2013中考全國100份試卷分類匯編
解直角三角形（三角函數(shù)應用）
1、（綿陽市2013年）如圖，在兩建筑物之間有一旗桿，高15米，從A點經(jīng)過旗桿頂點恰好看到矮建筑物的墻角C點，且俯角α為60⩝，又從A點測得D點的俯角β為30⩝，若旗桿底點G為BC的中點，則矮建筑物的高CD為（ A ）
A．20米 B． 米 C． 米 D． 米
［解析］GE//AB//CD，BC=2GC，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot∠ACB=30×cot60⩝=103 米，DF=AF•tan30⩝=103 ×33 =10米，
CD=AB-DF=30-10=20米。
2、（2013杭州）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，則斜邊上的高等于（ ）
A． B． C． D．
考點：解直角三角形．
專題：．
分析：在直角三角形ABC中，由AB與sinA的值，求出BC的長，根據(jù)勾股定理求出AC的長，根據(jù)面積法求出CD的長，即為斜邊上的高．
解答：解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，
在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，
∴BC=ABsinA=2.4，
根據(jù)勾股定理得：AC= =3.2，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，
∴CD= = ．
故選B
點評：此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及三角形的面積求法，熟練掌握定理及法則是解本題的關鍵．
3、（2013•綏化）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC的長．
考點：解直角三角形．
分析：首先解Rt△ABD，求出AD、BD的長度，再解Rt△ADC，求出DC的長度，然后由BC=BD+DC即可求解．
解答：解：∵AD⊥BC于點D，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在Rt△ABD中，∵AB=8，∠ABD=30°，
∴AD= AB=4，BD= AD=4 ．
在Rt△ADC中，∵∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∴DC=AD=4，
∴BC=BD+DC=4 +4．
點評：本題考查了解直角三角形的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是在直角三角形中利用解直角三角形的知識求出BD、DC的長度．
4、（2013•鄂州）著名畫家達芬奇不僅畫藝超群，同時還是一個數(shù)學家、發(fā)明家．他曾經(jīng)設計過一種圓規(guī)如圖所示，有兩個互相垂直的滑槽（滑槽寬度忽略不計），一根沒有彈性的木棒的兩端A、B能在滑槽內自由滑動，將筆插入位于木棒中點P處的小孔中，隨著木棒的滑動就可以畫出一個圓來．若AB=20c，則畫出的圓的半徑為 10 c．
考點：直角三角形斜邊上的中線．
分析：連接OP，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OP的長，畫出的圓的半徑就是OP長．
解答：解：連接OP，
∵△AOB是直角三角形，P為斜邊AB的中點，
∴OP= AB，
∵AB=20c，
∴OP=10c，
故答案為：10．
點評：此題主要考查了直角三角形的性質，關鍵是掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
5、（2013安順）在Rt△ABC中，∠C=90°， ，BC=8，則△ABC的面積為 ．
考點：解直角三角形．
專題：．
分析：根據(jù)tanA的值及BC的長度可求出AC的長度，然后利用三角形的面積公式進行計算即可．
解答：解：∵tanA= =，
∴AC=6，
∴△ABC的面積為×6×8=24．
故答案為：24．
點評：本題考查解直角三角形的知識，比較簡單，關鍵是掌握在直角三角形中正切的表示形式，從而得出三角形的兩條直角邊，進而得出三角形的面積．
6、（11-4解直角三角形的實際應用•2013東營中考）某校研究性學習小組測量學校旗桿AB的高度，如圖在教學樓一樓C處測得旗桿頂部的仰角為60，在教學樓三樓D處測得旗桿頂部的仰角為30，旗桿底部與教學樓一樓在同一水平線上，已知每層樓的高度為3米，則旗桿AB的高度為 米.
15. 9.解析：過B作BE⊥CD于點E，設旗桿AB的高度為x，在 中， ，所以 ，在 中， ， ， ，所以 ，因為CE=AB=x，所以 ，所以x=9，故旗桿的高度為9米.
7、（2013•常德）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是BC邊上的中線，∠C=45°，sinB= ，AD=1．
（1）求BC的長；
（2）求tan∠DAE的值．
考點：解直角三角形．
分析：（1）先由三角形的高的定義得出∠ADB=∠ADC=90°，再解Rt△ADC，得出DC=1；解Rt△ADB，得出AB=3，根據(jù)勾股定理求出BD=2 ，然后根據(jù)BC=BD+DC即可求解；
（2）先由三角形的中線的定義求出CE的值，則DE=CE?CD，然后在Rt△ADE中根據(jù)正切函數(shù)的定義即可求解．
解答：解：（1）在△ABC中，∵AD是BC邊上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°．
在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，
∴DC=AD=1．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，sinB= ，AD=1，
∴AB= =3，
∴BD= =2 ，
∴BC=BD+DC=2 +1；
（2）∵AE是BC邊上的中線，
∴CE= BC= + ，
∴DE=CE?CD= ? ，
∴tan∠DAE= = ? ．
點評：本題考查了三角形的高、中線的定義，勾股定理，解直角三角形，難度中等，分別解Rt△ADC與Rt△ADB，得出DC=1，AB=3是解題的關鍵．
8、（13年山東青島、20）如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側的A、B兩點分別表示車站和超市。CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°
（1）求CD與AB之間的距離；
（2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B，求他沿折線A→D→C→B到達超市比直接橫穿馬路多走多少米
（參考數(shù)據(jù)： ， ， ，
9、（2013•益陽）如圖，益陽市梓山湖中有一孤立小島，湖邊有一條筆直的觀光小道AB，現(xiàn)決定從小島架一座與觀光小道垂直的小橋PD，小張在小道上測得如下數(shù)據(jù)：AB=80.0米，∠PAB=38.5°，∠PBA=26.5．請幫助小張求出小橋PD的長并確定小橋在小道上的位置．（以A，B為參照點，結果精確到0.1米）
（參考數(shù)據(jù)：sin38.5°=0.62，cos38.5°=0.78，tan38.5°=0.80，sin26.5°=0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50）
考點：解直角三角形的應用．
專題：．
分析：設PD=x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB=80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的長度，繼而也可確定小橋在小道上的位置．
解答：解：設PD=x米，
∵PD⊥AB，
∴∠ADP=∠BDP=90°，
在Rt△PAD中，tan∠PAD= ，
∴AD= ≈ =x，
在Rt△PBD中，tan∠PBD= ，
∴DB= ≈ =2x，
又∵AB=80.0米，
∴x+2x=80.0，
解得：x≈24.6，即PD≈24.6米，
∴DB=2x=49.2．
答：小橋PD的長度約為24.6米，位于AB之間距B點約49.2米．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數(shù)表示出相關線段的長度，難度一般．
10、（2013•婁底）2013年3月，某煤礦發(fā)生瓦斯爆炸，該地救援隊立即趕赴現(xiàn)場進行救援，救援隊利用生命探測儀在地面A、B兩個探測點探測到C處有生命跡象．已知A、B兩點相距4米，探測線與地面的夾角分別是30°和45°，試確定生命所在點C的深度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)： ）
考點：解直角三角形的應用．
分析：過點C作CD⊥AB于點D，設CD=x，在Rt△ACD中表示出AD，在Rt△BCD中表示出BD，再由AB=4米，即可得出關于x的方程，解出即可．
解答：解：過點C作CD⊥AB于點D，
設CD=x，
在Rt△ACD中，∠CAD=30°，
則AD= CD= x，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
則BD=CD=x，
由題意得， x?x=4，
解得：x= =2（ +1）≈5.5．
答：生命所在點C的深度為5.5米．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，解答本題的關鍵是構造直角三角形，利用三角函數(shù)知識表示出相關線段的長度，注意方程思想的運用．
11、（2013•包頭）如圖，一根長6 米的木棒（AB），斜靠在與地面（O）垂直的墻（ON）上，與地面的傾斜角（∠ABO）為60°．當木棒A端沿墻下滑至點A′時，B端沿地面向右滑行至點B′．
（1）求OB的長；
（2）當AA′=1米時，求BB′的長．
考點：勾股定理的應用；解直角三角形的應用．
分析：（1）由已知數(shù)據(jù)解直角三角形AOB即可；
（2）首先求出OA的長和OA′的長，再根據(jù)勾股定理求出OB′的長即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意可知：AB=6 ，∠ABO=60°，∠AOB=90°，
在Rt△AOB中，∵cos∠ABO= ，
∴OB=ABcos∠ABO=6 cos60°=3 米，
∴OB的長為3 米；
（2）根據(jù)題意可知A′B′=AB=6 米，
在Rt△AOB中，∵sin∠ABO= ，
∴OA=ABsin∠ABO=6 sin60°=9米，
∵OA′=OA?AA′，AA′=1米，
∴OA′=8米，
在Rt△A′OB′中，OB′=2 米，
∴BB′=OB′?OB=（2 ?3 ）米．
點評：本題考查了勾股定理的應用和特殊角的銳角三角函數(shù)，是中考常見題型．
12、（2013•呼和浩特）如圖，A、B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地經(jīng)過C地沿折線A→C→B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°．則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結果保留根號）
考點：解直角三角形的應用．
分析：過C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根據(jù)AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的長度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的長度，用AC+BC?（AD+BD）即可求解．
解答：解：過C作CD⊥AB于D，
在Rt△ACD中，
∵AC=10，∠A=30°，
∴DC=ACsin30°=5，
AD=ACcos30°=5 ，
在Rt△BCD中，
∵∠B=45°，
∴BD=CD=5，BC=5 ，
則用AC+BC?（AD+BD）=10+5 ?（5 +5）=5+5 ?5 （千米）．
答：汽車從A地到B地比原來少走（5+5 ?5 ）千米．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是作三角形的高建立直角三角形?解直角三角形．
13、（2013•巴中）2013年4月20日，四川雅安發(fā)生里氏7.0級地震，救援隊救援時，利用生命探測儀在某建筑物廢墟下方探測到點C處有生命跡象，已知廢墟一側地面上兩探測點A、B相距4米，探測線與地面的夾角分別為30°和60°，如圖所示，試確定生命所在點C的深度（結果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù) ≈1.41， ≈1.73）
考點：解直角三角形的應用．
分析：過點C作CD⊥AB交AB于點D，則∠CAD=30°，∠CBD=60°，在Rt△BDC中，CD= BD，在Rt△ADC中，AD= CD，然后根據(jù)AB=AD?BD=4，即可得到CD的方程，解方程即可．
解答：解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB于點D．
∵探測線與地面的夾角為30°和60°，
∴∠CAD=30°，∠CBD=60°，
在Rt△BDC中，tan60°= ，
∴BD= = ，
在Rt△ADC中，tan30°= ，
∴AD= = ，
∵AB=AD?BD=4，
∴ ? =4，
∴CD=2 ≈3.5（米）．
答：生命所在點C的深度大約為3.5米．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，難度適中，解答本題的關鍵是構造直角三角形，解直角三角形，也考查了把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力．
14、（2013•舟山）某學校的校門是伸縮門（如圖1），伸縮門中的每一行菱形有20個，每個菱形邊長為30厘米．校門關閉時，每個菱形的銳角度數(shù)為60°（如圖2）；校門打開時，每個菱形的銳角度數(shù)從60°縮小為10°（如圖3）．問：校門打開了多少米？（結果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin5°≈0.0872，cos5°≈0.9962，sin10°≈0.1736，cos10°≈0.9848）．
考點：解直角三角形的應用；菱形的性質．
分析：先求出校門關閉時，20個菱形的寬即大門的寬；再求出校門打開時，20個菱形的寬即伸縮門的寬；然后將它們相減即可．
解答：解：如圖，校門關閉時，取其中一個菱形ABCD．
根據(jù)題意，得∠BAD=60°，AB=0.3米．
∵在菱形ABCD中，AB=AD，
∴△BAD是等邊三角形，
∴BD=AB=0.3米，
∴大門的寬是：0.3×20≈6（米）；
校門打開時，取其中一個菱形A1B1C1D1．
根據(jù)題意，得∠B1A1D1=10°，A1B1=0.3米．
∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1=5°，
∴在Rt△A1B1O1中，
B1O1=sin∠B1A1O1•A1B1=sin5°×0.3=0.02616（米），
∴B1D1=2B1O1=0.05232米，
∴伸縮門的寬是：0.05232×20=1.0464米；
∴校門打開的寬度為：6?1.0464=4.9536≈5（米）．
故校門打開了5米．
點評：本題考查了菱形的性質，解直角三角形的應用，難度適中．解題的關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中，一切將迎刃而解．
15、（2013•紹興）如圖，傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內兩條傘架所成的角∠BAC，當傘收緊時，結點D與點重合，且點A、E、D在同一條直線上，已知部分傘架的長度如下：單位：c
傘架DEDFAEAFABAC
長度363636368686
（1）求A的長．
（2）當∠BAC=104°時，求AD的長（精確到1c）．
備用數(shù)據(jù)：sin52°=0.788，cos52°=0.6157，tan52°=1.2799．
考點：解直角三角形的應用．
分析：（1）根據(jù)A=AE+DE求解即可；
（2）先根據(jù)角平分線的定義得出∠EAD= ∠BAC=52°，再過點E作EG⊥AD于G，由等腰三角形的性質得出AD=2AG，然后在△AEG中，利用余弦函數(shù)的定義求出AG的長，進而得到AD的長度．
解答：解：（1）由題意，得A=AE+DE=36+36=72（c）．
故A的長為72c；
（2）∵AP平分∠BAC，∠BAC=104°，
∴∠EAD= ∠BAC=52°．
過點E作EG⊥AD于G，
∵AE=DE=36，
∴AG=DG，AD=2AG．
在△AEG中，∵∠AGE=90°，
∴AG=AE•cos∠EAG=36•cos52°=36×0.6157=22.1652，
∴AD=2AG=2×22.1652≈44（c）．
故AD的長約為44c．
點評：本題考查了解直角三角形在實際生活中的應用，其中涉及到角平分線的定義，等腰三角形的性質，三角函數(shù)的定義，難度適中．
16、(2013年南京)已知不等臂蹺蹺板AB長4。如圖，當AB的一端碰到地面時，AB與地面的夾
角為；如圖，當AB的另一端B碰到地面時，AB與地面的夾角為。求蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH。(用含、的式子表示)
解析：解：在Rt△AHO中，sin= OH OA ，∴OA= OH sin 。 在Rt△BHO中，sin= OH OB ，∴OB= OH sin 。
∵AB=4，∴OAOB=4，即 OH sin OH sin =4�！郞H= 4sinsin sinsin ()。 (8分)
(2013年江西省)如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10c，雨刮桿AB長為48c，∠OAB=120°．若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示．
（1）求雨刮桿AB旋轉的最大角度及O、B兩點之間的距離；（結果精確到0.01）
（2）求雨刮桿AB掃過的最大面積．（結果保留π的整數(shù)倍）
（參考數(shù)據(jù)：sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ， ≈26.851，可使用科學計算器）
【答案】解：（1）雨刮桿AB旋轉的最大角度為180° ．
連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于EH，
∵∠OAB=120°，
∴∠OAE=60°
在Rt△OAE中，
∵∠OAE=60°，OA=10，
∴sin∠OAE= = ，
∴OE=5 ，
∴AE=5.
∴EB=AE+AB=53，
在Rt△OEB中，
∵OE=5 ，EB=53，
∴OB= = =2 ≈53.70；
（2）∵雨刮桿AB旋轉180°得到CD，即△OCD與△OAB關于點O中心對稱，
∴△BAO≌△OCD，∴S△BAO=S△OCD，
∴雨刮桿AB掃過的最大面積S= π(OB2－OA2)
=1392π.
【考點解剖】 本題考查的是解直角三角形的應用，以及扇形面積的求法，難點是考生缺乏生活經(jīng)驗，弄不懂題意（提供的實物圖也不夠清晰，人為造成一定的理解困難）．
【解題思路】 將實際問題轉化為數(shù)學問題，（1）AB旋轉的最大角度為180°；在△OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉化為直角三角形來求解，由∠OAB=120°想到作AB邊上的高，得到一個含60°角的Rt△OAE和一個非特殊角的Rt△OEB.在Rt△OAE中，已知∠OAE=60°，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長，進而求得Rt△OEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊OB的長；（2）雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個半圓環(huán)的面積（以OB、OA為半徑的半圓面積之差）.
【方法規(guī)律】 將斜三角形轉化為直角三角形求解.在直角三角形中，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量.
【關鍵詞】 刮雨器 三角函數(shù) 解直角三角形 中心對稱 扇形的面積
17、（2013陜西）一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子來測量一路燈D的高度，如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立身高A與其影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25。已知李明直立時的身高為1.75，求路燈的高CD的長.（結果精確到0.1）
考點：此題考查穩(wěn)定，就是考查解直角三角形，或者考查的是相似三角形的應用測量高度，寬度等線段的長度的具體計算，將問題轉換成方程（組）來求解，經(jīng)常設置的具體的實際情景得到與測量相關的計算；
解析：本題考查的是典型的測量問題之中心投影下的測量，而此問題設置基本上就是應用相似的性質來將實際問題轉化成數(shù)學問題來解決，
解：如圖，設CD長為 ∵A⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=A
∴A∥CD，BN∥CD，∴EC=CD= ，∴△ABN∽△ACD ∴
即 解得
所以路燈高CD約為6.1米
18、（2013年濰坊市）如圖1所示，將一個邊長為2的正方形 和一個長為2、寬為1的長方形 拼在一起，構成一個大的長方形 .現(xiàn)將小長方形 繞點 順時針旋轉至 ,旋轉角為 .
（1）當點 恰好落在 邊上時，求旋轉角 的值；
（2）如圖2， 為 的中點，且0°＜ ＜90°，求證： ；
（3）小長方形 繞點 順時針旋轉一周的過程中， 與 能否全等？若能，直接寫出旋轉角 的值；若不能，說明理由.
答案：(1) ∵DC//EF,∴∠DCD′=∠CD′E=∠CD′E=α. ∴sinα= ,∴α=30°
(2) ∵G為BC中點，∴GC=CE′=CE=1，
∵∠D′CG=∠DCG+∠DCD′=90°+α, ∠DCE′=∠D′CE′+∠DCD′=90°+α,
∴∠D′CG=∠DCE′又∵CD′=CD, ∴△GCD′≌△E′CD, ∴GD′=E′D
(3) 能. α=135°或α=315°
考點：圖形的旋轉、三角函數(shù)、解直角三角形、全等三角形的判定
點評：本題依據(jù)學生的認知規(guī)律，從簡單特殊的問題入手，將問題向一般進行拓展、變式，通過操作、觀察、計算、猜想等獲得結論.此類問題綜合性較強，要完成本題學生需要有較強的類比、遷移、分析、變形應用、綜合、推理和探究能力．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chusan/196245.html
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