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2013年廣東省珠海市中考數(shù)學試卷
一、（本大題5小題，每小題3分，共15分）在每小題列出的四個選項中，只有一個是正確的，請把答題卡上對應題目所選的選項涂黑
1．（3分）（2013•珠海）實數(shù)4的算術平方根是（ �。�
A．?2B．2C．±2 D．±4
2．（3分）（2013•珠海）如圖兩平行線a、b被直線l所截，且∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（ �。�
A．30°B．45°C．60°D．120°
3．（3分）（2013•珠海）點（3，2）關于x軸的對稱點為（ �。�
A．（3，?2）B．（?3，2）C．（?3，?2）D．（2，?3）
4．（3分）（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2?2x?3=0．下列說法正確的是（ ）
A．①②都有實數(shù)解B．①無實數(shù)解，②有實數(shù)解
C．①有實數(shù)解，②無實數(shù)解D．①②都無實數(shù)解
5．（3分）（2013•珠海 ）如圖，▱ABCD的頂點A、B、D在⊙O上，頂點C在⊙O的直徑BE上，∠ADC=54°，連接AE，則∠AEB的度數(shù)為（ �。�
A．36°B．46°C．27°D．63°
二、題（本大題5小題，每小題4分，共20分）請將行李各題的正確答案填寫在答題卡相應的位置上。
6．（4分）（2013•珠海）使式子 有意義的x的取值范圍是 _________�。�
7．（4分）（2013•珠海）已知，函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過點A（?1，y1），點B（?2，y2），則y1 _________ y2（填“＞”“＜”或“=”）
8．（4分）（2013•珠海）若圓錐的母線長為5c，地面半徑為3c，則它的測面展開圖的面積為 _________ c2（結果保留π）
9．（4分）（2013•珠海）已知a、b滿足a+b=3，ab=2，則a2+b2= _________�。�
10．（4分）（2013•珠海）如圖，正方形ABCD的邊長為1，順次連接正方形ABCD四邊的中點得到第一個正方形A1B1C1D1，由順次連接正方形A1B1C1D1四邊的中點得到第二個正方形A2B2C2D2…，以此類推，則第六個正方形A6B6C6D6周長是 _________�。�
三、解答題（一）（本大題5小題，每小題6分，共30 分）
11．（6分）（2013•珠海）計算： ?（ ）0+
12．（6分）（2013•珠海）解方程： ．
13．（6分）（2013•珠海）某初中學校對全校學生進行一次“勤洗手”的問卷調查，學校七、八、九三個年級學生人數(shù)分別為600人、700人、600人，經(jīng)過數(shù)據(jù)整理將全校的“勤洗手”調查數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計圖．
（1）根據(jù)統(tǒng)計圖，計算八年級“勤洗手”學生人數(shù)，并補全下列兩幅統(tǒng)計圖．
（2）通過計算說明那個年級“勤洗手”學生人數(shù)占本年級學生人數(shù)的比例最大？
14．（6分）（2013•珠海）如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求證：BC=DC．
15．（6分）（2013•珠海）某漁船出海捕魚，2010年平均每次捕魚量為10噸，2012年平均每次捕魚量為8.1噸，求2010年?2012年每年平均每次捕魚量的年平均下降率．
四、解答題（二））（本大題4小題，每小題7分，共28分）
16．（7分）（2013•珠海）一測量愛好者，在海邊測量位于正東方向的小島高度AC，如圖所示，他先在點B測得山頂點A的仰角為30°，然后向正東方向前行62米，到達D點，在測得山頂點A的仰角為60°（B、C、D三點在同一水平面上，且測量儀的高度忽略不計）．求小島高度AC（結果精確的1米，參考數(shù)值： ）
17．（7分）（2013•珠海）如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且與AB相切于點A
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）求∠B的度數(shù)．
18．（7分）（2013•珠海）把分別標有數(shù)字2、3、4、5的四個小球放入A袋內，把分別標有數(shù)字 、 、 、 、 的五個小球放入B袋內，所有小球的形狀、大小、質地完全相同，A、B兩個袋子不透明、
（1）小明分別從A、B兩個袋子中各摸出一個小球，求這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率；
（2）當B袋中標有 的小球上的數(shù)字變?yōu)椤________ 時（填寫所有結果），（1）中的概率為 ．
19．（7分）（2013•珠海）已知，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，OA=OB，函數(shù)y= 的圖象與線段AB交于點，且A=B．
（1）求點的坐標；
（2）求直線AB的解析式．
五、解答題（三）（本大題3小題，每小題9分，共27分）
20．（9分）（2013•珠海）下面材料，并解答問題．
材料：將分式 拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母為?x2+1，可設?x4?x2+3=（?x2+1）（x2+a）+b
則?x4?x2+3=（?x2+1）（x2+a）+b=?x4?ax2+x2+a+b=?x4?（a?1）x2+（a+b）
∵對應任意x，上述等式均成立，∴ ，∴a=2，b=1
∴ = =x2+2+
這樣，分式 被拆分成了一個整式x2+2與一個分式 的和．
解答：
（1）將分式 拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
（2）試說明 的最小值為8．
21．（9分）（2013•珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．
（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）求證：AE=CP；
（3）當 ，BP′=5 時，求線段AB的長．
22．（9分）（2013•珠海）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正半軸上，且長分別為、4（＞0），D為邊AB的中點，一拋物線l經(jīng)過點A、D及點（?1，?1?）．
（1）求拋物線l的解析式（用含的式子表示）；
（2）把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點E，若拋物線l與線段CE相交，求實數(shù)的取值范圍；
（3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標．
2013年廣東省珠海市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、（本大題5小題，每小題3分，共15分）在每小題列出的四個選項中，只有一個是正確的，請把答題卡上對應題目所選的選項涂黑
1．（3分）（2013•珠海）實數(shù)4的算術平方根是（ �。�
A．?2B．2C．±2D．±4
考點：算術平方根．
分析：根據(jù)算術平方根的定義解答即可．
解答： 解：∵22=4，
∴4的算術平方根是2，
即 =2．
故選B．
點評：本題考查了算術平方根的定義，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．
2．（3分）（2013•珠海）如圖兩平行線a、b被直線l所截，且∠1=60°，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．120°
考點：平行線的性質．
分析：由a∥b，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，即可求得∠3=∠1=60°，又由對頂角相等，即可求得答案．
解答：解：∵a∥b，
∴∠3=∠1=60°，
∴∠2=∠3=60°．
故選C．
點評：此題考查了平行線的性質．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．
3．（3分）（2013•珠海）點（3，2）關于x軸的對稱點為（ �。�
A．（3，?2）B．（?3，2）C．（?3，?2）D．（2，?3）
考點：關于x軸、y軸對稱的點的坐標．
分析：根據(jù)關于x軸對稱點的坐標特點：橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)可直接寫出答案．
解答：解：點（3，2）關于x軸的對稱點為（3，?2），
故選：A．[:學科網(wǎng)]
點評：此題主要考查了關于x軸對稱點的坐標特點，關鍵是掌握點的坐標的變化規(guī)律．
4．（3分）（2013•珠海）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2?2x?3=0．下列說法正確的是（ �。�
A．①②都有實數(shù)解B．①無實數(shù)解，②有實數(shù)解
C．①有實數(shù)解，②無實數(shù)解D．①②都無實數(shù)解
考點：根的判別式．
分析：求出①、②的判別式，根據(jù)：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；
③當△＜0時，方程無實數(shù)根．
即可得出答案．
解答：解：方程①的判別式△=4?12=?8，則①沒有實數(shù)解；
方程②的判別式△=4+12=20，則②有兩個實數(shù)解．
故選B．
點評：本題考查了根的判別式，解答本題的關鍵是掌握跟的判別式與方程根的關系．
5．（3分）（2013•珠海）如圖，▱ABCD的頂點A、B、D在⊙O上，頂點C在⊙O的直徑BE上，∠ADC=54°，連接AE，則∠AEB的度數(shù)為（ �。﹛ k b 1 . c o
A．36°B．46°C．27°D．63°
考點：圓周角定理；平行四邊形的性質．
分析：根據(jù)BE是直徑可得∠BAE=90°，然后在▱ABCD中∠ADC=54°，可得∠B=54°，繼而可求得∠AEB的度數(shù)．
解答：解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=54°，
∴∠B=∠ADC=54°，
∵BE為⊙O的直徑，
∴∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°?∠B=90°?54°=36°．
故選A．
點評：本題考查了圓周角定理及平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是根據(jù)平行四邊形的性質得出∠B=∠ADC．
二、題（本大題5小題，每小題4分，共20分）請將行李各題的正確答案填寫在答題卡相應的位置上。
6．（4分）（2013•珠海）使式子 有意義的x的取值范圍是 x≥? ．
考點：二次根式有意義的條件．
分析：二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)．
解答：解：根據(jù)題意，得
2x+1≥0，
解得，x≥? ．
故答案是：x≥? ．
點評：考查了二次根式的意義和性質．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性質：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．
7．（4分）（2013•珠海）已知，函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過點A（?1，y1），點B（?2，y2），則y1�。尽2（填“＞”“＜”或“=”）
考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
分析：分別把點A（?1，y1），點B（?2，y2）代入函數(shù)y=3x，求出點y1，y2的值，并比較出其大小即可．
解答：解：∵點A（?1，y1），點B（?2，y2）是函數(shù)y=3x上的點，
∴y1=?3，y2=?6，
∵?3＞?6，
∴y1＞y2．
故答案為：＞．
點評：本題考查的是一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，即一次函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式．
8．（4分）（2013•珠海）若圓錐的母線長為5c，地面半徑為3c，則它的測面展開圖的面積為 15π c2（結果保留π）
考點：圓錐的計算．
專題：．
分析：先計算出圓錐底面圓的周長2π×3，再根據(jù)圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，然后根據(jù)扇形的面積公式計算即可．
解答：解：圓錐的測面展開圖的面積= ×2π×3×5=15π（c2）．
故答案為15π．
點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為扇形，扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了扇形的面積公式．
9．（4分）（2013•珠海）已知a、b滿足a+b=3，ab=2，則a2+b2= 5�。�
考點：完全平方公式．
專題：．
分析：將a+b=3兩邊平方，利用完全平方公式化簡，將ab的值代入計算，即可求出所求式子的值．
解答：解：將a+b=3兩邊平方得：（a+b）2=a2+2ab+b2=9，
把ab=2代入得：a2+4+b2=9，
則a2+b2=5．
故答案為：5．
點評：此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．
10．（4分）（2013•珠海）如圖，正方形ABCD的邊長為1，順次連接正方形ABCD四邊的中點得到第一個正方形A1B1C1D1，由順次連接正方形A1B1C1D1四邊的中點得到第二個正方形A2B2C2D2…，以此類推，則第六個正方形A6B6C6D6周長是 �。�
考點：中點四邊形．
專題：規(guī)律型．
分析：根據(jù)題意，利 用中位線定理可證明順次連接正方形ABCD四邊中點得正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，根據(jù)面積關系可得周長關系，以此類推可得正方形A6B6C6D6 的周長．
解答：解：順次連接正方形ABCD四邊的中點得正方形A1B1C1D1，則得正方形A1B1C1D1的面積為正方形ABCD面積的一半，即 ，則周長是原來的 ；
順次連接正方形A1B1C1D1中點得正方形A2B2C2D2，則正方形A2B2C2D2的面積為正方形A1B1C1D1面積的一半，即 ，則周長是原 來的 ；
順次連接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3，則正方形A3B3C3D3的面積為正方形A2B2C2D2面積的一半，即 ，則周長是原來的 ；
順次連接正方形A3B3C3D3中點得正方形A4B4C4D4，則正方形A4B4C4D4的面積為正方形A3B3C3D3面積的一半 ，則周長是原來的 ；
…
以此類推：第六個正方形A6B6C6D6周長是原來的 ，
∵正方形ABCD的邊長為1，
∴周長為4，
∴第六個正方形A6B6C6D6周長是 ．
故答案為： ．
點評：本題考查了利用了三角形的中位線的性質，相似圖形的面積比等于相似比的平方的性質．進而得到周長關系．
三、解答題（一）（本大題5小題，每小題6分，共30分）
11．（6分）（2013•珠海）計算： ?（ ）0+
考點：實數(shù)的運算；零指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪．
專題：計算題．
分析：根據(jù)零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪得到原式=3?1+ ? ，然后化為同分母后進行加減運算．
解答：解：原式=3?1+ ?
= ．
點評：本題考查了實數(shù)的運算：先算乘方或開方，再算乘除，然后進行加減運算；有括號先算括號．也考查了零指數(shù)冪與負整數(shù)指數(shù)冪．
12．（6分）（2013•珠海）解方程： ．
考點：解分式方程．
專題：計算題．
分析：分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
解答：解：去分母得：x（x+2）?1=x2?4，
去括號得：x2+2x?1=x2?4，
解得：x=? ，
經(jīng)檢驗x=? 是分式方程的解．
點評：此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉化思想”，把分式方程轉化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗根．
13．（6分）（2013•珠海）某初中學校對全校學生進行一次“勤洗手”的問卷調查，學校七、八、九三個年級學生人數(shù)分別為600人、700人、600人，經(jīng)過數(shù)據(jù)整理將全校的“勤洗手”調查數(shù)據(jù)繪制成統(tǒng)計圖．
（1）根據(jù)統(tǒng)計圖，計算八年級“勤洗手”學生人數(shù)，并補全下列兩幅統(tǒng)計圖．
（2）通過計算說明那個年級“勤洗手”學生人數(shù)占本年級學生人數(shù)的比例最大？
考點：條形統(tǒng)計圖；扇形統(tǒng)計圖．
分析：（1）由七年級“勤洗手”的人數(shù)除以所占的百分比，求出全�！扒谙词帧钡娜藬�(shù)，進而求出八年級“勤洗手”的人數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖；求出九年級“勤洗手”人數(shù)所占的百分比，補全扇形統(tǒng)計圖即可；
（2）求出三個年級“勤洗手”人數(shù)所占的百分比，比較大小即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意得：300÷25%=1200（人），
則八年級“勤洗手”人數(shù)為1200×35%=420（人），
（2）七年級“勤洗手”學生人數(shù)占本年級學生人數(shù)的比例為 ×100%=50%；
八年級“勤洗手”學生人數(shù)占本年級學生人數(shù)的比例為 ×100%=60%；
九年級“勤洗手”學生人數(shù)占本年級學生人數(shù)的比例為 ×100%=80%，
則九年級“勤洗手”學生人數(shù)占本年級學生人數(shù)的比例最大．
點評：此題考查了條形統(tǒng)計圖，以及扇形統(tǒng)計圖，弄清題意是解本題的關鍵．
14．（6分）（2013•珠海）如圖，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；
求證：BC=DC．
考點：全等三角形的判定與性質．
專題：證明題．
分析：先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角邊角”證明△ABC和△EDC全等，然后根據(jù)全等三角形對應邊相等證明即可．
解答：證明：∵∠BCE=∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，
即∠ACB=∠ECD，
在△ABC和△EDC中， ，
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴BC=DC．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，求出相等的角∠ACB=∠ECD是解題的關鍵，也是本題的難點．
15．（6分）（2013•珠海）某漁船出海捕魚，2010年平均每次捕魚量為10噸，2012年平均每次捕魚量為8.1噸，求2010年?2012年每年平均每次捕魚量的年平均下降率．
考點：一元二次方程的應用．
專題：增長率問題．
分析：解答此題利用的數(shù)量關系是：2010年平均每次捕魚量×（1?每次降價的百分率）2=2012年平均每次捕魚量，設出未知數(shù)，列方程解答即可．
解答：解：設2010年?2012年每年平均每次捕魚量的年平均下降率x，根據(jù)題意列方程得，
10×（1?x）2=8.1，
解得x1=0.1，x2=?1.9（不合題意，舍去）．
答：2010年?2012年每年平均每次捕魚量的年平均下降率為 10%．
點評：本題考查的下降的百分率也就是增長率問題，兩年前是10噸，下降后現(xiàn)在是8.1噸，求每年的下降的百分率，可列式求解．
四、解答題（二））（本大題4小題，每小題7分，共28分）
16．（7分）（2013•珠海）一測量愛好者，在海邊測量位于正東方向的小島高度AC，如圖所示，他先在點B測得山頂點A的仰角為30°，然后向正東方向前行62米，到達D點，在測得山頂點A的仰角為60°（B、C、D三點在同一水平面上，且測量儀的高度忽略不計）．求小島高度AC（結果精確的1米，參考數(shù)值： ）
考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題．
分析：首先利用三角形的外角的性質求得∠BAD的度數(shù)，得到AD的長度，然后在直角△ADC中，利用三角函數(shù)即可求解．
解答：解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=∠ADC?∠B=60°?30°=30°，
∴∠B=∠BAD，
∴AD=BD=62（米）．
在直角△ACD中，AC=AD•sin∠ADC=62× =31 ≈31×1.7=52.7≈53（米）．
答：小島的高度是53米．
點評：本題考查仰角的定義，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．
17．（7分）（2013•珠海）如圖，⊙O經(jīng)過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且與AB相切于點A
（1）求證：BC為⊙O的切線；
（2）求∠B的度數(shù)．
考點：切線的判定與性質；菱形的性質．
分析：（1）連結OA、OB、OC、BD，根據(jù)切線的性質得OA⊥AB，即∠OAB=90°，再根據(jù)菱形的性質得BA=BC，然后根據(jù)“SSS”可判斷△ABC≌△CBO，則∠BOC=∠OAC=90°，于是可根據(jù)切線的判定方法即可得到結論；
（2）由△ABC≌△CBO得∠AOB=∠COB，則∠AOB=∠COB，由于菱形的對角線平分對角，所以點O在BD上，利用三角形外角性質有∠BOC=∠ODC+∠OCD，則∠BOC=2∠ODC，
由于CB=CD，則∠OBC=∠ODC，所以∠BOC=2∠OBC，根據(jù)∠BOC+∠OBC=90°可計算出∠OBC=30°，然后利用∠ABC=2∠OBC計算即可．
解答：（1）證明：連結OA、OB、OC、BD，如圖，
∵AB與⊙切于A點，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BA=BC，
在△ABC和△CBO中
，
∴△ABC≌△CBO，
∴∠BOC=∠OAC=90°，
∴OC⊥BC，
∴BC為⊙O的切線；
（2）解：∵△ABC≌△CBO，
∴∠AOB=∠COB，
∵四邊形ABCD為菱形，
∴BD平分∠ABC，CB=CD，
∴點O在BD上，
∵∠BOC=∠ODC+∠OCD，
而OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠BOC=2∠ODC，
而CB=CD，
∴∠OBC=∠ODC，
∴∠BOC=2∠OBC，
∵∠BOC+∠OBC=90°，
∴∠OBC=30°，
∴∠ABC=2∠OBC=60°．
點評：本題考查了切線的判定與性質：過半徑的外端點與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了全等三角形相似的判定與性質以及菱形的性質．
18．（7分）（2013•珠海）把分別標有數(shù)字2、3、4、5的四個小球放入A袋內，把 分別標有數(shù)字 、 、 、 、 的五個小球放入B袋內，所有小球的形狀、大小、質地完全相同，A、B兩個袋子不透明、
（1）小明分別從A、B兩個袋子中各摸出一個小球，求這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率；
（2）當B袋中標有 的小球上的數(shù)字變?yōu)椤?、 、 、 時（填寫所有結果），（1）中的概率為 ．
考點：列表法與樹狀圖法．
分析：（1）首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的情況，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由概率為 ，可得這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的有5種情況，繼而可求得答案．
解答：解：（1）畫樹狀圖得：
∵共有20種等可能的結果，這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的有4種情況，
∴這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率為： = ；
（2）∵當B袋中標有 的小球上的數(shù)字變?yōu)?、 、 、 時（填寫所有結果），
∴這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的有5種情況，
∴這兩個小球上的數(shù)字互為倒數(shù)的概率為： = ．
故答案為： 、 、 、 ．
點評：本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
19．（7分）（2013•珠海）已知，在平面直角坐標系xOy中，點A在x軸負半軸上，點B在y軸正半軸上，OA=OB，函數(shù)y= 的圖象與線段AB交于點，且A=B．
（1）求點的坐標；
（2）求直線AB的解析式．
考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題．
專題：計算題．
分析：（1）過點作C⊥x軸，D⊥y軸，根據(jù)為AB的中點，C∥OB，D∥OA，利用平行線分線段成比例得到點C和點D分別為OA與OB的中點，從而得到C=D，設出點的坐標代入反比例函數(shù)解析式中，求出a的值即可得到點的坐標；
（2）根據(jù)（1）中求出的點的坐標得到C與D的長，從而求出OA與OB的長，得到點A與點B的坐標，設出一次函數(shù)的解析式，把點A與點B的坐標分別代入解析式中求出k與b的值，確定出直線AB的表達式．
解答：解：（1）過點作C⊥x軸，D⊥y軸，
∵A=B，
∴點為AB的中點，
∵C⊥x軸，D⊥y軸，
∴C∥OB，D∥OA，
∴點C和點D分別為OA與OB的中點，
∴C=D，
則點的坐標可以表示為（?a，a），
把（?a，a）代入函數(shù)y= 中，
解得a=2 ，
則點的坐標為（?2 ，2 ）；
（2）∵則點的坐標為（?2 ，2 ），
∴C=2 ，D=2 ，
∴OA=OB=2C=4 ，
∴A（?4 ，0），B（0，4 ），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把點A（?4 ，0）和B（0，4 ）分別代入y=kx+b中得 ，
解得： ．
則直線AB的解析式為y=x+4 ．
點評：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，平行線分線段成比例，以及中位線定理，用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法．同學 們要熟練掌握這種方法．
五、解答題（三）（本大題3小題，每小題9分，共27分）
20．（9分）（2013•珠海）下面材料，并解答問題．
材料：將分式 拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
解：由分母為?x2+1，可設?x4?x2+3=（?x2+1）（x2+a）+b
則?x4?x2+3=（?x2+1）（x2+a）+b=?x4?ax2+x2+a+b=?x4?（a?1）x2+（a+b）
∵對應任意x，上述等式均成立，∴ ，∴a=2，b=1
∴ = =x2+2+
這樣，分式 被拆分成了一個整式x2+2與一個分式 的和．
解答：
（1）將分式 拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式．
（2）試說明 的最小值為8．
考點：分式的混合運算．
專題：xkb1閱讀型．
分析：（1）由分母為?x2+1，可設?x4?6x2+8=（?x2+1）（x2+a）+b，按照題意，求出a和b的值，即可把分式 拆分成一個整式與一個分式（分子為整數(shù)）的和的形式；
（2）對于x2+7+ 當x=0時，這兩個式 子的和有最小值，最小值為8，于是求出 的最小值．
解答：解：（1）由分母為? x2+1，可設?x4?6x2+8=（?x2+1）（x2+a）+b
則?x4?6x2+8=（?x2+1）（x2+a）+b=?x4?ax2+x2+a+b=?x4?（a?1）x2+（a+b）
∵對應任意x，上述等式均成立，
∴ ，
∴a=7，b=1，
∴ = = =x2+7+
這樣，分式 被拆分成了一個整式x2+7與一個分式 的和．
（2）由 =x2+7+ 知，
對于x2+7+ 當x=0時，這兩個式子的和有最小值，最小值為8，
即 的最小值為8．
點評：本題主要考查分式的混合運算等知識點，解答本題的關鍵是能熟練的理解題意，此題難度不是很大．
21．（9分）（2013•珠海）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點P為AC邊上的一點，將線段AP繞點A順時針方向旋轉（點P對應點P′），當AP旋轉至AP′⊥AB時，點B、P、P′恰好在同一直線上，此時作P′E⊥AC于點E．
（1）求證：∠CBP=∠ABP；
（2）求證：AE=CP；
（3）當 ，BP′=5 時，求線段AB的長．
考點：全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；勾股定理；相似三角形的判定與性質．
專題：幾何綜合題．
分析：（1）根據(jù)旋轉的性質可得AP=AP′，根據(jù)等邊對等角的性質可得∠APP′=∠AP′P，再根據(jù)等角的余角相等證明即可；
（2）過點P作PD⊥AB于D，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=DP，從而得證；
（3）設CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出P′A= AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
解答：（1）證明：∵AP′是AP旋轉得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（對頂角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）證明：如圖，過點P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中， ，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵ = ，
∴設CP=3k，PE=2k，
則AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E= =4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（對頂角相等），
∴∠CBP=∠P′PE，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴ = ，
即 = ，
解得P′A= AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+ AB2=（5 ）2，
解得AB=10．
點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，旋轉的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，（2）作輔助線構造出過渡線段DP并得到全等三角形是解題的關鍵，（3）利用相似三角形對應邊成比例求出P′A= AB是解題的關鍵．
22．（9分）（2013•珠海）如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的邊OA、OC分別在y軸和x軸的正 半軸上，且長分別為、4（＞0），D為邊AB的中點，一拋物線l經(jīng)過點A、D及點（?1，?1?）．
（1）求拋物線l的 解析式（用含的式子表示）；
（2）把△OAD沿直線O D折疊后點A落在點A′處，連接OA′并延長與線段BC的延長線交于點E，若拋物線l與線段CE相交，求實數(shù)的取值范圍；
（3）在滿足（2）的條件下，求出拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標．
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析 ：（1）設拋物線l的解析式為y=ax2+bx+c，將A、D、三點的坐標代入，運用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設AD與x軸交于點，過點A′作A′N⊥x軸于點N．根據(jù)軸對稱及平行線的性質得出D=O=x，則A′=2?x，OA′=，在Rt△OA′中運用勾股定理求出x，得出A′點坐標，運用待定系數(shù)法得到直線OA′的解析式，確定E點坐標（4，?3），根據(jù)拋物線l與線段CE相交，列出關于的不等式組，求出解集即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質，結合（2）中求出的實數(shù)的取值范圍，即可求解．
解答：解：（1）設拋物線l的解析式為y=ax2+bx+c，
將A（0，），D（2，），（?1，?1?）三點的坐標代入，
得 ，解得 ，
所以拋物線l的解析式為y=?x2+2x+；
（2）設AD與x軸交于點，過點A′作A′N⊥x軸于點N．
∵把△OAD沿直線OD折疊后點A落在點A′處，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=，AD=A′D=2，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，
∵矩形OABC中，AD∥OC，
∴∠ADO=∠DO，
∴∠A′DO=∠DO，
∴D=O．
設D=O=x，則A′=2?x，
在Rt△OA′中，∵OA′2+A′2=O2，
∴2+（2?x）2=x2，
解得x= ．
∵S△OA′= O•A′N= OA′•A′，
∴A′N= = ，
∴ON= = ，
∴A′點坐標為（ ，? ），
易求直線OA′的解析式為y=? x，
當x=4時，y=? ×4=?3，
∴E點坐標為（4，?3）．
當x=4時，?x2+2x+=?（4）2+2•4+=?82+，
即拋物線l與直線CE的交點為（4，?82+），
∵拋物線l與線段CE相交，
∴?3≤?82+≤0，
∵＞0，
∴?3≤?8+1≤0，
解得 ≤≤ ；
（3）∵y=?x2+2x+=?（x?）2+2+， ≤≤ ，
∴當x=時，y有最大值2+，
又∵2+=（+ ）2? ，
∴當 ≤≤ 時，2+隨的增大而增大，
∴當= 時，頂點P到達最高位置，2+=（ ）2+ = ，
故此時拋物線l頂點P到達最高位置時的坐標為（ ， ）．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，軸對稱的性質，勾股定理，兩個函數(shù)交點坐標的求法，二次函數(shù)、矩形的性質，解不等式組等知識，綜合性較強，有一定難度．（2）中求出A′點的坐標是解題的關鍵．
山
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