第一章 圖形與證明（二）檢測題
【本檢測題滿分：100分，時間：90分鐘】
一、（每小題3分，共30分）
1.如圖，在△ABC中， ，點D在AC邊上，且 ，則∠A的度數(shù)為（ ）
A. 30° B. 36° C. 45° D. 70°
2.如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AC于點D，交AB于點E，如果 5 c，
4 c，那么△DBC的周長是（ ）
A.6 c B.7 c C.8 c D.9 c

3.使兩個直角三角形全等的條件有（ ）
A.一銳角對應相等 B.兩銳角對應相等
C.一條邊對應相等 D.兩條邊對應相等
4.（2012年浙江臺州中考）如圖，點D,E,F分別為△ABC三邊的中點，若△DEF的周長為10，則△ABC的周長為（ ）
A．5B．10[:學科網(wǎng)] C．20D．40
5.如圖，在平行四邊形 中，對角線 , 相交于點 O，
若 ， 的和為18 c， ，△AOB的周長為
13 c，那么BC的長是（ ）
A.6 c B.9 c
C.3 c D.12 c
6.（2012年長沙中考）下列四邊形中，對角線一定不相等的是（ ）
A.正方形 B.矩形 C.等腰梯形 D.直角梯形
7.從菱形的鈍角頂點向對角的兩條邊作垂線，垂足恰好是該邊的中點，則菱形的內角中鈍角的度數(shù)是（ ）
A.150° B. 135° C. 120° D. 100°
8.順次連接一個四邊形的各邊中點，得到了一個矩形，則下列四邊形中滿足條件的是（ ）
①平行四邊形;②菱形;③等腰梯形;④對角線互相垂直的四邊形.
A.①③ B.②③ C.③④ D.②④
9.已知一矩形的兩邊長分別為10 c和15 c，其中一個內角的平分線分長邊為兩部分，這兩部分的長為（ ）
A.6 c和9 c B. 5 c和10 c C. 4 c和11 c D. 7 c和8 c
10.在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC⊥BD，且 ， ，則梯形兩腰中點的連線EF的長是（ ）
A.10 B . C. D.12
二、題（每小題3分，共30分）
11.（2012年哈爾濱中考）一個等腰三角形的兩邊長分別為5和6，則這個等腰三角形的周長為__ _______.

12.如圖，已知∠ 120°， ，AC的垂直平分線交BC于D，則∠ ______.
13.如圖，在△ 中，∠ 90°， 平分∠ ， 20 c，則點到AB的距離
是_________.

14.用 兩個全等的直角三角形拼下列圖形：
①平行四邊形（非菱形、矩形和正方形）;
②矩形;
③正方形;
④等腰三角形.
一定可以拼成的圖形是_________.(把所有符合條件的圖形的序號都寫上)
15.（2012年寧夏中考）已知菱形的邊長為6，一個內角為60°，則菱形的較短對角線的長是_________.
16．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對角線，點E，F(xiàn)在BD上，要使四邊形AECF是平行四邊形，還需要添加的 一個條件是____ _____．(只需寫出一個符合題意的條件即可)

17.如圖，在梯形 中， ∥ ，中位線 與對角線 ， 分別交于 ， 兩點，若
18 c， 8 c，則AB的長等于 _____．
18.如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，點E，F(xiàn)分別從點B，D同時以同樣的速度沿邊BC，DC向點C運動.給出以下四個結論：
① ;
② ∠ ∠ ;
③ 當點E，F(xiàn)分別為BC，DC的中點時，△AEF是等邊三角形；
④ 當點E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點時，△AEF的面積最大.
上述結論正確的序號有 .
19.如圖，四邊形ABCD是正方形，延長AB到點E，使 ，則∠BCE的度數(shù)是

20.如圖，矩形 的兩條對角線交于 點 ，過點 作 的垂線 ，分別交 ， 于點 ， ，連接 ，已知△ 的周長為24 c，則矩形 的周長是 c．

三、解答題（共40分）
21.（5分）如圖，在△ABC中，∠B=90°，是AC上任意一點（與A不重合），D⊥BC，D交∠BAC的平分線于點D，求證： .

22.（5分）如圖，在四邊形ABCD中， ， ，BD平分∠A BC.
求證：∠ ∠ 180°.
23.（5分）用反證法證明：在一個三角形中，如果兩條邊不相等，那么這兩條邊所對的角也不相等.
24.（5分）辨析糾錯.
已知：如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，DE∥AC，
DF∥AB.求證：四邊形AEDF是菱形.
對于這道題，小明是這樣證明的.
證明：∵ 平分∠ ，∴ ∠1＝∠2（角平分線的定義）.
∵ ∥ ，∴ ∠2＝∠3（兩直線平行，內錯角相等）.
∴ ∠1＝∠3（等量代換）.
∴ （等角對等邊）.同理可證： .
∴ 四邊形 是菱形（菱形定義）.
老師說小明的證明過程有錯誤，你能看出來嗎？
(1)請你幫小明指出他錯在哪里.
(2)請你幫小明做出正確的解答.
25.（6分）（2012年浙江溫州中考）如圖，在△ABC中，
∠B=90°，AB=6 c，BC=8 c．將△ABC沿射線BC方
向平移10 c，得到△DEF，A，B，C的對應點分別是
D，E，F(xiàn)，連接AD．求證：四邊形ACFD是菱形．
26.（7分）（2012年寧夏中考）正方形ABCD的邊長為3，
E，F(xiàn) 分別是AB，BC邊上的點，且∠EDF=45°．將
△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DC．
（1）求證：EF=F；
（2）當AE=1時，求EF的長．
27.（7分）已知在等腰梯形 D中， ∥ .
(1)若 ， ，梯 形的高是4，求梯形的周長；
(2 )若 ， ，梯形的高是h，梯形的周長為c，
請用 表示c；
(3)若 ， ， .求證： ⊥ .

第一章 圖形與證明（二）檢測題參考答案
一、
1.B 解析：因為 ，所以∠ =∠ .
因為 ，所以∠ ∠ ，∠ ∠ C.
又因為∠ ∠ ∠ ，所以∠ ∠ ∠ ∠ ∠ 2∠ ，
所以∠ 2∠ 2∠ 180°，所以∠ 36°.
2.D 解析：因為 垂直平分AB，所以 .
所以△ 的周長＝ (c).
3.D 解析：直角三角形的全等比一般三角形的全等更容易判斷，它們本身已有一對角對應相等，只要再有兩條邊對應相等即可.
4.C 解析: 根據(jù)中位線定理可得BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，繼而結合△DEF的周長為10，可得出△ABC的周長．
∵ D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊的中點，∴ DE，DF，EF都是△ABC的中位線，
∴ BC=2DF，AC=2DE，AB=2EF，故△ABC的周長=AB+BC+AC=2（FE + DF +DE）=20．
故選C．
5.A 解析：因為 ， ， 18 c，所以 9 c.
因為△AOB的周長為13 c，所以 （c）.
又因為 ， ， ，所以 c.
6.D 解析：正方形、矩形、等腰梯形的對角線一定相等，直角梯形的對角線一定不相等.
7.C 解析：如圖，在菱形ABCD中，AE⊥CD，AF⊥BC，連接AC.因為 ，所以AE是CD的中垂線，所以 ，所以三角形ADC是等邊三角形，所以∠ 60°，從而∠ 120°.

8.D 解析:因為順次連接任意一個四邊形的各邊中點，得到的是平行四邊形，而要得到矩形，根據(jù)矩形的判定（有一個角是直角的平行四邊形是矩形），所以該四邊形的對角線應互相垂直，只有②④符合.
9.B 解析:如圖，在矩形ABCD中， 10 c， 15 c， 是∠ 的平分線，則∠ ∠ C.由AE∥BC得∠ ∠AEB，所以∠ ∠AEB，即 ，所以 10 c， (c)，故選B.
10.C 解析:如圖，作 ∥ ，則四邊形 為平行四邊形， ， .
又 ⊥ ， ， ，所以 ⊥ .
根據(jù)勾股定理得 ，
根據(jù)梯形中位線的定義， .
二、題
11.16或17 解析：當?shù)妊�三角形的腰長為5時，其周長為5×2＋6=16;當?shù)妊�三角形的腰長為6時，其周長為6×2＋5=17.所以這個等腰三角形的周長為16或17.
12.60° 解析:由題意可知 ，所以∠ ∠ .
又∠ ∠ 30°，所以∠ ∠ ∠ 60°.
13.20 c 解析:根據(jù)角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等可得.
14.①②④ 解析：兩全等的直角三角形對應的直角邊疊合，當一個直角三角形的直角頂點對應另一個直角三角形的非直角頂點時，拼成平行四邊形（非矩形、菱形、正方形）；
當一個直角三角形的直角頂點對應另一個直角三角形的直角頂點時，拼成等腰三角形.
兩全等的直角三角形對應的斜邊疊合，兩互余角的頂點對應時，拼成矩形.
15.6 解析:較短的對角線將菱形分成兩個全等的等邊三角形，所以較短對角線的長為6.
16.答案不唯一，只要正確即可，如 或∠ ∠ .
17.26 c 解析:由EF是梯形ABCD的中位線，則EF∥CD∥AB，且 ， ，則 所以E是△ADC的中位線，所以 DC.
同理， DC.
所以 所以 .
又F為△ABC的中位線，所以 26 c.
18.①②③ 解析：因為四邊形ABCD為菱形，所以AB AD CB CD，∠B=∠D，BE=DF，所以△ ≌△ ，所以AE AF，①正確.
由CB=CD，BE=DF得CE=CF，所以∠CEF=∠CFE，②正確.
當E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點時，BE=DF= BC= DC.連接AC，BD，知△ 為等邊三角形，所以 ⊥ ， ⊥ ，所以∠AEF= ，由①知AE AF，故△ 為等邊三角形，③正確.
設菱形的邊長為1，當點E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點時， 的面積為 ，而當點E，F(xiàn)分別與點B，D重合時， = .故④錯.
19.22.5° 解析:由四邊形 是正方形，得∠ ∠ 又 ，所以 ，所以∠
20.48 解析:由矩形 可知 ，又 ⊥ ，所以 垂直平分 ，所以 .已知△ 的周長為24 c，即
所以矩形ABCD的周長為
三、解答題
21.證明：∵ ⊥ ，且∠ 90°，∴ ∥ ，
∴ ∠ ∠D.
又∵ AD為∠ 的平分線，∴ ∠ ∠ ，
∴ ∠ ∠ ，∴ .
22.分析：從條件BD平分∠ABC，可聯(lián)想到角平分線定理
的基本圖形，故要作垂線段.
證明：如圖，過點D作DE⊥AB交BA的延長線于點E，
過點D作 于點F.
因為BD平分∠ ，所以 .
在Rt△ 和Rt△ 中 ， ，
所以Rt△ ≌Rt△ (HL).
所以∠ ∠ .因為∠ ∠ 180°，
所以∠ ∠ 180°.
23.解：已知：如圖，在△ABC中， ，
求證：∠ ∠ .
證明：假設∠ ∠C，那么根據(jù)“等角對等邊”可得 ，
但已知條件是 ，矛盾，因此∠ ∠ .
24.解：能.⑴小明錯用了菱形的定義.
⑵改正：∵ ∥ ， ∥ ，∴ 四邊形 是平行四邊形.
∵ 平分∠ ，∴ ∠ ∠2.
∵ ∥ ，∴ ∠ ∠2，∴ ∠ ＝∠3.
∴ ，∴ 平行四邊形 是菱形.
25.分析：根據(jù)平移的性質可得CF=AD=10 c，DF=AC=10 c，就可以根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形得到結論．
證明：由平移變換的性質得CF=AD=10 c，DF=AC.
∵ ∠B=90°，AB=6 c，BC=8 c，∴ AC=10 c.
∴ AC=DF=AD=CF=10 c，∴ 四邊形ACFD是菱形．
26.（1）證明：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DC，∴∠FC=∠FCD+∠DC=180°，
∴ F，C，三點共線，DE=D，∠ED=90°，∴∠EDF+∠FD=90°.
∵ ∠EDF=45°，∴∠FD=∠EDF=45°.
在△DEF和△DF中，DE=D，∠EDF=∠DF，DF=DF，
∴△DEF≌△DF（SAS），∴ EF=F.
（2）解：設EF=F=x，∵AE=C=1，且BC=3，∴ B=BC+C=3+1=4，
∴BF=B－F=B－EF=4－x.
∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，
由勾股定理得EB2+BF2=EF2，即22+（4－x）2=x2，
解得：x= ，即EF= .
27. (1) 解:如圖，作DE∥AB，DF⊥BC.
因為AD∥BC ，所以四邊形ABED是平行四邊形，
所以AB=DE，AD=BE.
因為AB=CD，所以DE=DC.
又DF⊥BC，所以EF=FC.
因為AD=5，BC=11， 梯形的高是4，
所以EC=BC－AD=6，EF=FC=3，DF=4，
從而 ，
梯形的周長為AB+BC+CD+AD=5+11+5+5=26.
(2) 解：若AD=a，BC=b，梯形的高是h，則DF=h，EF=FC= (b-a)， .
所以梯形的周長c=AB+BC+CD+AD= .
(3)證明：如圖，過點D作AC的平行線，交BC的延長線于點E.
由等腰梯形的性質得AC=BD.因為AD∥BC， ED∥AC，
所以四邊形ACED是平行四邊形，
所以AD=CE，AC=DE，從而BD=DE= .
又BE=BC+CE=BC+AD=10，
所以 ，
所以DE⊥BD，即AC⊥BD.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chusan/215053.html

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