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第4章 相似三角形檢測題
（本試卷滿分120分，時間：120分鐘）
一、（每小題3分，共30分）
1.已知四條線段 是成比例線段，即 ，下列說法錯誤的是（ ）
A．
B.
C.
D．

2.若 ，且 ，則 的值是（ ）
A.14 B.42 C.7 D.
3.下列四組圖形中 ，不是相似圖形的是（ ）

4.已知兩個相似多邊形的面積比是9?16，其中較小多邊形的周長為36 cm，則較大多邊 形的周長為( )
A.48 cm B.54 cm C.56 cm D.64 cm
5.如圖 ，在△ 中，點 分別是 的中點，則下列結(jié)論：
① ；②△ ∽△ ；③ .其中正確的有（ ）
A.3個 B.2個　　　 C.1個 D.0個

6.如圖，已知 // ， // ， 分別交 于點 ，則圖中共有相似三角形（ ）
A.4對 B.5對 C. 6對 D.7對
7.如圖，在 △ 中，∠ 的垂直平分線 交 的延長線于點 ，則 的長為（ ）
A. B. C. D.
8.已知△ 如圖所示，則下列4個三角形中，與△ 相似的是（ ）

9.（2013•四川中考）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于點D．則△BCD與△ABC的周長之比為（ ）
A. 1?2 B. 1?3
C. 1?4 D. 1?5
10.手工制作課上，小紅利用一些花布的邊角料，剪裁后裝裱手工畫.下面四個圖案是她剪裁出的空心不等邊三角形、等邊三角形、正方形和矩形花邊，其中每個圖案花邊的寬度都相同，那么每個圖案中花邊的內(nèi)外邊緣所圍成的幾何圖形不相似的是（ ）

二、題（ 每小題3分，共24分）
11.如果一個三角形的三邊長為5、12、13，與其相似的三角形的最長的邊為39，那么較大的三角形的周長為_______，面積 為________．
1 2.已知 ，且 ，則 _______.
13.將三角形紙片（△ABC）按如圖所示的方式折疊，使點B落在邊AC上，記為點B′，折痕為EF．已知AB＝AC ＝3，BC＝4，若以點B′，F(xiàn)，C為頂點的三角形與△ABC相似，那么BF的長度是 ．

14. 若 ，則 .
15.如圖是小明設(shè)計用手電來測量某 古城墻高度的示意圖，點 處放一水平的平面鏡，光線從點 出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻 的頂端 處，已知 ， ，且測得 ， ， ，那么該古城墻 的高度是_____ .
16.已知五邊形 ∽五邊形 ，
17.如圖，在△ 中， 分別是 邊上的點， , 則 _______．

18.如圖，△ 三個頂點的坐標分別為 ，以原點為位似中心， 將△ 縮小，位似比為 ，則線段 的中點 變換后對應(yīng)點的坐標為_________.
三、解答題（共66分）
19.（8分）已知：如圖， 是 上一點， ∥ ， ， 分別
交 于點 ，∠1=∠2，探索線 段 之間的關(guān)系，
并說明理由.

20.(8分)已知：如圖所示，正方形ABCD中，E是AC上一點，EF⊥A B
于點F，EG⊥AD于點G，AB=6，AE∶EC=2∶1，求S四邊形AFEG．

21.(8分)試判斷如圖所示的兩個矩形是否相似.

22.（8分）如圖，在6×8網(wǎng)格圖中，每個小正方形邊長均為1，點O和△ABC的頂點均在小正方形的頂點.
（1）以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1 2；
（2）連接（1）中的AA′,求四邊形AA′C′C的周長（結(jié)果保留根號）.

23.（8分）已知：如圖，在△ 中， ∥ ，點 在邊 上， 與 相交于點 ，且∠ ．求證：（1）△ ∽△ ；（2）

24．（8分）如圖，在正方形 中， 分別是邊 上的點，
連結(jié) 并延長交 的延長線于點
（1）求證： ；
（2）若正方形的邊長為4，求 的長．

25.(8分)下面的短文，并解答下列問題：
我們把相似形的概念推廣到空間:如果兩個幾何體大小不一定相等，但形狀完全相同，就把它們叫做相似體．如圖，甲、乙是兩個不同的正方體，正方體都是相似的，它們的一切對應(yīng)線段之比都等于相似比a∶b． 設(shè)S甲、S乙分別表示這兩個正方體的表面積，則 ．
　又設(shè)Ｖ甲、Ｖ乙分別表示這兩個正方體的體積，則 ．
（1）下列幾何體中，一定是相似體的是（　�。�
A．兩個球體 B．兩個圓錐體
C．兩個圓柱體D．兩個長方體
（2）請歸納出相似體的三條主要性質(zhì)：
①相似體的一切對應(yīng)線段（或弧）長的比等于______；
②相似體的表面積的 比等于______；
③相似體的體積的比等于_______．
（3）假定在完全正常發(fā)育的條件下，不同時期的同一個人的人體是相似體，一個小朋友上幼兒園時身高為1.1米，體重為18千克，到了八年級時，身高為1.65米，問他的體重是多少？（不考慮不同時期人體平均密度的變化）

26.（10分）類比、轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個 案例，請補充完整.
原題：如圖①，在 ABCD中，點E是BC邊的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G.若 =3,求 的值.
（1）嘗試探究
在圖①中，過點E作EH∥AB交BG于點H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是 ，CG和EH的數(shù)量關(guān)系是 ， 的 值是 .
（2）類比延伸
如圖②，在原題的條件下，若 =m(m＞0）,則 的值是 (用含m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程.
（3）拓展遷移
如圖③，梯形ABCD中，DC∥AB，點E是BC的延長線上一點，AE和BD相交于點F.若 =a, =b (a＞0，b＞0)，則 的值是 (用含a、b的代數(shù)式表示）.

第4章 相似三角形檢測題參考答案
一、
1.C 解析：由比例的基本性質(zhì)知A、B、D項都正確，C項不正確.
2.D 解析：設(shè) ，則 所以 所以 .
3.D 解析：根據(jù)相似圖形的定義知，A、B、C項都為相似圖形，D項中一個是等邊三角形，一個是直角三角形，不是相似圖形.
4.A 解析：兩個相似多邊形的面積比是9?16，則相似比為3?4，所以兩圖形的周長比為3?4，即36?48，故選A.
5.A 解析：因為點 分別是 的中點，所以 是△ 的中位線.由中位線的性質(zhì)可推出①②③全部正確.
6.C 解析：△ ∽△ ∽△ ∽△ .
7. B 解析：在 △ 中，∠ 由勾股定理得
因為 所以 .又因為 所以
△ ∽△ 所以 ，所以 ，所以 .
8.C 解析：由 對照四個選項知，C項中的三角形與△ 相似.
9.A 解析:易證△BCD與△BAC相似，而周長比等于相似比，相似比等于對應(yīng)邊的比,△BCD與△BAC的相似比＝ ，且∠BCD ＝∠A=30°，由30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,可得 ＝ .
10.D 解析：選項A中，將里面的三角形任意一條邊向兩邊延長與外面三角形的兩邊相交，利用平行線的性質(zhì)可以得到內(nèi)、外兩三角形兩個角對應(yīng)相等，因此兩三角形相似；B中，由于任意兩個等邊三角形相似，因此B中兩三角形相似；同理C中兩正方形相似；D中內(nèi)、外兩矩形對應(yīng)邊不成比例，故兩矩形不相似.
二、題
11.90，270 解析：設(shè)另一三角形的其他兩邊長分別為
由題意得 ，所以 又因為
所以三角形是直角三角形，所以周長為
12.4 解析：因為 ，所以設(shè) ，所以 所以
13. 或2 解析：設(shè) ，由折疊的性質(zhì)知 ，
當△ ∽△ 時， ，∴ ，解得 .
當△ ∽△ 時, ，∴ ，解得 .∴ 的長度是 或2.
14. 解析：設(shè) ，則 ， ， ，
∴ .
15.8 解析：由反射角等于入射角知∠ ∠ ， 所以△ ∽△ 所以 ，所以 ，所以
16. 解析：因為五邊形 ∽五邊形 所以 .又因為五邊形的內(nèi)角和為 所以 .
17. 解析：在△ 和△ 中，∵ , ,∴ △ ∽△ .
∴ ∴ ∴ .
18. 或 解析：∵ （2，2）， （6，4），∴ 其中點坐標 為（4，3），又以原點為位似中心，將△ 縮小，位似比為 ，∴ 線段 的中點 變換后對應(yīng)點的坐標為 或 .
三、解答題
19.解： . 理由如下：
∵ ∠ ∠ ， ∴ .
又∵ ∴ △ ∽△ ，
∴ ，即 .
20.分析：通過觀察可以知道四邊形 是正方形， 的值與 的值相等，從而可以求出 的長；根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方可以求出四邊形 的面積.
解:已知正方形ABCD，且EF⊥AB，EG⊥AD,∴ EF∥CB，EG∥DC.
∴ 四邊形AFEG是平行四邊形.∵ ∠1 ∠2 45°,∴ .
又∵ ∠ ，∴ 四邊形AFEG是正方形，
∴ 正方形ABCD∽正方形AFEG，
∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=AB2∶AF2（相似多邊形的面積比等于相似比的平方）.
在△ABC中，EF∥CB ,∴ AE∶EC=AF∶FB=2∶1.
又 ,∴ .∴ S正方形ABCD∶S正方形AFEG=36∶16，
∴ .
21.分析：要判定兩個多邊形相似，必須對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，因矩形的四個角都是直角，符合對應(yīng)角相等，只要證明對應(yīng)邊成比例即可.
解：因為兩個圖形都是矩形，顯然它們的四個角都分別相等.
從圖中數(shù)據(jù)觀察可知小矩形的長為20，寬為10，
于是兩個矩形的長之比為 = ,寬之比為 ,
符合對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等，故這兩個矩形是相似的.
22.解：（1）如圖.

（2）四邊形 的周長=4+6 .
23.證明：（1）∵ ，∴ ∠ ．
∵ ∥ ，∴ ，
．∴ ．
∵ ，∴ △ ∽△ ．
（2）由△ ∽△ ，得 ．
∴ ．
由△ ∽△ ，得 ．
又∵ ∠ ∠ ，∴ △ ∽△ ．
∴ ． ∴ ．
∴ ．
24.（1）證明：在正方形 中， ， .
∵ ∴ ，
∴ ，∴ .
（2）解：∵ ∴ ，
由(1)得 ，∴ ，
∴ .
由 ∥ ，得 ，∴ △ ∽△ ，
∴ ，∴ .
25.分析：本題是相似圖形的推廣，理解相似正方體的概念和性質(zhì)，由此類比，從而得出相似體的性質(zhì).
解：（1）A
（2）①相似比
②相似比的平方
③相似比的立方
（3）可由相似體的特征，直接列方程求解．
設(shè)他的體重為 千克，則 ．解得 （千克）．
答：他的體重為60.75千克.
26.分析：（1）∵ EH∥AB,∴ ∠BAF=∠HEF,∠ABF=∠EHF,∴ △ABF∽△EHF.∴ = =3,
∴ AB=3EH.∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，∴ AB∥CD.
又EH∥AB，∴ EH∥CD.
∴ △BEH∽△BCG,∴ = =2,即CG＝2EH.∴ ＝ ＝ ＝ .
（2）作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB,△BEH∽△BCG,∴ 可證AB＝mEH，CG＝2EH，從而 ＝ ＝ .
（3）過點E作EH∥AB交BD的延長線于點H，則△BCD∽△BEH,△ABF∽△EHF，
∴ = , = .∴ EH= , = =ab.
解：（1）AB＝3EH；CG＝2EH； .
（2） .解答過程如下：
作EH∥AB交BG于點H，則△EFH∽△AFB.
∴ = =m,∴ AB=mEH.∵ AB=CD,∴ CD=mEH.
∵ EH∥AB∥CD,∴ △BEH∽△BCG.
∴ ＝ ＝2，∴ CG＝2EH.∴ = = .
(3)ab.

5 Y


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