平面幾何 學的產(chǎn)生起源于人們對土地面積的測量，面積是平面幾何中一個重要的 概念，聯(lián)系著幾何圖形中的重要元素邊與角．
計算圖形的面積是幾何問題中一種常見問題，求面積的基本方法有：
1．直接法：根據(jù)面積公式和性質直接進行運算．
2．割補法：通過分割或補形，把不規(guī)則圖形或不易求解的問題轉化為規(guī)則圖形或易于求解的問題．
3．等積法：根據(jù)面積的等積性質進行轉化求解，常見的有同底等高、同高等底和全等的等積轉化 ．
4．等比法：將面積比轉化為對應線段的比．
熟悉以下基本圖形中常見的面積關系：
注 等積定理：等底等高的兩個三角形面積相等．
等比定理：(1)同底(或等底)的兩個三角形面積之比等于對應高之比，同高(或等高)的兩個三角形面積之比等于對應底之比； (2)相似三角形面積之比等于對應線段的平方比．
例題求解
【例1】 在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于點O，若AC=5，BD=12，中位線長為 ，△AOB的面積為S1，△COD的面積為S2，則 = ．
(山東省競賽 題)
思路點撥 本例綜合了梯形、面積等豐富的知識，圖形中有重要面積的關系：S△AOD=S△BOC= ，S梯形ABCD=S1+S2+ = (讀者證明)，于是將問題轉化為求梯形ABCD的面積．
【例2】 如圖，在△ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，并且BD⊥CE，BD＝4，CE=6，那么△ABC的面積等于( )
A．12 B．14 C．16 D．18
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
思路點撥 由中點想到三角形中位線，這樣△ABC與四邊形BCDE面積存在一定的關系，只要求出四邊形BCDE面積即可．
【例3】如圖，P、Q是矩形ABCD的邊BC和CD延長線上的兩點，AP與CQ相交于點E，且∠PAD=∠QAD，求證：S矩形ABCD=S△APQ． (重慶市競賽題)
思路點撥 把面積用相應的線段表示，面積的證明問題就轉化為線段的等積式的證明．注意等線段的代換．
【例4】 如圖甲，AB、CD是兩條線段，M是AB的中點，S△DMC、S△DAC、S△DBC分別表示△DMC、△DAC、△DBC的面積，當AB∥CD時，有S△DMC = ?
(1)如圖乙，若圖甲中AB不平行CD，①式是否成立?請說明理由；
(2)如圖丙，若圖甲中A月與CD相交于點O時，問S△DMC和S△DAC和S△DBC有何種相等關系?試證明你的結論． (安徽省中考題)
思路點撥 對于(1)，因△DMC、△DAC、△DBC同底，要判斷①式是否成立，只需尋找它們的高之間的關系：對于(2)，由于M為AB中點，可利用等積變換得到相等的面積關系，通過建立含S△DMC、S△DAC、S△DBC的等式尋找它們的關系．
注 本例綜合了三角形、梯形中位線、等積變形等知識，要求我們在動態(tài)型數(shù)學情景下進行觀察、分析、探索、猜想和論證．
通過強化或弱化條件，改變圖形的位置等方式進一步探究問題是發(fā)展幾何問題的重要途徑．
【例5】如圖，設P為△ABC內任意一點，直線AP、BP、CP交BC、CA、AB于點D、E 、F．
求證：（1） ；（2） ．
思路點撥 過P點、A點分別作BC的垂線，這樣既可得到平行線，產(chǎn)生比例線段，又可與面積聯(lián)系起來，把羔轉化為面積比，利用面積法證明．
注 有些幾何問題，雖然題目中沒有直接涉及面積，但由于面積關聯(lián)著邊角兩個重要元素，所以我們可從面積角度思考問題，這就是常說的面積法．
用面積法解題的基本步驟是：
(1)用不同方法或從不同角度計算某一圖形面積，得到一個含邊或舍角的關系式．
(2)化簡這個面積關系式，直至得到求解或求證的結果．
當問題涉及三角形的高、垂線或角平分線時，不 妨用面積法試一試．
學力訓練
1．如圖，是一個圓形花壇，中間的鮮花構成了一個菱形圖案(圖中尺寸單位為米)，如果每平方米種植鮮花20株，那么這個菱形圖案中共有鮮花 株．
(第14屆“希望杯”邀請賽試題)
2．如圖，矩形內有兩個相鄰的正方形面積分別為4和2，那么陰影部分的面積為 ．
(2003年上海市中考題)
3．如圖，在△ABC中，∠B =∠CAD， ，則 = ．
(重慶市競賽題)
4．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD=b(a
A．4 B．4 C．4 D ．6 (湖北省荊州市中考題)
6．ABCD是邊長為1的正方形，△BPC是等邊三角形，則厶BPD的面積為( )
A． B． C． D． (武漢市選拔賽題)
7．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，分別以AC、AB為邊，在△ABC外作正方形ACEF和正方形AGHB，作CK⊥AB分別交AB和GH于D和K，則正方形ACEF的面積S1與矩形AGKD的面積S2的大小關系為( )
A．S1=S2 B．S1＞S2 C．S1＜S2 D．不能確定，與 的大小有關
(2002年
8．有一塊缺角矩形地皮ABCDE(如圖)，其中AB＝110m，BC=80m，CD=90m，∠EDC=135°．現(xiàn)準備用此塊地建一座地基為長方形(圖中用陰影部分表示)的教學大樓，以下四個方案中，地基面積最大的是( )(2003年廣州市中考題)
9．今有一塊正方形土地，要在其上修筑兩條筆直的道路，使道路將這塊土地分成形狀相同且面積相等的4部分．若道路的寬度可忽略不計，請設計4種不同的修筑方案．
(2000年山東省競賽題)
10．如圖，已知梯形ABCD的面積為34cm2，AE=BF，CE與DF相交于O，△OCD的面積為11cm2，求蝶形(陰影部分)的面積．
11．探究規(guī)律：
如圖a，已知：直線m∥ n，A、B為直線n上兩點，C、P為直線m上兩點．
(1)請寫出圖a中，面積相等的各對三角形 ；
(2)如果A、B、C為三個定點，點P在m上移動，那么，無論 P點移動到任何位置，總有 與△ABC的面積相等．理由是： ．
解決問題：
如圖b，五邊形ABCDE是張大爺十年前承包的一塊土地的示意圖．經(jīng)過多年開墾荒地，現(xiàn)已變成如圖c所示的形狀，但承包土地與開墾荒地的分界小路(即圖c中折線CDE)還保留著．張大爺想過正點修一 條直路，直路修好后，要保持直路左邊的土地面積與承包時的一樣多，右邊的土地面積與開墾的荒地面積一樣多．請你用有關的幾何知識，按張大爺?shù)囊笤O計出修路方案．
(不計分界小路與直路的占地面積)
(1)寫出設計方案，并在圖c中畫出相應的圖形；
(2)說明方案設計理由． (河北省中考題)
12．如圖，△ABC中，AD與BE相交于F，已知S△AFB=12cm2，S△BFD=9cm2，S△AFE=6cm2，那么四邊形CDFE的面積為 cm2．(我愛數(shù)學夏令營競賽題)
13．如圖，分別延長△ABC的三邊AB、BC、CA至A′、B′、C′，使得AA′=3AB，BB′=3BC，CC′=3AC，若S△ABC=1，則S△A'B'C'= ．
14．如圖，設△ABC的 面積是1，D是邊BC上一點，且 ，若在邊AC上取一點，使四邊形ABDE的面積為 ，則 的值為 ． (天津市競賽題)
15．如圖，從等邊三角形內一點向三邊作垂線，已知這三條垂線段的長分別為1、3、5，則這個等邊三角形的邊長為 ． (全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
16．如圖，E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點，連結AF、CE，設AF與CE的交點為G，則 等于( )
A． B． C． D． (全國初中數(shù)學競賽題)
17．如圖，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC=CD，請按照圖中所標注的數(shù)據(jù)，計算圖中實線所圍成的圖形的面積S是( )
A．50 B．62 C．65 D．68
(山東省競賽題)
18．如圖，在△ADC中，EF∥BC，S△AEF=S△BCE，若S△ABC=1，則S△CEF等于( )
A． B． C． D． (四川省競賽題)
19．已知菱形ABCD的兩條對角線AC、BD的乘積等于菱形的一條邊長的平方，則菱形的一個鈍角的大小是( )
A．165° D．135° C． 150° D．120° (“希望杯”邀請賽試題)
20．如圖，在銳角△ABC中，D、E、F分別是AB、BC、CA邊上的三等分點，P、Q、R分別是△ADF、△BDE、△CEF的三條中線的交點．
(1)求△DEF與△ABC的面積比；
(2)求△PDF與△ADF的面積比；
(3)求多邊形PDQERF與△ABC的面積比．( “希望杯”邀請賽試題)
21．如圖，設凸四邊形ABCD的一組對邊AB、CD的中點分別為K、M，
求證：S四邊形ABCD=S△ABM+S△DCK．
22．如圖，已知D、E、F分別是銳角△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且AD、BE、CF相交于P點，AP=BP=CP=6，設PD =x，PE=y，PF=z，若xy+yz+ z x=28，求xyz的值．
23．如圖，在△ABC中是否存在一點P，使得過P點的任意一直 線都將△ABC分成等積的兩部分?為什么?
24．如圖，以△ABC的三邊為邊向形外分別作正方形ABDE，CAFG，BCHK，連結EF，GH，KD，求證：以E F，GH，KD為邊可以構成一個三角形，并且所構成的三角形的面積等于△ABC面積的3倍． (北京市競賽題)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chuer/78641.html
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