第九講 三角形的邊與角
三角形是最基本的圖形之一，是研究其他復(fù)雜圖形的基礎(chǔ)，三角形的三邊相互制約，三個內(nèi)角之和為定值，邊與角之間有密切的聯(lián)系(如大角對大邊、大邊對大角等)，反映三角形的邊與角關(guān)聯(lián)的基本知識有：三角形三邊關(guān)系定理及推論、三角形內(nèi)角和定理及推論等，它們在線段。角度的計算、圖形的計數(shù)等方面有廣泛的應(yīng)用．
解與三角形的邊與角有關(guān)的問題時，往往要用到數(shù)形結(jié)合及分類討論法，即用代數(shù)方法(方程、不等式)解幾何計算題及簡單的證明題，按邊或角對三角形進行分類．
熟悉以下基本圖形、并證明基本結(jié)論：
(1) ∠l＋∠2=∠3+∠4；
(2) 若BD、CO分別為∠ABC、∠ACB的平分線，則∠BOC=90°+ ∠A；
(3)若BO、CO分別為∠DBC、∠ECB的平分線，則∠BOC=90°－ ∠A；
(4)若BE、CE分別為∠ABC、∠ACD的平分線，則∠E= ∠A．
注： 中線、角平分線、高是三角形中的重要線段，它們的差別在于高隨著三角形形狀的不同，可能在三角內(nèi)部、邊 上或外部．
代數(shù)法解幾何計算問題的基本思路是通過設(shè)元，運用幾何知識建立方程(組)、不等式(組)，將問題轉(zhuǎn)化為解方程(組)或解不等式(組)．
例題求解
【例1】 在△ABC中，三個內(nèi)角的度數(shù)均為整數(shù)，且∠A<∠B<∠C，4∠C＝7∠A，則∠B的度數(shù)為 ．(北京市競賽題)
思路點撥 設(shè)∠C＝x°，根據(jù)題設(shè)條件及三角形內(nèi)角和定理把∠A、∠B用x的代數(shù)式表示，建立關(guān)于x的不等式組．
【例2】以1995的質(zhì)因數(shù)為邊長的三角形共有( )
A．4個 B．7個 C．13個 D．60個
(河南省競賽題)
思路點撥 1995=3×5×7×19，為做到計數(shù)的準(zhǔn)確，可將三角形按邊分類，注意三角形三邊應(yīng)滿足的關(guān)系制約．
【例3】 (1)如圖，BE是∠ABD的平分線．CF是∠ACD的平 分線，BE與CF交于G，若∠BDC=140 °，∠BGC=110°，求∠A的大�。�
(“希望杯”邀請賽試題)
(2)在 △ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不與B、C重合，求∠BOC的度數(shù)． (“東方航空杯”――上海市競賽題)
思路點撥 (1)運用凹邊形的性質(zhì)計算．(2)由O不與B、C重合知，∠B、∠C均非直角，這樣，△ABC既可能是銳角三角形又可能是鈍角三角形，故應(yīng)分兩種情況討論．
【例4】 周長為30，各邊長互不相等且都是整數(shù)的三角形共有多少個?
(2003年河南省競賽題)
思路點撥 不妨設(shè)三角形三邊為a、b、c，且a＜b＜c，由三角形三邊關(guān)系定理及題設(shè)條件可確定 c的取值范圍，以此作為解題的突破口．
注 如圖，在凹四邊ABCD中，∠BDC=∠A＋∠B＋∠C．請讀者證明．
解所研究的問題的圖形形狀不惟一或幾何固形位置關(guān)系不確定或與分類概念相關(guān)的命題時．往往用到分類討論法．
【例5】 (1)用長度相等的100根火柴桿，擺放成一個三角形，使最大邊的長度是最小邊長度的3倍，求滿足此條件的每個三角形的各邊所用火柴桿的根數(shù)．
(大原市競賽題)
(2)現(xiàn)有長為150cm的鐵絲，要截成n(n>2)小段，每段的長為不小于l?的整數(shù)．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，試求n的最大值，此時有幾種方法將該鐵絲截成滿足條件的n段．
(第17屆江蘇省競賽題)
思路點撥 (1)設(shè)三角形各邊需用火柴桿數(shù)目分別為x、y、3x，綜合運用題設(shè)條件及三角形邊的關(guān)系等知識，建立含等式、不等式的混合組，這是解本例的突破口．
(2)因n段之和為定值150?，故欲n盡可能的大，必須每段的長度盡可能小，這樣依題意可構(gòu)造一個數(shù)列．
學(xué)力訓(xùn)練
1．若三角形的三個外角的比是2：3：4，則這個三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是 ．
(2003年河南省競賽題)
2．一條線段的長為a，若要使3a―l，4a+1，12－a這三條線段組成一個三角形，則a的取值范圍是 ．
3．如圖，在△ABC中，兩條角平分線CD、BE相交于點F，∠A＝60°，則∠DFE＝ 度．
4．如圖，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，則∠DCE＝ ．
(用α、β表示)． (山東省競賽題)
5．若a、b、c為三角形的 三邊，則下列關(guān)系式中正確的是( )
A． B．
C． D．
(江蘇省競賽題)
6．△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足3A>5B，3C≤2B，則這個三角形是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
7．如圖，△ABC內(nèi)有三個點D、E、F，分別以A、B、C、D、E、F這六個點為頂點畫三角形，如果每個三角形的頂點都不在另一個三角形的內(nèi)部，那么，這些三角形的所有內(nèi)角之和為( )
A．360° B．900° C．1260° D．1440° (重慶市競賽題)
8．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分線與∠B的外角平分線交于E點，連結(jié)AE，則∠AEB是( )
A．50° B．45° C．40° D．35° (山東省競賽題)
9．如圖，已知∠3＝∠1+∠2，求證：∠A+∠B+∠C+∠D＝180°．
10．如圖，已知射線ox與射線oy互相垂直，B，A分別為ox、oy上一動點，∠ABx、∠BAy的平分線交于C．
問：B、A在ox、oy上運動過程中，∠C的度數(shù)是否改變?若不改變，求出其值；若改變， 說明理由．
11．已知三角形的三條邊長均為整數(shù)，其中有一條邊長是4，但它不是最短邊，這樣的三角形共有 個．
12．三角形的三個內(nèi)角分別為α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，則β的取值范圍 ．
13．已知△ABC的周長是12，三邊為a、b、c，若b 是最大邊，則b的取值范圍是 ．
14．如圖，E和D分別在△ABC的邊BA和CA的延長線上，CF、EF分別平分∠ACB和∠AED，若∠B＝70°，∠D=40°，則∠F的大小是 ．
15．已知△ABC中，∠B=60°，∠C>∠A，且(∠C)2＝(∠A)2+(∠B)2，則△ABC的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
( “希望杯”邀請賽試題)
16．不等邊三角形中，如果有一條邊長等于另外兩條邊長的平均值，那么，最大邊上的高與最小邊上的高的比值 的取值范圍是( )
A． B． C． 1
18．如果三角形的一個外角大于這個三角形的某兩個內(nèi)角的2倍，那么這個三角形一定是( )
A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．直角或鈍角三角形
19．如圖，已知DM平分∠ADC，BM平分∠ABC，且∠A＝27°，∠M＝33°，求∠C的度數(shù)．
20．不等邊△ABC的兩條高長度分別為4和12，若第三條高的長也是整數(shù)，試求它的長．
(美國數(shù)學(xué)邀請賽試題)
21．將長度為2n(n為自然數(shù)，且n≥4)的一根鉛絲折成各邊的長均為整數(shù)的三 角形，記(a，b，c)為三邊的長，且滿足a≤b≤c的一個三角形．
(1)就n＝4，5，6的情況，分別寫出所有滿足題意的(a，b，c)；
(2)有人根據(jù)(1)中的結(jié)論，便猜想：當(dāng)鉛絲的長度為2n(n為自然數(shù)且n≥4)時，對應(yīng)(a，b，c)的個數(shù)一定是n－3，事實上，這是一個不正確的猜想，請寫出n＝12時的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的個 數(shù)；
(3)試將n=12時所有滿足題意的(a，b，c)，按照至少兩種不同的標(biāo)準(zhǔn)進行分類．
(河北省初中數(shù)學(xué)創(chuàng)新與知識應(yīng)用競賽試題)
22．閱讀以下材料并填空．
平面上有n個點(n≥2)，且任意三個點不在同一條直線上，過這些點作直線，一共能作出多少條不同的直線?
(1)分析：當(dāng)僅有兩個點時，可連成1條直線；當(dāng)有3個點時，可連成3條直線；當(dāng)有4個點時，可連成6條直線；有5個點時，可連成l0條直線……
(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)S發(fā)現(xiàn)：
(1)分析：當(dāng)僅有兩個點時，可連成1條直線；當(dāng)有3個點時 ，可連成3．條直線；當(dāng)有4個點時，可連成6條直線；當(dāng)有5個點時，可連成1 O條直線；
(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可連成直線的條數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：
點的個數(shù)可連成直線條數(shù)
21=S2=
3 3=S3=
46=S4=
510= S5=
…………
n
(3)推理：平面上有n個點，兩點確定一條直線．取第一個點以有n種取法，取第二個點B有(n－1)種取法，所以一共可連成n(n－1)條直線，但A B與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2，即Sn= ．
(4)結(jié)論：Sn= ．
試探究以下問題：平面上有n(n≥3)個點，任意三個點不在同一直線上，過任意三點作三角形，一共能作出多少不同的三角形?
(1)分析：當(dāng)僅有3個點時，可作 個三角形；當(dāng)有4個點時，可作 個三角形；當(dāng)有5個點時，可作 個三角形．
(2)歸納：考察點的個數(shù)n和可作出的三角形的個數(shù)Sn,發(fā)現(xiàn)：(填下表)
點的個數(shù) 可連成三角形個數(shù)
3
4
5
…
n
(3)推理：
(4)結(jié)論：
(甘肅省中考題)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chuer/77668.html
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