第一章特殊的平行四邊形專項測試題(二)
一、單項選擇題(本大題共有15小題,每小題3分,共45分)
1、在菱形 中,對角線 , 相交于點 ,則圖中全等的直角三角形共有( )
A. 對
B. 對
C. 對
D. 對
2、下列四個命題中,真命題是().
A. 四邊都相等的四邊形是正方形
B. 對角線相等且互相平分的四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形
D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
3、如果要證明平行四邊形 為正方形,那么我們需要在四邊形 是平行四邊形的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步證明().
A. 與 互相垂直平分
B. 且
C. 且
D. 且
4、下列說法中錯誤的是( 。.
A. 對角線垂直的矩形是正方形
B. 對角線相等的菱形是正方形
C. 四條邊相等的四邊形是正方形
D. 四個角相等的四邊形是矩形
5、如圖,在矩形 中, 為 的中點,連接 并延長交 的延長線于點 ,則圖中的全等三角形共有().
A. 對
B. 對
C. 對
D. 對
6、 在 中, , 是邊 上一點, 交 于點 , 交 于點 ,若要使四邊形 是菱形,只需添加條件( ).
A.
B.
C.
D.
7、過矩形 的四個頂點作對角線 、 的平行線分?交于 、 、 、 四點,則四邊形 是( ).
A. 平行四邊形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
8、下列命題中,真命題是( 。
A. 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B. 兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C. 兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
D. 兩條對角線相等的四邊形是矩形
9、用兩個完全相同的直角三角形拼下列圖形:①平行四邊形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等邊三角形,一定能拼成的圖形是
A. ①②④
B. ①②③
C. ①②⑤
D. ①④⑤
10、設(shè) 、 表示兩個集合,我們規(guī)定“ ”表示 與 的公共部分,并稱之為 與 的交集.例如:若 正數(shù) , 整數(shù) ,則 正整數(shù) .若 矩形 , 菱形 ,則所對應(yīng)的集合 是( 。
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四邊形
11、如圖所示,已知四邊形 的對角線 、 相交于點 ,則下列能判斷它是正方形的條件是( )
12、如圖,在 中, , , , 為邊 上一動點, 于 , 于 , 為 的中點,則 的最小值為( 。
13、如圖,四邊形 的對角線互相平分,要使它成為矩形,那么需要添加的條件是( 。
14、如圖,已知四邊形 的四邊都相等,等邊 的頂點 、 分別在 、 上,且 ,則 ( 。
15、如圖所示,設(shè) 表示平行四邊形, 表示矩形, 表示菱形, 表示正方形,則下列四個圖形中,能表示它們之間關(guān)系的是( 。
二、填空題(本大題共有5小題,每小題5分,共25分)
16、邊長為 的正方形,對角線的長為______ .
17、有一組 相等的 四邊形是菱形.
18、1.正方形的定義
有一組鄰邊 且一個角是 的平行四邊形叫做正方形。
19、如果菱形的兩對角線分別為 和 ,則它的面積是 .
20、如圖,在矩形 中, ,點 和點 分別從點 和點 出發(fā),按逆時針方向沿矩形 的邊運動,點 和點 的速度分別為 和 ,則最快 后,四邊形 成為矩形.
三、解答題(本大題共有3小題,每小題10分,共30分)
21、如圖,在正方形 中,已知 是對角線 上一點,連接 、 ,延長 到 ,使 .求證: .
22、在平行四邊形 中,過點 作 于點 ,點 在邊 上, ,連接 .
(1) 求證:四邊形 是矩形;
(2) 若 ,求證: 平分 .
23、如圖,在 中, , 的垂直平分線 交 于 ,交 于 , 在 上,并且 .
(1) 求證:四邊形 是平行四邊形.
(2) 求證:四邊形 是平行四邊形.
(3) 當(dāng) 滿足什么條件時,四邊形 是菱形?請回答并證明你的結(jié)論.
第一章特殊的平行四邊形專項測試題(二) 答案部分
一、單項選擇題(本大題共有15小題,每小題3分,共45分)
1、在菱形 中,對角線 , 相交于點 ,則圖中全等的直角三角形共有( )
A. 對
B. 對
C. 對
D. 對
【答案】D
【解析】解: 四邊形 是菱形
即圖中全等的直角三角形共有 對.
2、下列四個命題中,真命題是().
A. 四邊都相等的四邊形是正方形
B. 對角線相等且互相平分的四邊形是矩形
C. 對角線互相垂直且相等的四邊形是菱形
D. 對角線互相垂直平分的四邊形是正方形
【答案】B
【解析】解:
對角線互相垂直平分的四邊形可能是菱形也可能是正方形, 不是真命題,
對角線互相垂直且相等的四邊形可能是菱形也可能是正方形, 不是真命題,
對角線相等且互相平分的四邊形是矩形, 是真命題,
四邊都相等的四邊形可能是是菱形也可能是正方形, 不是真命題,
故答案為:對角線相等且互相平分的四邊形是矩形.
3、如果要證明平行四邊形 為正方形,那么我們需要在四邊形 是平行四邊形的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步證明().
A. 與 互相垂直平分
B.
且
C. 且
D. 且
【答案】C
【解析】解:
且 ,只能證明四邊形是菱形,
且 錯誤,
且 ,能證明四邊形是正方形,
且 正確,
且 ,只能證明四邊形是矩形,
且 錯誤,
與 互相垂直平分,只能證明四邊形是菱形,
與 互相垂直平分錯誤,
故答案為: 且 .
4、下列說法中錯誤的是( 。.
A. 對角線垂直的矩形是正方形
B. 對角線相等的菱形是正方形
C. 四條邊相等的四邊形是正方形
D. 四個角相等的四邊形是矩形
【答案】C
【解析】解:四個角相等的四邊形則每個角為90°,所以是矩形,該說法正確,不符合題意;
四條邊相等的四邊形是菱形,不一定是正方形,該說法錯誤,符合題意;
對角線相等的菱形是正方形,該說法正確,不符合題意;
對角線垂直的矩形是正方形,該說法正確,不符合題意.
故正確答案選:四條邊相等的四邊形是正方形.
5、如圖,在矩形 中, 為 的中點,連接 并延長交 的延長線于點 ,則圖中的全等三角形共有().
A. 對
B. 對
C. 對
D. 對
【答案】A
【解析】解:由矩形 可知 ,
為 的中點,
,
在 和 中,
, , ,
,
,
由矩形 得 ,
,
由 , , 可得:
,
由矩形 得:
, ,
在 和 中,
, , ,
,
綜上可知圖中全等的三角形共有 對.
故正確答案是: 對.
6、 在 中, , 是邊 上一點, 交 于點 , 交 于點 ,若要使四邊形 是菱形,只需添加條件( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解:只需添加
,
四邊形 是平行四邊形
四邊形 是菱形
故正確答案是:
7、過矩形 的四個頂點作對角線 、 的平行線分?交于 、 、 、 四點,則四邊形 是( ).
A. 平行四邊形
B. 矩形
C. 菱形
D. 正方形
【答案】C
【解析】解:
由題意知, , ,
四邊形 是平行四邊形,
.
四邊形 為矩形,矩形的對角線相等,
,
,
平行四邊形 是菱形.
故答案為:菱形.
8、下列命題中,真命題是( 。
A. 兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
B. 兩條對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形
C. 兩條對角線互相垂直的四邊形是菱形
D. 兩條對角線相等的四邊形是矩形
【答案】A
【解析】解:兩條對角線相等且互相平分的四邊形才是矩形,該選項命題錯誤;
兩條對角線互相垂直且平分的四邊形才是菱形,該選項命題錯誤;
兩條對角線互相垂直且相等且互相平分的四邊形是才正方形,該選項命題錯誤;
兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形,該命題正確.
故答案為:兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
9、用兩個完全相同的直角三角形拼下列圖形:①平行四邊形 ②矩形 ③菱形 ④等腰三角形 ⑤等邊三角形,一定能拼成的圖形是
A. ①②④
B. ①②③
C. ①②⑤
D. ①④⑤
【答案】A
【解析】如圖,用兩個完全相同的直角三角形首先可以拼成平行四邊形、矩形和等腰三角形
因為該直角三角形不一定有60°內(nèi)角,所以不一定能拼成等邊三角形,因為該直角三角形不一定有兩條邊相等,所以不一定能拼成菱形,故一定能拼成的只有平行四邊形、矩形和等腰三角形
故①②④正確
10、設(shè) 、 表示兩個集合,我們規(guī)定“ ”表示 與 的公共部分,并稱之為 與 的交集.例如:若 正數(shù) , 整數(shù) ,則 正整數(shù) .若 矩形 , 菱形 ,則所對應(yīng)的集合 是( 。
A. 正方形
B. 菱形
C. 矩形
D. 平行四邊形
【答案】A
【解析】解: “ ”表示 與 的公共部分,
矩形 , 菱形 ,
則既是矩形又是菱形的為正方形,則
正方形 .
11、如圖所示,已知四邊形 的對角線 、 相交于點 ,則下列能判斷它是正方形的條件是( 。
A. ,
B. , ,
C.
D. ,
【答案】D
【解析】解: 且AC、BD互相平分可判定為菱形,再由AC=BD判定為正方形.
12、如圖,在 中, , , , 為邊 上一動點, 于 , 于 , 為 的中點,則 的最小值為( 。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:連結(jié) ,如圖所示:
, , ,
,
, ,
四邊形 是矩形,
.
是 的中點,
,
根據(jù)直線外一點到直線上任一點的距離,垂線段最短,
即 時, 最短,同樣 也最短,
當(dāng) 時, ,
最短時, ,
當(dāng) 最短時, .
13、如圖,四邊形 的對角線互相平分,要使它成為矩形,那么需要添加的條件是( 。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:可添加 ,
四邊形 的對角線互相平分,
四邊形 是平行四邊形,
,根據(jù)矩形判定定理對角線相等的平行四邊形是矩形,
四邊形 是矩形,
14、如圖,已知四邊形 的四邊都相等,等邊 的頂點 、 分別在 、 上,且 ,則 ( 。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解: 四邊形 的四邊都相等,
四邊形 是菱形,
, , ,
,
是等邊三角形, ,
, ,
, ,
由三角形的內(nèi)角和定理得: ,
設(shè) ,則 ,
,
,
解得: ,
.
15、如圖所示,設(shè) 表示平行四邊形, 表示矩形, 表示菱形, 表示正方形,則下列四個圖形中,能表示它們之間關(guān)系的是( 。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解: 四個邊都相等的矩形是正方形,有一個角是直角的菱形是正方形,
正方形應(yīng)是N的一部分,也是 的一部分,
矩形形、正方形、菱形都屬于平行四邊形,
它們之間的關(guān)系是: .
二、填空題(本大題共有5小題,每小題5分,共25分)
16、邊長為 的正方形,對角線的長為______ .
【答案】
【解析】解:如圖所示:
四邊形 是正方形,
, .
在直角 中, ,
由勾股定理得: .
故答案為: .
17、有一組 相等的 四邊形是菱形.
【答案】鄰邊;平行
【解析】解:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
故正確答案是:鄰邊;平行.
18、1.正方形的定義
有一組鄰邊 且一個角是 的平行四邊形叫做正方形。
【答案】相等,直角
【解析】解:有一組鄰邊相等且一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。
故答案是,相等,直角.
19、如果菱形的兩對角線分別為 和 ,則它的面積是 .
【答案】10
【解析】解:棱形的對角線互相垂直,則它的面積
20、如圖,在矩形 中, ,點 和點 分別從點 和點 出發(fā),按逆時針方向沿矩形 的邊運動,點 和點 的速度分別為 和 ,則最快 后,四邊形 成為矩形.
【答案】4
【解析】解:設(shè)最快 秒, 是矩形, ,
要使 是矩形,則 ,
得 .
解得 .
三、解答題(本大題共有3小題,每小題10分,共30分)
21、如圖,在正方形 中,已知 是對角線 上一點,連接 、 ,延長 到 ,使 .求證: .
【解析】證明:
正方形 中, , .
,
.
22、在平行四邊形 中,過點 作 于點 ,點 在邊 上, ,連接 .
(1) 求證:四邊形 是矩形;
【解析】證明:
四邊形 是平行四邊形,
.
,
四邊形 是平行四邊形.
,
,
四邊形 是矩形.
(2) 若 ,求證: 平分 .
【解析】解:
四邊形 是平行四邊形,
,
.
在 中,由勾股定理,得
,
,
,
,
即 平分 .
23、如圖,在 中, , 的垂直平分線 交 于 ,交 于 , 在 上,并且 .
(1) 求證:四邊形 是平行四邊形.
【解析】解: 是 的垂直平分線,
, ,
,
與 互余, 與 互余
,
,
又 ,
和 都是等腰三角形,
,
,
在 和 中
,
( ),
四邊形 是平行四邊形.
(2) 求證:四邊形 是平行四邊形.
【解析】解: 是 的垂直平分線,
, ,
,
,
,
,
與 互余, 與 互余
,
,
又 ,
和 都是等腰三角形,
,
,
在 和 中
,
( ),
四邊形 是平行四邊形.
(3) 當(dāng) 滿足什么條件時,四邊形 是菱形?請回答并證明你的結(jié)論.
【解析】解:當(dāng) 時,四邊形 是菱形.
證明如下:
,
,
,
平行四邊形 是菱形.
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