我們知道成語“一葉障目”和“只見樹木，不見森林”，它們的意思是說，如果過分關(guān)注細(xì)節(jié)，而忽視全局，我們就不會真正理解一個問題．
解數(shù)學(xué)題也是這樣，在加強(qiáng)對局部的研究與分析的基礎(chǔ)上，從整體上把握問題．所謂整體方法就是從問題的整體性質(zhì)出發(fā)，突出對問題的整體結(jié)構(gòu)的分析和改造，發(fā)現(xiàn)問題的整體結(jié)構(gòu)特征，善于用“集成”的眼光 ，把某些式子或圖形看成一個整體，把握它們之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識的整體處理．
整體方法在代數(shù)式的化簡與求值、解方程(組)、幾何解證等方面有廣泛的應(yīng)用，整體代人、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、設(shè)而不求、幾何中的補(bǔ)形等都是整體方法在解數(shù)學(xué)問題中的具體運(yùn)用．
例題求解
【例1】 若x、y、z滿足3x+7y+z=1和4x+10y+z=2001，則分式 的值為 ．(安慶市競賽題)
思路點(diǎn)撥 原式= ，視x+3 y與x+y+z為兩個整體，對方程組進(jìn)行整體改造．
【例2】 若△ABC的三邊長是a、b、c且滿足 ， ， ， 則△ABC是( )
A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形
( “希望杯”邀請賽試題)
思路點(diǎn)撥 三個等式結(jié)構(gòu)一樣，孤立地從一個等式入手，都導(dǎo)不出a、b、c 的關(guān)系，不妨從整體疊加入手．
【例3】 已知 ，求多項式 的值．
思路點(diǎn)撥 直接代入計算繁難，由已知條件得 ，兩邊平方有理化，可得到零值多項式，整體代入求值．
【例4】如圖，凸八邊形AlA2A3A4A5A6A7A8中，∠Al=∠A5，∠A2 =∠A6 ，∠A3 =∠A7 ，∠A4=∠A8，試證明：該凸八邊形內(nèi)任意一點(diǎn)到8條邊的距 離之和是一個定值．
(山東省競賽題)
思路點(diǎn)撥 將八邊形問題轉(zhuǎn)化為熟悉的圖形來解決，想象完整四邊形截去4個角就得到八邊形，就可知向外作輔助線，關(guān)鍵是證明對邊平行．
【例5】已知4×4的數(shù)表，如果把它的任一行或一列中的所有數(shù)同時變號，稱為一次變換，試問能否經(jīng)過有限次變換，使表中的數(shù)全變?yōu)檎龜?shù)?
思路點(diǎn)拔 若按要求去實驗，則實驗次數(shù)不能窮盡，每次變換只改變表中一行(或一列)中4個數(shù)的符號，但并不改變這4個數(shù)乘積的符號，這是解本例的關(guān)鍵．
注 由“殘部”想“整體”，修殘補(bǔ)缺，向外補(bǔ)形，恢復(fù)原形，將其拓展為范圍更廣的、其特征更為明顯，更為熟悉的幾何圖形，這是解復(fù)雜幾何問題的常用技巧．
從整體上考察問題的數(shù)量性質(zhì)、表現(xiàn)形式是對整體上不變性質(zhì)、不變量的特性的把握．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．如果 ，則 = ．
( “希望杯”邀請賽試題)
2．已知 ，那么 = ．
(2001年武漢市中考題)
3．已知 是實數(shù)，且滿足 ，那么 的值是 ．
(河南省競賽題)
4．如圖，六邊形ABCDEF中，AB∥DE且AB=DE，BC∥EF且BC=EF，AF∥CD且AF=CD，∠ABC=∠DEF=120°，∠AFE=∠BCD=90°，AB=2，BC=1，CD= ，則該六邊形ABCDEF的面積是 ．
5．已知 ， ，則 的值為( )
A．3 D．4 C． 5 D．6 (2003年杭州市中考題)
6．買20支鉛筆、3 塊橡皮、2本日記本需32元；買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本需58元；則買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本需( )
A．20元 B．25元 C ．30元 D．35元
(江蘇省競賽題)
7．已知a1，a2，…a2002均為正數(shù)，且滿足M=( a1+ a2+…+ a2001)( a2+ a3+…+ a2001－a2002)，N＝(a1+ a2+…+ a2001－a2002) (a2+ a3+…+ a2001)，則M與N之間的關(guān)系是( )
A．M>N B．M
8．已知 ，且 ，則 等于( )
A．105 D．100 C．75 D．50
(北京市競賽題)
9．將2，3，4，5，6，7，8，9，10，11這10個自然數(shù)填到圖中10個格子里，每個格子只 填一個數(shù)，使得“田”字形的4個格 子中所填數(shù)字之和都等于P，求戶的最大值．
(江蘇省競賽題)
10．如圖，CD∥AF，∠CDE=∠BAF，AB⊥BC，∠C=124°，∠E=80°，求∠F的度數(shù)．
11．設(shè) ， ，則 的值等于 ．
( “希望杯”邀請賽試題)
12．已知 ， ，則 2= ．
(湖北省數(shù)學(xué)競賽題)
13．若 ， ，則 的值是 ．
14．正數(shù)x1、x2、x3、x4、x5、x6同時滿足 ， ， ， ， ， ，則x1+x2+x3+x4+x5+x6z的值為 ．
(上海市競賽題)
15． 已知實數(shù)x，y滿足xy+x+y= 9， z，則 的值為( )
A．6 B．17 C ．1 D．6或17
16．如圖，在四邊形ABCD中，AB=4－ ，BC＝1，CD=3，∠B=135°，∠C＝90°，則∠D等于( )
A．60° B．67．5° C．75° D．無法確定 (重慶市競賽題)
17．若實數(shù)a、b滿足 ， ，則 的值為( )
A－20 B．2 C．2或－20 D．2或20
18．設(shè) a、b、c為實數(shù)， ， ， ，則 x、y、z中至少有一個( )
A．大于零 B．等于零 C．不大于零 D．小于零
(全國初中數(shù)學(xué)競賽題)
19．如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB= ，BC=5－ ，CD=6，求AD的長．
20．如圖，將1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)分別填入圖中的10個圓圈內(nèi)，使 任意連續(xù)相鄰的5個圓圈內(nèi)的數(shù)的和均不大于某一個整數(shù)M，求M的最小值并完成你的填圖．
21．求系數(shù)a、b、c間的關(guān)系式，使方程 有實數(shù)解．
22．有三種物 品，每件的價格分別為2元、4元和6元，現(xiàn)在用60元買這三種物品，總數(shù)共16件，而錢要恰好用完，則價格為6元的物品最多買幾件?價格為2元的物品最少買幾件?
(河南省競賽題)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chuer/77886.html
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