2013中考全國(guó)100份試卷分類匯編
等腰直角三角形
1、（2013•衢州）將一個(gè)有45°角的三角板的直角頂點(diǎn)放在一張寬為3c的紙帶邊沿上．另一個(gè)頂點(diǎn)在紙帶的另一邊沿上，測(cè)得三角板的一邊與紙帶的一邊所在的直線成30°角，如圖，則三角板的最大邊的長(zhǎng)為（ �。�
A．3cB．6cC． cD． c
考點(diǎn)：含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
分析：過另一個(gè)頂點(diǎn)C作垂線CD如圖，可得直角三角形，根據(jù)直角三角形中30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角邊，再由等腰直角三角形求出最大邊．
解答：解：過點(diǎn)C作CD⊥AD，∴CD=3，
在直角三角形ADC中，
∵∠CAD=30°，
∴AC=2CD=2×3=6，
又三角板是有45°角的三角板，
∴AB=AC=6，
∴BC2=AB2+AC2=62+62=72，
∴BC=6 ，
故選：D．
點(diǎn)評(píng)：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是含30°角的直角三角形及等腰直角三角形問題，關(guān)鍵是先由求得直角邊，再由勾股定理求出最大邊．
2、（2013•內(nèi)江）已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90°，D為AB邊上一點(diǎn)．求證：BD=AE．
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．
專題：證明題．
分析：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ACE=∠BCD，然后利用“邊角邊”證明△ACE和△BCD全等，然后根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可證明．
解答：證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACD=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中， ，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及等角的余角相等的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3、（2013•常德壓軸題）已知兩個(gè)共一個(gè)頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，是AF的中點(diǎn)，連接B、E．
（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，求證：B∥CF；
（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求B，E的長(zhǎng)；
（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時(shí)，求證：B=E．
考點(diǎn)：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．3718684
分析：（1）證法一：如答圖1a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，證明B為△ADF的中位線即可；
證法二：如答圖1b所示，延長(zhǎng)B交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠BA=∠DF，根據(jù)中點(diǎn)定義可得A=F，然后利用“角邊角”證明△AB和△FD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EB=45°，從而得到∠EB=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明B∥CF即可，
（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出B、E是兩條中位線；
解法二：先求出BE的長(zhǎng)，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得B=D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得E⊥BD，求出△BE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出B、E是兩條中位線：B= DF，E= AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明B=E；
證法二：如答圖3b所示，延長(zhǎng)B交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠BA=∠DF，根據(jù)中點(diǎn)定義可得A=F，然后利用“角邊角”證明△AB和△FD全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AB=DF，B=D，再根據(jù)“邊角邊”證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．
解答：（1）證法一：
如答圖1a，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)為線段AF的中點(diǎn)，
∴B為△ADF的中位線，
∴B∥CF．
證法二：
如答圖1b，延長(zhǎng)B交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BA=∠DF，
∵是AF的中點(diǎn)，
∴A=F，
∵在△AB和△FD中，
，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE?BC，DE=EF?DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EB=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EB=∠ECF，
∴B∥CF；
（2）解法一：
如答圖2a所示，延長(zhǎng)AB交CF于點(diǎn)D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=AD= a，
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)為AF中點(diǎn)，
∴B= DF．
分別延長(zhǎng)FE與CA交于點(diǎn)G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF= a，
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)為AF中點(diǎn)，
∴E= AG．
∵CG=CF= a，CA=CD= a，
∴AG=DF= a，
∴B=E= × a= a．
解法二：
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE?CB=2a?a=a，
∵△AB≌△FD，
∴B=D，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BE是等腰直角三角形，
∴B=E= BE= a；
（3）證法一：
如答圖3a，延長(zhǎng)AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)為AF中點(diǎn)，∴B= DF．
延長(zhǎng)FE與CB交于點(diǎn)G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)為AF中點(diǎn)，∴E= AG．
在△ACG與△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴B=E．
證法二：
如答圖3b，延長(zhǎng)B交CF于D，連接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BA=∠DF，
∴是AF的中點(diǎn)，
∴A=F，
在△AB和△FD中， ，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，B=D，
∴AB=BC=DF，
∵在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵B=D，
∴B=E= BD，
故B=E．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．
4、（2013•湖州）一節(jié)數(shù)學(xué)課后，老師布置了一道課后練習(xí)題：
如圖，已知在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，BO⊥AC，于點(diǎn)O，點(diǎn)PD分別在AO和BC上，PB=PD，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：△BPO≌△PDE．
（1）理清思路，完成解答（2）本題證明的思路可用下列框圖表示：
根據(jù)上述思路，請(qǐng)你完整地書寫本題的證明過程．
（2）特殊位置，證明結(jié)論
若PB平分∠ABO，其余條件不變．求證：AP=CD．
（3）知識(shí)遷移，探索新知
若點(diǎn)P是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到OC的中點(diǎn)P′時(shí)，滿足題中條件的點(diǎn)D也隨之在直線BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D′，請(qǐng)直接寫出CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系．（不必寫解答過程）
考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)．
分析：（1）求出∠3=∠4，∠BOP=∠PED=90°，根據(jù)AAS證△BPO≌△PDE即可；
（2）求出∠ABP=∠4，求出△ABP≌△CPD，即可得出答案；
（3）設(shè)OP=CP=x，求出AP=3x，CD= x，即可得出答案．
解答：（1）證明：∵PB=PD，
∴∠2=∠PBD，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°，
∵BO⊥AC，
∴∠1=45°，
∴∠1=∠C=45°，
∵∠3=∠PBO?∠1，∠4=∠2?∠C，
∴∠3=∠4，
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°，
在△BPO和△PDE中
∴△BPO≌△PDE（AAS）；
（2）證明：由（1）可得：∠3=∠4，
∵BP平分∠ABO，
∴∠ABP=∠3，
∴∠ABP=∠4，
在△ABP和△CPD中
∴△ABP≌△CPD（AAS），
∴AP=CD．
（3）解：CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′．
理由是：設(shè)OP=PC=x，則AO=OC=2x=BO，
則AP=2x+x=3x，
由（2）知BO=PE，
PE=2x，CE=2x?x=x，
∵∠E=90°，∠ECD=∠ACB=45°，
∴DE=x，由勾股定理得：CD= x，
即AP=3x，CD= x，
∴CD′與AP′的數(shù)量關(guān)系是CD′= AP′
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理和計(jì)算能力．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chusan/103747.html
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