圖形存在問題在各地中考中屢見不鮮.這類問題常常以圖形的變化或圖形上點(diǎn)的運(yùn)動為主線，要求我們判斷和說明符合某一結(jié)論的現(xiàn)象是否存在.解答這類問題，可首先假設(shè)這種現(xiàn)象存在，再考慮利用化“動”為“靜”的策略，構(gòu)造方程關(guān)系式或函數(shù) 關(guān)系式，進(jìn)行判斷和說明.現(xiàn)舉例分析如下:
一、從構(gòu)造方程關(guān)系式入手
例1 (臨沂市中考)已知，在矩形 中， ， ，動點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)沿邊 向點(diǎn) 運(yùn)動.
(1)如圖1，當(dāng) ，點(diǎn) 運(yùn)動到邊 的中點(diǎn)時(shí)，請證明: .
(2)如圖2，若 時(shí)，點(diǎn) 在運(yùn)動的過程中，是否存在 ?若存在，請給予證明;若不存在，請說明理由.
解析(1)先證明 .
∵四邊形 是矩形，
∴ .
∵ ，點(diǎn)M= 是邊 的中點(diǎn)，
∴ ， ，
∴ 和 都是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ .
(2)假設(shè)存在題中所求，則存在符合 要求的正實(shí)數(shù) ，使得 .
由 ，得
當(dāng) 時(shí)，
，且兩根均大于0，所以存在兩個不同的正實(shí)數(shù) ，使得 ，必存在使 的點(diǎn) ;
當(dāng) 時(shí)，
，所以不存在正實(shí)數(shù) ，使得 ，必不存在使 的點(diǎn) .
說明 解答(1)的關(guān)鍵在于將證明 轉(zhuǎn)化為證明 和 都是等腰直角三角形.
解答(2)的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn):若 ，則 .根據(jù)其對 應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)，能構(gòu)造一個關(guān)于 的一元二次方程.接下去只需要判斷或說明這個關(guān)于 的 一元二次方程是否存在正實(shí)數(shù)根.
例2 (南通市中考)如圖3，在 中， c， cm，點(diǎn) 是 邊的中點(diǎn)，點(diǎn) 從點(diǎn) 出發(fā)，以 c m/s( )的速度沿 勻速向點(diǎn) 運(yùn)動;點(diǎn) 同時(shí)以1cm/s的速度從點(diǎn) 出發(fā)，沿 勻速向點(diǎn) 運(yùn)動，其中一個動點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)它們運(yùn)動的時(shí)間為 s.
(1)若 ， ，求 的值.
(2)點(diǎn) 在 上，四邊形 為平行四邊形.
①若 ，求 的長.
②是否存在實(shí)數(shù) ，使得點(diǎn) 在 的平分線上?若存在，請求出 的值;若不存在，請說明理由.
解析 (1)在 中，由已知條件 ，可得
∵ 時(shí)，
， ， ，
∴ ，
解得 .
(2)①由四邊形 為平行四邊形，得
解得 .
∴ .
②假設(shè)存在符合要求的實(shí)數(shù) ，連 (如圖4).
∵ 平分 ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四邊形 是菱形.
因?yàn)?，所以不存在實(shí)數(shù)符合要求的 ，使得點(diǎn) 在 的平分線上.
說明 解答(1)的關(guān)鍵在于利用 的條件，根據(jù)其對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)構(gòu)造一個關(guān)于 的方程.
解答(2)①的關(guān)鍵在于從四邊形 為平行四邊形入手，推出 為等腰三角形及 ;解答(2)②的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)，若點(diǎn) 在 的平分線上時(shí)，四邊形 是菱形，根據(jù) 且 ，能得兩個關(guān)于 和 的方程.
二、從構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式入手
例3 (南充市)如圖5，在 中， ， 是 中點(diǎn)，把一三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn) 處，以 為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺， 使三角尺的兩直角邊與 的兩直角邊分別交于點(diǎn) 、 .
(1)求證： .
(2)連結(jié) ，探究:在旋轉(zhuǎn)三角尺 的過程中， 的周長是否存在最小值?若存在，求出最小值; 若不存在，請說明理由.
解析 (1)如圖6所示，連結(jié) ，只需證明 .
因?yàn)?是等腰直角三角形，且 是斜邊 的中點(diǎn)，
∴ ， ， 平分 .
∴ .
(2)假設(shè)存在最小值，則存在正實(shí)數(shù) ，使得 ，且使得 的周長 有最小值.
∴ ，
∵ ，
∴當(dāng) 時(shí)， 有最小值為8，
∴ 的最小值 .
所以在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中， 的周長存在最小值為 .
說明 解答(7)的關(guān)鍵在于連結(jié) ，將證明 轉(zhuǎn)化為證明 .
解答(2)的關(guān)鍵在 于構(gòu)造l= 與 的函數(shù)關(guān)系式，并利用配方方法確定 的 最小值為8.
例4 (德州市)如圖7所示，現(xiàn)有一張邊長為4的 正方形紙片 ，點(diǎn) 為正方形 邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn) 、 點(diǎn)重合).將正方形紙片折疊，使點(diǎn) 落在 處，點(diǎn) 落在 處， 交 于 ，折痕為 ，連結(jié) 、 .
(1)求證: .
(2)當(dāng)點(diǎn) 在邊 上移動時(shí)， 的周長是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論.
(3)設(shè) 為 ，四邊形 的面積為 ，試問 是否存在最小值?若存在，求出這個最小值;若不存在，請說明理由.
解析 (1)注意 到 ，那么 .
因?yàn)樗倪呅?沿拆痕 折疊后與四邊形 重合，
∴ ，
∴ .
(2)如圖8，過點(diǎn) 作 于點(diǎn) .
∵ ，
∴點(diǎn) 在 的平分線上，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴
∴ 的 周長 .
所以點(diǎn) 在邊 上移動時(shí)， 的周長不會發(fā)生變化.
(3)假設(shè)四邊形 的面積 存在最小值.由于四邊形 沿折痕 折疊后與四邊形 重合，則 .
∵ ，
.
過點(diǎn) 作 ，垂足為 ，
則 ， .
∵ 為折痕，點(diǎn) 與點(diǎn) 是一對對應(yīng)點(diǎn)，
.
因?yàn)楫?dāng) 時(shí)， 的最小值為6,
所以四邊形 的面積 存在最小值為6.
說明解答(1)的關(guān)鍵在于利用軸對稱圖形的性質(zhì)證明 .
解答(2)的關(guān)鍵在于過點(diǎn) 作 于點(diǎn) ，并利用(1)的結(jié)論證明 .
解答(3)的關(guān)鍵在于用 分別表示 和 .要用 表示 離不開用 表示 ，要用 表示 ，過點(diǎn) 作 至關(guān)重要.
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