（2013•江西）某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：
　　●操作發(fā)現：
在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，是BC的中點，連接D和E，則下列結論正確的是 （填序號即可）
①AF=AG= AB；②D=E；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DB．
●數學思考：
在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，是BC的中點，連接D和E，則D和E具有怎樣的數量和位置關系？請給出證明過程；
●類比探索：
在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，是BC的中點，連接D和E，試判斷△ED的形狀．
答： ．

【答案】 解：
●操作發(fā)現：①②③④
●數學思考：
答：D=E，D⊥E，
１、D=E；
如圖2，分別取AB，AC的中點F，G，連接DF，F，G，EG，
∵是BC的中點，
∴F∥AC，F= AC．
又∵EG是等腰Rt△AEC斜邊上的中線，
∴EG⊥AC且EG= AC，
∴F=EG．
同理可證DF=G．
∵F∥AC，
∴∠FA＋∠BAC=180°．
同理可得∠GA+∠BAC=180°，
∴∠FA=∠GA．
又∵EG⊥AC，∴∠EGA=90°．
同理可得∠DFA=90°，
∴∠FA+∠DFA=∠GA=∠EGA，
即∠DF=∠EG，又F=EG，DF=G，
∴△DF≌△GE（SAS），
∴D=E．
2、D⊥E；
證法一：∵G∥AB，
∴∠FA+∠FG=180°，
又∵△DF≌△GE，∴∠EG=∠DF.
∴∠FA+∠FD+∠DE+∠DF=180°，
其中∠FA+∠FD+∠DF=90°，
∴∠DE=90°.
即D⊥E；
證法二：如圖2，D與AB交于點H，
∵AB∥G，
∴∠DHA=∠DG，
又∵∠DHA=∠FD+∠DFH,
即∠DHA=∠FD+90°,
∵∠DG=∠DE+∠GE，
∴∠DE=90°
即D⊥E；
●類比探究
答：等腰直角三解形
【考點解剖】 本題考查了軸對稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、全等、角的轉化等知識，能力要求很高．
【解題思路】 （1） 由圖形的對稱性易知①、②、③都正確，④∠DAB=∠DB=45°也正確；（2）直覺告訴我們D和E是垂直且相等的關系，一般由全等證線段相等，受圖1△DF≌△GE的啟發(fā)，應想到取中點構造全等來證D=E，證D⊥E就是要證∠DE=90°，由△DF≌△GE得∠EG=∠DF, △DF中四個角相加為180°，∠FG可看成三個角的和，通過變形計算可得∠DE=90°． （3）只要結論，不要過程，在（2）的基礎易知為等腰直角三解形.
【解答過程】 略.
【方法規(guī)律】 由特殊到一般，形變但本質不變（仍然全等）
【關鍵詞】 課題學習 全等 開放探究
（2013，河北）如圖8-1，是鐵絲AD的中點，將該鐵絲首尾相接折成
△ABC，且∠B = 30°，∠C = 100°，如圖8-2.
則下列說法正確的是
A．點在AB上
B．點在BC的中點處
C．點在BC上，且距點B較近，距點C較遠
D．點在BC上，且距點C較近，距點B較遠
（2013•上海）如圖3，在△ 和△ 中，點B、F、C、E在同一直線上，BF = CE，AC∥DF，請?zhí)砑右粋�條件，使△ ≌△ ，這個添加的條件可以是____________．（只需寫一個，不添加輔助線）

（2013•上海）當三角形中一個內角α是另一個內角β的兩倍時，我們稱此三角形為“特征三角形”，其中α稱為“特征角”．如果一個“特征三角形”的“特征角”為100°，那么這個“特征三角形”的最小內角的度數為__________．
（2013•上海）如圖5，在△ 中， ， ， tan C = 32 ，如果將△
沿直線l翻折后，點 落在邊 的中點處，直線l與邊 交于點 ，
那么 的長為__________．

（2013•上海）如圖8，在△ 中， ， ，點 為邊 的中點， 交 于點 ， 交 的延長線于點 ．
（1）求證： ；
（2）聯(lián)結 ，過點 作 的垂線交 的
延長線于點 ，求證： ．

（2013•畢節(jié)地區(qū)）已知等腰三角形的一邊長為4，另一邊長為8，則這個等腰三角形的周長為（　�。�
　A．16B．20或16C．20D．12

考點：等腰三角形的性質；三角形三邊關系．
分析：因為已知長度為4和8兩邊，沒由明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．
解答：解：①當4為底時，其它兩邊都為8，
4、8、8可以構成三角形，
周長為20；
②當4為腰時，
其它兩邊為4和8，
∵4+4=8，
∴不能構成三角形，故舍去，
∴答案只有20．
故選C．
點評：本題考查了等腰三角形的性質和三角形的三邊關系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應驗證各種情況是否能構成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關鍵．
（2013•畢節(jié)地區(qū)）如圖，已知AB∥CD，∠EBA=45°，∠E+∠D的度數為（　　）

　A．30°B．60°C．90°D．45°

考點：平行線的性質；三角形的外角性質．
分析：根據平行線的性質可得∠CFE=45°，再根據三角形內角與外角的關系可得∠E+∠D=∠CFE．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠EBA=45°，
∴∠CFE=45°，
∴∠E+∠D=∠CFE=45°，
故選：D．
點評：此題主要考查了平行線的性質，以及三角形內角與外角 的關系，關鍵是掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．
（2013•昆明）如圖，在 ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點， A=50?， ADE=60?，則 C的度數為（ ）
A.50? B.60?
C.70? D.80?
（2013•昆明）在平面直角坐標系 中，已知點A（2，3），在坐標軸上找一點P，使得 AOP是等腰三角形，則這樣的點P共有 個。
（2013•昆明）已知：如圖，AD、BC相交于點O，OA=OD,AB∥CD.求證：AB=CD.

（2013•邵陽）如圖所示，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，連結DE，若DE=5，則BC=　10�。�

考點：三角形中位線定理．
分析：由在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，可得DE是△ABC的中位線，然后由三角形中位線的性質，即可求得答案．
解答：解：∵在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，
∴DE= BC，
∵DE=5，
∴BC=10．
故答案為：10．
點評：此題考查了三角形中位線的性質．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用．
　
（2013•邵陽）將一幅三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作CF平分∠DCE交DE于點F．
（1）求證：CF∥AB．
（2）求∠DFC的度數．

考點：平行線的判定；角平分線的定義；三角形內角和定理．
分析：（1）首先根據角平分線的性質可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根據內錯角相等兩直線平行可判定出AB∥CF；
（2）利用三角形內角和定理進行計算即可．
解答：（1）證明：∵CF平分∠DCE，
∴∠1=∠2= ∠DCE，
∵∠DCE=90°，
∴∠1=45°，
∵∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CF；

（2）∵∠D=30°，∠1=45°，
∴∠DFC=180°?30°?45°=105°．
點評：此題主要考查了平行線的判定，以及三角形內角和定理，關鍵是掌握內錯角相等，兩直線平行．
（2013•柳州）如圖，△ABC≌△DEF，請根據圖中提供的信息，寫出x=　20�。�

考點：全等三角形的性質．
分析：先利用三角形的內角和定理求出∠A=70°，然后根據全等三角形對應邊相等解答．
解答：解：如圖，∠A=180°?50°?60°=70°，
∵△ABC≌△DEF，
∴EF=BC=20，
即x=20．
故答案為：20．
點評：本題考查了全等三角形的性質，根據角度確定出全等三角形的對應邊是解題的關鍵．
　
（2013•銅仁）已知△ABC的各邊長度分別為3c,4c,5c，則連結各邊中點的三角形的周長為（ ）
A.2cB.7cC.5cD.6c
（2013•銅仁）如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=90°，∠DAE=90°，B，C，D在同一條直線上.
求證：BD=CE.
證明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形
∴AD=AE AB=AC………………………………4分
又∵∠EAC=90°+∠CAD， ∠DAB=90°+∠CAD
∴∠DAB=∠EAC…………………………6分
在△ADB和△AEC中
∵AD=AE
∠DAB=∠EAC
AB=AC
∴△ADB≌△AEC(SAS) …………………………8分
∴BD=CE……………………………

（2013•紅河）如圖，D是△ABC的邊AB上一點，E是AC的中點，過點C作 ，交DE的延長線于點F．求證：AD = CF．
證明：∵E是AC的中點，
∴AE = CE． ………………………1分
∵CF∥AB，
∴∠A =∠ECF, ∠ADE =∠F． ………………………………3分
在△ 與△ 中，

∴△ ≌△ （AAS）． ……………………………4分
∴ ．

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