第一講 分解方法的延拓
——換元法與主元法
因式分解是針對多項式的一種恒等變形，提公因式法、公式法，分組分解法是因式分解的基本方法，通常根據(jù)多項式的項數(shù)來選擇分解的方法．
一些復雜的因式分解問題．常用到換元法和主元法．
所謂換元，即對結構比較復雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替(即換元)，則能使復雜的問題簡單化、明朗化，在減少多項式項數(shù)，降低多項式結構復雜程度等方面有獨到作用．
所謂主元，即在解多變元問題時，選擇其中某個變元為主要元素，視其他變元為常量，將原式重新整理成關于這個字母的按降冪排列的多項式，則能排除字母間的干擾，簡化問題的結構．
例題求解
【例1】 分解因 式： = ．
( “五羊杯”競賽題)
思路點撥 視 為一個整體．用一個新字母代替，從而能簡化式子的結構．
【 例2】 多項式 因式分解后的結果是( )．
A．(y－z)(x+y)(x－z) B．(y－z)(x－y)(x＋z)
C． (y+z)(x一y)(x+z) D．(y十z)(x+y)(x一z)
(上海市競賽題)
思路點撥 原式是一個復雜的三元三次多項式，直接分解有一定困難，把原式整理成關于某個字母按降冪排列的多項式，改變其結構，尋找分解的突破口．
【例3】把下列各式分解因式：
(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x2； (天津市競賽題)
(2)1999x2一(19992一1)x一1999； (重慶市競賽題)
(3)(x+y－2xy)(x+y－2)＋(xy－1)2； (“希望杯”邀請賽試題)
(4)(2x－3y)3十(3x－2y)3－ 125(x－y)3． (第13屆“五羊杯”競賽題)
思路點拔 (1)是形如abcd+e型的多項式，分解這類多項式時，可適當把4個因式兩兩分組，使得分組相乘后所得的有相同的部分；(2)式中系數(shù)較大，不妨把數(shù)用字母表示；(3)式中x+y；xy多次出現(xiàn)，可引入兩個新字母，突出式子特點；(4)式前兩項與后一項有密切聯(lián)系．
【例4】把下列 各式分解因式：
(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2 (a一b)；
(2)x2+xy－2y2－x+7y－6．
思路點撥 (1)式字母多次數(shù)高，可嘗試用主元法；(2)式是形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的二元二次多項式，解題思路寬，用主元法或分組分解 法或用待定系數(shù)法分解．
【例5】證明：對任何整數(shù) x和y，下式的值都不會等于33．
x5+3x4y－5x3y2一15x2y3+4xy4+12y5．
(莫斯科奧林匹克八年級試題)
思路 點撥 33不可能分解為四個以上不同因數(shù)的積，于是將問題轉化為只需證明原式可分解為四個以上因式的乘積即可．
注：分組分解法是因式分解的量本方法，體現(xiàn)了化整體為局部、又統(tǒng)攬全局的思想．如何恰當分組是解題的關鍵，常見的分組方法有：
（1）按字母分組：
(2)按次數(shù)分組；
(3)按系數(shù)分組．
為了能迅速解決一些與代教式恒等變形相關的問題，讀者因熟悉如下多巧式分解因式后的結果：
（1） ；
(2)
學力訓練
1．分解因式：(x 2+3x)2-2(x2+3x)－8＝ ．
2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－12= ．
3．分解因式：x2－xy－2y2－ x－y= ． (重慶市中考題)
4．已知二次三項式 在整數(shù)范圍內可以分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)m的可能取值為 ．
5．將多項式 分解因式，結果正確的是（ ）．
A． B． C． D．
(北京中考題)
6．下列5個多項式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤
其中在有理數(shù)范圍內可以進行因式分解的有（ ）．
A．①、②、③ B．②、③ 、④ C．①③ 、④、⑤ D．①、②、④
7．下列各式分解因式后，可表示為一次因式乘積的是( )．
A． B． C． D．
(“希望杯”邀請賽試題)
8．若 ， ，則 的值為( )．
A． B． C． D．0 (大連市“育英杯”競賽題)
9．分解因式
（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2；
(2)(2x2－3x+1)2一22x2+33x－1；
(3)x4+2001x2+2000x+2001；
(4)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2；
(5) ；
(6) ． (“希望杯”邀請賽試題)
10．分解因式： = ．
11．分解因式： = ．
12．分解因式： = ．（ “五羊杯”競賽題）
13．在1~100之間若存在整數(shù)n，使 能分解為兩個整系數(shù)一次式的乘積，過樣的n有 個． (北京市競賽題)
14． 的因式是( )
A． B． C． D． E．
15．已知 ，M= ，N= ，則M與N的大小關系是( )
A．M
(第 “希望杯”邀請賽試題)
16．把下列各式分解因式：
(1) ；
(2) ； (湖北省黃岡市競賽題)
(3) ； (天津市競賽題)
(4) ；（“五羊杯”競賽題）
(5) ． (天津市競賽題)
17．已知公式：
；
．
利用或者不利用上述公式， 分解因式 ： (“祖沖之杯”邀請賽試題)
18．已知在ΔABC中， (a、b、c是三角形三邊的長)．
求證： (天津市競賽題)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chuer/66247.html
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