23、（2013•恩施州）如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為菱形．

考點(diǎn)：菱形的判定；梯形；中點(diǎn)四邊形．
專題：證明題．
分析：連接AC、BD，根據(jù)等腰梯形的對角線相等可得AC=BD，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EF=GH= AC，HE=FG= BD，從而得到EF=FG=GH=HE，再根據(jù)四條邊都相等的四邊形是菱形判定即可．
解答：證明：如圖，連接AC、BD，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∵E、F、G、H分別為邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴在△ABC中，EF= AC，
在△ADC中，GH= AC，
∴EF=GH= AC，
同理可得，HE=FG= BD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四邊形EFGH為菱形．

點(diǎn)評：本題考查了菱形的判定，等腰梯形的對角線相等，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，作輔助線是利用三角形中位線定理的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．

24、（2013•常德壓軸題）已知兩個共一個頂點(diǎn)的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，連接AF，是AF的中點(diǎn)，連接B、E．
（1）如圖1，當(dāng)CB與CE在同一直線上時，求證：B∥CF；
（2）如圖1，若CB=a，CE=2a，求B，E的長；
（3）如圖2，當(dāng)∠BCE=45°時，求證：B=E．

考點(diǎn)：三角形中位線定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．3718684
分析：（1）證法一：如答圖1a所示，延長AB交CF于點(diǎn)D，證明B為△ADF的中位線即可；
證法二：如答圖1b所示，延長B交EF于D，根據(jù)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行可得AB∥EF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BA=∠DF，根據(jù)中點(diǎn)定義可得A=F，然后利用“角邊角”證明△AB和△FD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，從而得到△BDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠EB=45°，從而得到∠EB=∠ECF，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明B∥CF即可，
（2）解法一：如答圖2a所示，作輔助線，推出B、E是兩條中位線；
解法二：先求出BE的長，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得B=D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得E⊥BD，求出△BE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；
（3）證法一：如答圖3a所示，作輔助線，推出B、E是兩條中位線：B= DF，E= AG；然后證明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，從而證明B=E；
證法二：如答圖3b所示，延長B交CF于D，連接BE、DE，利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行求出AB∥CF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠BA=∠DF，根據(jù)中點(diǎn)定義可得A=F，然后利用“角邊角”證明△AB和△FD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AB=DF，B=D，再根據(jù)“邊角邊”證明△BCE和△DFE全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=DE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出∠BED=∠CEF=90°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明即可．
解答：（1）證法一：

如答圖1a，延長AB交CF于點(diǎn)D，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，
∴點(diǎn)B為線段AD的中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)為線段AF的中點(diǎn)，
∴B為△ADF的中位線，
∴B∥CF．
證法二：

如答圖1b，延長B交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BA=∠DF，
∵是AF的中點(diǎn)，
∴A=F，
∵在△AB和△FD中，
，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE?BC，DE=EF?DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EB=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EB=∠ECF，
∴B∥CF；

（2）解法一：
如答圖2a所示，延長AB交CF于點(diǎn)D，則易知△BCD與△ABC為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=AD= a，
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)為AF中點(diǎn)，
∴B= DF．

分別延長FE與CA交于點(diǎn)G，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF= a，
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)為AF中點(diǎn)，
∴E= AG．
∵CG=CF= a，CA=CD= a，
∴AG=DF= a，
∴B=E= × a= a．
解法二：
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE?CB=2a?a=a，
∵△AB≌△FD，
∴B=D，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BE是等腰直角三角形，
∴B=E= BE= a；

（3）證法一：
如答圖3a，延長AB交CE于點(diǎn)D，連接DF，則易知△ABC與△BCD均為等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴點(diǎn)B為AD中點(diǎn)，又點(diǎn)為AF中點(diǎn)，∴B= DF．

延長FE與CB交于點(diǎn)G，連接AG，則易知△CEF與△CEG均為等腰直角三角形，
∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，又點(diǎn)為AF中點(diǎn)，∴E= AG．
在△ACG與△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴B=E．
證法二：

如答圖3b，延長B交CF于D，連接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BA=∠DF，
∴是AF的中點(diǎn)，
∴A=F，
在△AB和△FD中， ，
∴△AB≌△FD（ASA），
∴AB=DF，B=D，
∴AB=BC=DF，
∵在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵B=D，
∴B=E= BD，
故B=E．
點(diǎn)評：本題考查了三角形中位線定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出中位線、全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．

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