貨輪在C處測(cè)得燈塔A在它的北偏西30°方向上，隨后貨輪以28．4海里／時(shí)的速度沿北偏東45°方向航行，半小時(shí)后到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔A在貨輪的北偏西70°方向上(如圖28－154所示)，求此時(shí)貨輪與燈塔A的距離AB．(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位，參考數(shù)據(jù)：sin 40°≈0．643，sin 65°≈0．906，sin70°≈0.940，sin 75°≈0．966)
參考答案
1．A[提示：設(shè)∠A的對(duì)邊為3k，斜邊為5k，則b＝4k，∴tanB＝ ．]
2．A[提示：∵tan α＝ ，∴α＝60°，∴cosα＝ .]
3．C
4．C[提示：tanα＝ ＝3，∴旗桿高為15m．]
5．A[提示：過點(diǎn)D作DF⊥AC，易求DF＝EC＝500，AF＝500 ，由已知條件可知AC＝BC，DE＝FC，∴DE＝BE＋EC－AF＝BE＋500－500 .由tan∠BDE＝ 列方程求解．] 6．B[提示：∵sin B＝ ，∴AB＝ ＝9．]
7．A[提示：設(shè)AB＝x，則BC＝x，BD＝60＋x，在Rt△ABD中，tan 30°＝ ∴x＝(60＋x)? ，∴x≈82．]
8．B
9．A[提示：由題意畫圖可得答案．]
10．C[提示：sin 59°＞sin 28°成立，0＜cosα＜1(α是銳角)成立，tan 30°＋tan 60°＝ ＋ ≠tan 90°，tan 44°＜tan 45°，即tan 44°＜1．]
11．2－ [提示：2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝2× － ＋1＝2－ .]
12．3＋ [提示：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△BDC中，tan B＝ ．∴ ，∴BD＝3CD，∵BC＝ ，∴CD2＋(3CD)2＝( )2，∴CD＝1，BD＝3．在Rt△ADC中，tan A＝ ，∴AD＝ ，∴AB＝AD＋BD＝3＋ .]
13． [提示：∵ ? ＋ ＝2x，∴原式＝2sin 60°＝ ．]
14．0.509[提示：sin 30°36′＝cos 59°24′．]
15．6[提示：∵∠A，∠B互余，∴tan A?tan B＝1，tan2A＋tan2B＝(tan A－tan B)2＋2tan A?tan B＝22＋2＝6．]
16． [提示：∵cos B＝ ，設(shè)BE＝5x，則AB＝13x，∴AE＝ ＝12x．∵AB＝BC＝BE＋CE，∴13x＝5x＋1，∴x＝ ，則AE＝12x＝12× ＝ ，BC＝5x＋1＝5× ＋1＝ ，∴S＝ × ＝ ．]
17． [提示:如圖28－155所示，根據(jù)題意得DD′＝2DC，設(shè)正方形的邊長為x，則AD＝x，DD′＝2x．∵∠ADD′＝90°，根據(jù)勾股定理得AD′＝ ＝ x．∵AD＝x，∴sin∠AD′D＝ ＝ .∵AB∥DD′，∴∠BAD′＝∠AD′D，∴sin∠BAD′＝ ．]
18．30°[提示：如圖28＝156所示，∵S ABCD＝ S矩形BEFC，且BC＝BC(底相同)， ∴GC＝ FC．∵CF＝DC，∴GC＝ DC， ．∵∠DGC＝90°，sin 30°＝ ，∴∠CDG＝30°，即這個(gè)平行四邊形的一個(gè)最小內(nèi)角為30°．]
19． ＋
20．30°[提示：x1?x2＝2sinθ，x1＋x2＝－3，則(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝9－8sinθ＝( )2，∴sinθ＝ ，∴θ＝30°．]
21．解：(1)∵cos∠ADC＝ ，∴設(shè)CD＝3x，則AD＝5x，AC＝4x，∴BC＝AD＝5x．∵BD＝BC－CD，∴5x－3x＝4，∴x＝2，∴CD＝3x＝6． (2)∵AC＝4x＝8，BC＝5x＝10，∴AB＝ ，∴sin B＝ ．
22．解：在△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于D，設(shè)AD＝x，∵∠ACD＝60°，∠ABD＝30°，∴BD＝ ＝ x，CD＝ ＝ x.∵BD－CD＝8，∴ x－ x＝8，∴x＝4 ，即AD＝4 ＝ ＜7，∴若漁船不改變航向，繼續(xù)向正東方向航行；有觸礁的危險(xiǎn)．
23．解：在Rt△ABD中，BD＝80，∠ADB＝60°，tan∠ADB＝ ，∴AB＝BD?tan∠ADB＝80 ≈138．56(米)．在Rt△AEC中，∵∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝80，∴CD＝BE＝AB－AE＝80 －80＝80（ －1)≈58.56(米)．答：塔高AB約為138．56米，樓高CD約為58．56米．
24．解：延長BC交AD于E點(diǎn)，則CE⊥AD．在Rt△AEC中，AC＝10，由坡比為1： 可知∠CAE＝30°．∴CE＝AC?sin 30°＝10× ＝5，AE＝AC?cos 30°＝10× ＝5 ，在Rt△ABE中，BE＝ ＝11．∵BE＝BC＋CE，∴BC＝BE－CE＝11－5＝6(米)．
25．(1) ∠A＋∠B＋∠C＝180° a，∠A，∠C (2)解：依題意可知∠ABC＝180°－45°－70°＝65°，∴∠A＝180°－(30°＋45°＋65°)＝40°，BC＝28．4× ＝14．2．∵ ，∴AB＝ ≈ ≈21．3（海里）.即此時(shí)貨輪與燈塔A的距離AB約為21.3海里．
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