第二十六章二次函數章末測試（四）
總分120 分120分鐘
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．如圖，Rt△OAB的頂點A（?2，4）在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（ ）
（1題） （2題） （3題）
A． （ ， ） B． （2，2） C． （ ，2） D． （2， ）
2．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（ ）
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個根
C． a+b+c=0 D． 當x＜1時，y隨x的增大而減小
3．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論正確的是（ �。�
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當?1＜x＜3時，y＞0 D． ?
4．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數y=ax+b與反比例函數y= 在同一平面直角坐標系中的大致圖象為（ ）
A． B． C． D．
5．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（ �。�
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
6．二次函數y=ax2+bx+c圖象上部分點的坐標滿足下表：
x … ?3 ?2 ?1 0 1 …
y … ?3 ?2 ?3 ?6 ?11 …
則該函數圖象的頂點坐標為（ �。�
A． （?3，?3） B． （?2，?2） C． （?1，?3） D． （0，?6）
7．在同一坐標系內，一次函數y=ax+b與二次函數y=ax2+8x+b的圖象可能是（ �。�
A． B． C． D．
8．如圖所示，二次函數y=ax2+bx+c的圖象中，王剛同學觀察得出了下面四條信息：（1）b2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0，其中錯誤的有（ ）
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
二．填空題（共6小題，每題3分）
9． 2015年5月26日，中國羽毛球隊蟬聯蘇迪曼杯團體賽冠軍，成就了首個五連冠霸業(yè)．比賽中羽毛球的某次運動路線可以看作是一條拋物線（如圖）．若不考慮外力因素，羽毛球行進高度y（米）與水平距離x（米）之間滿足關系 ，則羽毛球飛出的水平距離為 _________ 米．
（9題） （10題）
10．如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于A，B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為9m，AB=36m，D，E為拱橋底部的兩點，且DE∥AB，點E到直線AB的距離為7m，則DE的長為 _________ m．
11．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點（1，2）和（?1，?6）兩點，則a+c= _________�。�
12．如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），若拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數k的取值范圍是 _________�。�
（12題） （13題）
13．如圖，拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為 _________�。�
14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+3與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y= 于點B、C，則BC的長值為 _________�。�
三．解答題（共10小題）
15．（6分）已知 是x的二次函數，求m的值和二次函數的解析式．
16．（6分）已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：（1）這個二次函數的解析式是y= _________��；
（2）當x= _________ 時，y=3；（3）根據圖象回答：當x _________ 時，y＞0．
17．（6分）已知拋物線y=?x2+2x+2．
（1）該拋物線的對稱軸是 _________ ，頂點坐標 _________ ；
（2）選取適當的數據填入下表，并在圖7的直角坐標系內描點畫出該拋物線的圖象；
x
y
（3）若該拋物線上兩點A（x1，y1），B（x2，y2）的橫坐標滿足x1＞x2＞1，試比較y1與y2的大小．
18．（8分）如圖，已知拋物y=?x2+bx+c過點C（3，8），與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D（0，5）．
（1）求該二次函數的關系式；
（2）求該拋物線的頂點M的坐標，并求四邊形ABMD的面積．
19．（8分）如圖，直角△ABC中，∠C=90°， ， ，點P為邊BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連接AP．
（1）求AC、BC的長；
（2）設PC的長為x，△ADP的面積為y．當x為何值時，y最大，并求出最大值 ．
20．（8分）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，且CD=3cm．動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，其中點P以1cm/s的速度沿AC向終點C移動；點Q以 cm/s的速度沿CB向終點B移動．過P作PE∥CB交AD于點E，設動點的運動時間為x秒．
（1）用含x的代數式表示EP；
（2）當Q在線段CD上運動幾秒時，四邊形PEDQ是平行四邊形；
（3）當Q在線段BD（不包括點B、點D）上運動時，求四邊形EPDQ面積的最大值．
21（8分）．如圖，拋物線y=a（x?1）2+4與x軸交于點A，B ，與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸交拋物線的對稱軸于點D，連接BD，已知點A的坐標為（?1，0）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求梯形COBD的面積．
22. （8分）某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品，每件進價為4 0元．經過市場調查，一周的銷售量y件與銷售單價x（x≥50）元/件的關系如下表：
銷售單價x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的銷售量y（件） … 450 400 300 250 …
（1）直接寫出y與x的函數關系式： _________
（2）設一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數關系式，并確定當銷售單價在什么范圍內變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大？
（3）雅安地震牽動億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災區(qū)，在商家購進該商品的貸款不超過10000元情況下，請你求出該商家最大捐款數額是多少元？
23（10分）．某公司銷售一種進價為20元/個的計算機，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：
價格x（元/個） … 30 40 50 60 …
銷售量y（萬個） … 5 4 3 2 …
同時，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40萬元．
（1）觀察 并分析表中的y與x之間的對應關系，用所學過的一次函數，反比例函數或二次函數的有關知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數解析式．
（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬個）與銷售價格x（元/個）的函數解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？
（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？
24（10分）．如圖，對稱軸為直線x=?1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（?3，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．
①若點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC．求點P的坐標；
②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．
第二十六章二次函數章末測試（四）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，Rt△OAB的頂點A（?2，4）在拋物線y=ax2上，將Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，邊CD與該拋物線交于點P，則點P的坐標為（ �。�
A． （ ， ） B． （2，2） C． （ ，2） D． （2， ）
考點： 二次函數綜合 題．
專題： 綜合題．
分析： 首先根據點A在拋物線y=ax2上求得拋物線的解析式和線段OB的長，從而求得點D的坐標，根據點P的縱坐標和點D的縱坐標相等得到點P的坐標即可；
解 答： 解：∵Rt△OAB的頂點A（?2，4）在拋物線y=ax2上，
∴4=a×（?2）2，
解得：a=1
∴解析式為y=x2，
∵Rt△OAB的頂點A（?2，4），
∴OB=OD=2，
∵Rt△OAB繞點O順時針旋轉90°，得到△OCD，
∴CD∥x軸，
∴點D和點P的縱坐標均為2，
∴令y=2，得2=x2，
解得：x=± ，
∵點P在第一象限，
∴點P的坐標為：（ ，2）
故選：C．
點評： 本題考查了二次函數的綜合知識，解題過程中首先求得直線的解析式，然后再求得點D的縱坐標，利用點P的縱坐標與點D的縱坐標相等代入函數的解析式求解即可．
2．已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（ ）
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個根
C． a+b+c=0 D． 當x＜1時，y隨x的增大而減小
考點： 二次函數圖象與系數的關系；二次函數的性質．
專題： 壓軸題．
分析： 根據拋物線的開口方向可得a＜0，根據拋物線對稱軸可得方程ax2+bx+c=0的根為x=?1，x=3；根據圖象可得x=1時，y＞0；根據拋物線可直接得到x＜1時，y隨x的增大而增大．
解答： 解：A、因為拋物線開口向下，因此a＜0，故此選項錯誤；
B、根據對稱軸為x=1，一個交點坐標為（?1，0）可得另一個與x軸的交點坐標為（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一個根，故此選項正確；
C、把x=1代入二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）中得：y=a+b+c，由圖象可得，y＞0，故此選項錯誤；
D、當x＜1時，y隨x的增大而增大，故此選項錯誤；
故選：B．
點評： 此題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，關鍵是從拋物線中的得到正確信息．
①二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小．
當a＞0時，拋物線向上開口； 當a＜0時，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越�。�
②一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置．
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）
③常數項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數．△=b2?4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2?4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2?4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
3．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論正確的是（ �。�
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當?1＜x＜3時，y＞0 D． ?
考點 ： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題；存在型．
分析： 根據二次函數的圖象與系數的關系對各選項進行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故本選項錯誤；
B、∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴△=b2?4ac＞0，故本選項錯誤；
C、由函數圖象可知，當?1＜x＜3時，y＜0，故本選項錯誤；
D、∵拋物線與x軸的兩個交點分別是（?1，0），（3，0），∴對稱軸x=? = =1，故本選項正確．
故選D．
點評： 本題考查的是二次函數的圖象與系數的關系，能利用數形結合求解是解答此題的關鍵．
4．二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數y=ax+b與反比例函數y= 在同一平面直角坐標系中的大致圖象為（ �。�
A． B． C． D．
考點： 二次函數的圖象；一次函數的圖象；反比例函數的圖象．
專題： 壓軸題．
分析： 根據二次函數圖象開口向上得到a＞0，再根據對稱軸確定出b，根據與y軸的交點確定出c＞0，然后確定出一次函數圖象與反比例函數圖象的情況，即可得解．
解答： 解：∵二次函數圖象開口方向向上，
∴a＞0，
∵對稱軸為直線x=? ＞0，
∴b＜0，
∵ 與y軸的正半軸相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的圖象經過第一三象限，且與y軸的負半軸相交，
反比例函數y= 圖象在第一三象限，
只有B選項圖象符合．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數的圖形，一次函數的圖象，反比例函數的圖象，熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、與y軸的交點坐標等確定出a、b、c的情況是解題的關鍵．
5．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（ �。�
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
考點： 二次函數圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 先求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式寫出拋物線解析式即可．
解答： 解：拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位后的拋物線頂點坐標為（?2，?1），
所得拋物線為=3（x+2）2?1．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數圖象與幾何變換，求出平移后的拋物線的頂點坐標是解題的關鍵．
6．二次函數y=ax2+ bx+c圖象上部分點的坐標滿足下表：
x … ?3 ?2 ?1 0 1 …
y … ?3 ?2 ?3 ?6 ?11 …
則該函數圖象的頂點坐標為（ ）
A． （?3，?3） B． （?2，?2） C． （?1，?3） D． （0，?6）
考點： 二次函數的性質．
專題： 壓軸題．
分析： 根據二次函數的對稱性確定出二次函數的對稱軸，然后解答即可．
解答： 解：∵x=?3和?1時的函數值都是?3相等，
∴二次函數的對稱軸為直線x=?2，
∴頂點坐標為（?2，?2）．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數的性質，主要利用了二次函數的對稱性，仔細觀察表格數據確定出對稱軸是解題的關鍵．
7．在同一坐標系內，一次函數y=ax+b與二次函數y=ax2+8x+b的圖象可能是（ �。�
A． B． C． D．
考點： 二次函數的圖象；一次函數的圖象．
分析： 令x=0，求出兩個函數圖象在y軸上相交于同一點，再根據拋物線開口方向向上確定出a＞0，然后確定出一次函數圖象經過第一三象限，從而得解．
解答： 解：x=0時，兩個函數的函數值y=b，
所以，兩個函數圖象與y軸相交于同一點，故B、D選項錯誤；
由A、C選項可知，拋物線開口方向 向上，
所以，a＞0，
所以，一次函數y=ax+b經過第一三象限，
所以，A選項錯誤，C選項正確．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數圖象，一次函數的圖象，應該熟記一次函數y=kx+b在不同情況下所在的象限，以及熟練掌握二次函數的有關性質：開口方向、對稱軸、頂點坐標等．
8．如圖所示，二次函數y=ax2+bx+c的圖象中，王剛同學觀察得出了下面四條信息：（1）b 2?4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a?b＜0；（4）a+b+c＜0，其中錯誤的有（ �。�
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 二次函數圖象與系數的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a與0的關系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解答： 解：（1）圖象與x軸有2個交點，依據根的判別式可知b2?4ac＞0，正確；
（2）圖象與y軸的交點在1的下方，所以c＜1，錯誤；
（3）∵對稱軸在?1的右邊，∴? ＞?1，又a＜0，∴2a?b＜0，正確；
（4）當x=1時，y=a+b+c＜0，正確；
故錯誤的有1個．
故選：A．
點評： 本題主要考查二次函數圖象與系數之間的關系，會利用對稱軸的范圍求2a與b的關系，以及二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用．
二．填空題（共6小題）
9．2015年5月26日，中國羽毛球隊蟬聯 蘇迪曼杯團體賽冠軍，成就了首個五連冠霸業(yè)．比賽中羽毛球的某次運動路線可以看作是一條拋物線（如圖）．若不考慮外力因素，羽毛球行進高度y（米）與水平距離x（米）之間滿足關系 ，則羽毛球飛出的水平距離為 5 米．
考點： 二次函數的應用．
分析： 根據羽毛球飛出的水平距離即為拋物線與x軸正半軸交點到原點的距離，進而求出即可．
解答： 解：當y=0時，0=? x2+ x+ ，
解得：x1=?1，x2=5，
故羽毛球飛出的水平距離為5m．
故答案為：5．
點評： 此題主要考查了二次函數的應用，根據已知得出圖象與x軸交點坐標是解題關鍵．
10．如圖是我省某地一座拋物線形拱橋，橋拱在豎直平面內，與水平橋面相交于A，B兩點，拱橋最高點C到AB的距離為9m，AB=36m，D，E為拱橋底部的兩點，且DE∥AB，點E到直線AB的距離為7m，則DE的長為 48 m．
考點： 二次函數的應用．
專題： 壓軸題．
分析： 首先建立平面直角坐標系，設AB與y軸交于H，求出OC的長，然后設設該拋物線的解析式為：y=ax2+k，根據題干條件求出a和k的值，再令y=0，求出x的值，即可求出D和E點的坐標，DE的長度即可求出．
解答： 解：如圖所示，建立平面直角坐標系．
設AB與y軸交于點H，
∵AB=36，
∴AH=BH=18，
由題可知：
OH=7，CH=9，
∴OC=9+7=16，
設該拋物線的解析式為：y=ax2+k，
∵頂點C（0，16），
∴拋物線y=ax2+16，
代入點（18，7）
∴7=18×18a+16，
∴7=324a+16，
∴324a=?9，
∴a=? ，
∴拋物線：y=? x2+16，
當y=0時，0=? x2+16，
∴? x2=?16，
∴x2=16×36=576
∴x=±24，
∴E（24，0），D（?24，0），
∴OE=OD=24，
∴DE=OD+OE=24+24=48，
故答案為48．
點評： 本題主要考查二次函數綜合應用的知識點，解答本題的關鍵是正確地建立平面直角坐標系，此題難度一般，是一道非常好的試題．
11．拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點（1，2）和（?1，?6）兩點，則a+c= ?2�。�
考點： 待定系數法求二次函數解析式．
分析： 把兩點的坐標代入二次函數的解析式，通過①+②，得出2a+2c=?4，即可得出a+c的值．
解答： 解：把點（1，2）和（?1，?6）分別代入y=ax2+bx+c（a≠0）得：
，
①+②得：2a+2c=?4，
則a+c=?2；
故答案為：?2．
點評： 此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，解題的關鍵是通過①+②，得到2a+2c的值，再作為一個整體出現，不要單獨去求a，c的值．
12．如圖，以扇形OAB的頂點O為原點，半徑OB所在的直線為x軸，建立平面直角坐標系，點B的坐標為（2，0），若拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，則實數k的取值范圍是 ?2＜k＜ �。�
考點： 二次函數的性質．
專題： 壓軸題．
分析： 根據∠AOB=45°求出直線OA的解析式，然后與拋物線解析式聯立求出有一個公共點時的k值，即為一個交點時的最大值，再求出拋物線經過點B時的k的值，即為一個交點時的最小值，然后寫出k的取值范圍即可．
解答： 解：由圖可知，∠AOB=45°，
∴直線OA的解析式為y=x，
聯立 消掉y得，
x2?2x+2k=0，
△=（?2）2?4×1×2k=0，
即k= 時，拋物線與OA有一個交點，
此交點的橫坐標為1，
∵點B的坐標為（2，0），
∴OA=2，
∴點A的坐標為（ ， ），
∴交點在線段AO上；
當拋物線經過點B（2，0）時， ×4+k=0，
解得k=?2，
∴要使拋物線y= x2+k與扇形OAB的邊界總有兩個公共點，實數k的取值范圍是?2＜k＜ ．
故答案為：?2＜k＜ ．
點評： 本題考查了二次函數的性質，主要利用了聯立兩函數解析式確定交點個數的方法，根據圖形求出有一個交點時的最大值與最小值是解題的關鍵．
13．如圖，拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為 12�。�
考點： 二次函數圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 根據平移的性質得出四邊形APP′A′是平行四邊形，進而得出AD，PP′的長，求出面積即可．
解答： 解：連接AP，A′P′，過點A作AD⊥PP′于點D，
由題意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四邊形APP′A′是平行四邊形，
∵拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3），平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），
∴PO= =2 ，∠ AOP=45°，
∴PP′=2 ×2=4 ，
∴AD=DO= ×3= ，
∴拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為：4 × =12．
故答案為：12．
點評： 此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換以及平行四邊形面積求法和勾股定理等知識，根據已知得出AD，PP′是解題關鍵．
14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2 +3與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y= 于點B、C，則BC的長值為 6�。�
考點： 二次函數圖象上點的坐標特征．
專題： 壓軸題．
分析： 先由y軸上點的橫坐標為0求出A點坐標為（0，3），再將y=3代入y= ，求出x的值，得出B、C兩點的坐標，進而求出BC的長度．
解答： 解：∵拋物線y=ax2+3與y軸交于點A，
∴A點坐標為（0，3）．
當y=3時， =3，
解得x=±3，
∴B點坐標為（?3，3），C點坐標為（3，3），
∴BC=3?（?3）=6．
故答案為6．
點評： 本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，兩函數交點坐標的求法，平行于x軸上的兩點之間的距離，比較簡單．
三．解答題（共10小題）
15．已知 是x的二次函數，求m的值和二次函數的解析式．
考點： 二次函數的定義．
專題： 存在型．
分析： 先根據二次函數的定義求出m的值，再把m的值代入函數的解析式即可．
解答： 解：∵ 是x的二次函數，
∴ ，解得m=3或m=?1，
∴此二次函數的解析式為：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
點評： 本題考查的是二次函數的定義，即一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
16．已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象如圖所示：
（1）這個二次函數的解析式是y= x2?2x�。�
（2）當x= 3或?1 時，y=3；
（3）根據圖象回答：當x�。�0或＞2 時，y＞0．
考點： 二次函數的圖象．
分析： （1）易知頂點為（1，?1）；那么可設頂點式y(tǒng)=a（x?1）2?1再把（0，0）代入求a．
（2）把y=3代入拋物線解析式即可．
（3）函數值大于 0，指x軸上方的函數圖象所對應的x的取值．
解答： 解：（1）由圖可知頂點坐標為（1，?1），設y=a（x?1）2?1，
把點（0，0）代入，得0=a?1，即a=1，
所以y=（x?1）2?1=x2?2x．
（2）當y=3時，x2?2x=3，解得x=3或x=?1．
（3）由圖可知，拋物線與x軸兩 交點為（0，0），（2，0），開口向上，
所以當x＜0或x＞2時，y＞0．
點評： 本題考查用待定系數法求二次函數解析式；會根據所給的函數值得到相應的自變量的值及取值．
17．已知拋物線y=?x2+2x+2．
（1）該拋物線的對稱軸是 x=1 ，頂點坐標�。�1，3）�。�
（2）選取適當的數據填入下表，并在圖7的直角坐標系內描點畫出該拋物線的圖象；
x
y
（3）若該拋物線上兩點A（x1，y1），B（x2，y2）的橫坐標滿足x1＞x2＞1，試比較y1與y2的大�。�
考點： 二次函數的性質；二次函數的圖象；二次函數圖象上點的坐標特征．
專題： 壓軸題；圖表型．
分析： （1）代入對稱軸公式 和頂點公式（? ， ）即可；（2）盡量讓x選取整數值，通過解析式可求出對應的y的值，填表即可；（3）結合圖象可知這兩點位于對稱軸右邊，圖象隨著x的增大而減少，因此y1＜y2．
解答： 解：（1）x=1；（1，3）
（2）
x … ?1 0 1 2 3 …
y … ?1 2 3 2 ?1 …
（3）因為在對稱軸x=1右側，y隨x的增大而減小，又x1＞x2＞1，所以y1＜y2．
點評： 二次函數是中考考查的必考內容之一，本題是綜合考查二次函數的一些基礎知識，需要考生熟悉二次函數的相關基本概念即可解題．
18．如圖，已知拋物y=?x2+bx+c過點C（3，8），與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D（0，5）．
（1）求該二次函數的關系式；
（2）求該拋物線的頂點M的坐標，并求四邊形ABMD的面積．
考點： 二次函數圖象上點的坐標特征；二次函數的圖象；待定系數法求二次函數解析式．
專題： 計算題．
分析： （1）將C（3，8），D（0，5）兩點坐標代入y=?x2+bx+c中求b、c即可；
（2）由二次函數解析式求M點坐標，根據S四邊形ABMD=S△ADO+S梯形ODMN+S△MNB求面積．
解答： 解：（1）根據題意，得C=5
?9+3b+c=8（2分）
∴b=4，c=5．（3分）
∴這個二次函數的關系式為：y=?x2+4x+5；
（2）y=?x2+4x+5的頂點坐標為M（2，9），
令y= 0，?x2+4x+5=0得x1=5，x2=?1，
A（?1，0）B（5，0），
∴S四邊形ABMD=S△ADO+S梯形ODMN+S△MNB
= + + =30．
點評： 本題考查了二次函數解析式的求法，坐標系中求圖形的面積．關鍵是根據已知點的坐標，將四邊形分割為兩個三角形與一個梯形的面積和．
19．如圖，直角△ABC中，∠C=90°， ， ，點P為邊BC上一動點，PD∥AB，PD交AC于點D，連接AP．
（1）求AC、BC的長；
（2）設PC的長為x，△ADP的面積為y．當x為何值時，y最大，并求出最大值．
考點： 二次函數的最值；勾股定理；相似三角形的判定與性質．
專題： 綜合題；壓軸題．
分析： （1）在Rt△ABC中，根據∠B的正弦值及斜邊AB的長，可求出AC的長，進而可由勾股定理求得BC的長；
（2）由于PD∥AB，易證得△CPD∽△CBA，根據相似三角形得出的成比例線段，可求出CD的表達式，也就求出AD的表達式，進而 可以AD為底、PC為高得出△ADP的面積，即可求出關于y、x的函數關系式，根據所得函數的性質，可求出y的最大值及對應的x的值．
解答： 解：（1）在Rt△ABC中， ， ，
得 ，
∴AC=2，根據勾股定理得：BC=4；（3分）
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴ ；
設PC=x，則 ， ，
∴
∴當x=2時，y的最大值是1． （8分）
點評： 此題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質、二次函數的應用等知識．
20．如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，點D在BC上，且CD=3cm．動點P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，其中點P以1cm/s的速度沿AC向終點C移動；點Q以 cm/s的速度沿CB向終點B移動．過P作PE∥CB交AD于點E，設動點的運動時間為x秒．
（1）用含x的代數式表示EP；
（2）當Q在線段CD上運動幾秒時，四邊形PEDQ是平行四邊形；
（3）當Q在線段BD（不包括點B、點D）上運動時，求四邊形EPDQ面積的最大值．
考點： 二次函數的最值；平行四邊形的性質；相似三角形的判定與性質．
專題： 壓軸題；動點型．
分析： （1）此題有兩種解法：①由于PE∥CD，易證得△APE∽△ACD，根據相似三角形的對應邊的比相等，即可求得PE的長，②根據∠A的正切值求解．
（2）當Q在線段CD上運動時，0＜x＜2.4，若四邊形PEDQ是平行四邊形，則PE=DQ1，可用x表示出DQ1的長，聯立PE的表達式列方程求出x的值．
（3）當Q在線段BD上運動時，四邊形EPDQ是梯形，DQ、CP的長易求得，即可根據梯形的面積公式求得關于四邊形EPDQ的面積與x的函數關系式，根據函數的性質即可得到四邊形EPDQ的最大面積．
解答： 解：（1）∵PE∥CB，
∴∠AEP=∠ADC，
又∵∠EAP=∠DAC，
∴△AEP∽△ADC，（2分）
∴ = ，
∴ = ，（3分）
∴ ．（4分）
（2）由四邊形PEDQ1是平行四邊形，可得EP=DQ1．（5分）
即 x=3? x，所以x=1.5．（6分）
∵0＜x＜2.4（7分）
∴當Q在線段CD上運動1.5秒時，四邊形PEDQ是平行四邊形．（8分）
（3）S四邊形EPDQ2= （ x+ x?3）•（4?x）（9分）
=?x2+ x?6=?（x? ）2+ ，（10分）
又∵2.4＜x＜4，（12分）
∴當x= 時，S取得最大值，最大值為 ．（13分）
點評： 此題考查了相似三角形的判定和性質、平行四邊形的性質、梯形的面積以及二次函數最值的應用；在求圖形面積的最大或最小值時，通常轉化為二次函數的最值問題進行求解．
21．如圖，拋物線y=a（x?1）2+4與x軸交于點A，B，與y軸交于點C，過點C作CD∥x軸交拋物線的對稱軸于點D，連接BD，已知點A的坐標為（?1，0）
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求梯形COBD的面積．
考點： 待定系數法求二次函數解析式；二次函數的性質；拋物線與x軸的交點．
專題： 計算題．
分析： （1）將A坐標代入拋物線解析式，求出a的值，即可確定出解析式；
（2）拋物線解析式令x=0求出y的值，求出OC的長，根據對稱軸求出CD的長，令y=0求出x的值，確定出OB的長，利用梯形面積公式即可求出梯形COBD的面積．
解答： 解：（1）將A（?1，0）代入y=a（x?1）2+4中，得：0=4a+4，
解得：a=?1，
則拋物線解析式為y=?（x?1）2+4；
（2）對于拋物線解析式，令x=0，得到y(tǒng)=3，即OC=3，
∵拋物線解析式為y=?（x?1）2+4的對稱軸為直線x=1，
∴CD=1，
∵A（?1，0），
∴B（3，0），即OB=3，
則S梯形OCDB= =6．
點評： 此題考查了利用待定系數法求二次函數解析式，二次函數的性質，以及二次函數與x軸的交點，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵．
22．某商家獨家銷售具有地方特色的某種商品，每件進價為40元．經過市場調查，一周的銷售量y件與銷售單價x（x≥50）元/件的關系如下表：
銷售單價x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的銷售量y（件） … 450 400 300 250 …
（1）直接寫出y與x的函數關系式： y=?10x+1000
（2）設一周的銷售利潤為S元，請求出S與x的函數關系式，并確定當銷售單價在什么范圍內變化時，一周的銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大？
（3）雅安地震牽動億萬人民的心，商家決定將商品一周的銷售利潤全部寄往災區(qū)，在商家購進該商品的貸款不超過10000元情況下，請你求出該商家最大捐款數額是多少元？
考點： 二次函數的應用．
專題： 壓軸題．
分析： （1）設y=kx+b，把點的坐標代入解析式，求出k、b的值，即可得出函數解析式；
（2）根據利潤=（售價?進價）×銷售量，列出函數關系式，繼而確定銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大的銷售單價的范圍；
（3）根據購進該商品的貸款不超過10000元，求出進貨量，然后求最大銷售額即可．
解答： 解：（1）設y=kx+b，
由題意得， ，
解得： ，
則函數關系式為：y=?10x+1000；
（2）由題意得，S=（x?40）y=（x?40）（?10x+1000）
=?10x2+1400x?40000=?10（x?70）2+9000，
∵?10＜0，
∴函數圖象開口向下，對稱軸為x=70，
∴當50≤x≤70時，銷售利潤隨著銷售單價的增大而增大；
（3）當購進該商品的貸款為10000元時，
y= =250（件），
此時x=75，
∴35×250=8750，
即該商家最大捐款數額是8750元．
點評： 本題考查了二次函數的應用，難度一般，解答本題的關鍵是將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題．
23．某公司銷售一種進價為20元/個的計算機，其銷售量y（萬個）與銷售價格x（元/個）的變化如下表：
價格x（元/個） … 30 40 50 60 …
銷售量y（萬個） … 5 4 3 2 …
同時，銷售過程中的其他開支（不含造價）總計40萬元．
（1）觀察并分析表中的y與x之間的對應關系，用所學過的一次函數，反比例函數或二次函數的有關知識寫出y（萬個）與x（元/個）的函數解析式．
（2）求出該公司銷售這種計算器的凈得利潤z（萬個）與銷售價格x（元/個）的函數解析式，銷售價格定為多少元時凈得利潤最大，最大值是多少？
（3）該公司要求凈得利潤不能低于40萬元，請寫出銷售價格x（元/個）的取值范圍，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為多少元？
考點： 二次函數的應用．
專題： 壓軸題．
分析： （1）根據數據得出y與x是一次函數關系，進而利用待定系數法求一次函數解析式；
（2）根據z=（x?20）y?40得出z與x的函數關系式，求出即可；
（3）首先求出40=? （x?50）2+50時x的值，進而得出x（元/個）的取值 范圍．
解答： 解：（1）根據表格中數據可得出：y與x是一次函數關系，
設解析式為：y=ax+b，
則 ，
解得： ，
故函數解析式為：y=? x+8；
（2）根據題意得出：
z=（x?20）y?40
=（x?20）（? x+8）?40
=? x2+10x?200，
=? （x2?100x）?200
=? [（x?50）2?2500]?200
=? （x?50）2+50，
故銷售價格定為50元/個時凈得利潤最大，最大值是50萬元．
（3）當公司要求凈得利潤為40萬元時，即? （x?50）2+50=40，解得：x 1=40，x2=60．
如上圖，通過觀察函數y=? （x?50）2+50的圖象，可知按照公司要求使凈得利潤不低于40萬元，則銷售價格的取值范圍為：40≤x≤60．
而y與x的函數關系式為：y=? x+8，y隨x的增大而減少，
因此，若還需考慮銷售量盡可能大，銷售價格應定為40元/個．
點評 ： 此題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求一次函數解析式、二次函數最值問題等知識，根據已知得出y與x的函數關系是解題關鍵．
24．如圖，對稱軸為直線x=?1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，其中點A的坐標為（?3，0）．
（1）求點B的坐標；
（2）已知a=1，C為拋物線與y軸的交點．
①若點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC．求點P的坐標；
②設點Q是線段AC上的動點，作QD⊥x軸交拋物線于點D，求線段QD長度的最大值．
考點： 二次函數綜合題．
專題： 壓軸題．
分析： （1）由拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=?1，交x軸于A、B兩點，其中A點的坐標為（?3，0），根據二次函數的對稱性，即可求得B點的坐標；
（2）①a=1時，先由對稱軸為直線x=?1，求出b的值，再 將B（1，0）代入，求出二次函數的解析式為y=x2+2x?3，得到C點坐標，然后設P點坐標為（x，x2+2x?3），根據S△POC=4S△BOC列出關于x的方程，解方程求出x的值，進而得到點P的坐標；
②先運用待定系數法求出直線AC的解 析式為y=?x?3，再設Q點坐標為（x，?x?3），則D點坐標為（x，x2+2x?3），然后用含x的代數式表示QD，根據二次函數的性質即可求出線段QD長度的最大值．
解答： 解：（1）∵對稱軸為直線x=?1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，
∴A、B兩點關于直線x=?1對稱，
∵點A的坐標為（?3，0），
∴點B的坐標為（1，0）；
（2）①a=1時，∵拋物線y=x2+bx+c的對稱軸為直線x=?1，
∴ =?1，解得b=2．
將B（1，0）代入y=x2+2x+c，
得1+2+c=0，解得c=?3．
則二次函數的解析式為y=x2+2x?3，
∴拋物線與y軸的交點C的坐標為（0，?3），OC=3．
設P點坐標為（x，x2+2x?3），
∵S△POC=4S△BOC，
∴ ×3×|x|=4× ×3×1，
∴|x|=4，x=±4．
當x=4時，x2+2x?3=16+8?3=21；
當x=?4時，x2+2x?3=16?8?3=5．
所以點P的坐標為（4，21）或（?4，5）；
②設直線AC的解析式為y=kx+t，將A（?3，0），C（0，?3）代入，
得 ，解得 ，
即直線AC的解析式為y=?x?3．
設Q點坐標為（x，?x?3）（?3≤x≤0），則D點坐標為（x，x2+2x?3），
QD=（?x?3）?（x2+2x?3）=?x2?3x=?（x+ ）2+ ，
∴當x=? 時，QD有最大值 ．
點評： 此題考查了待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的性質以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關鍵是運用方程思想與數形結合思想．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chusan/290786.html
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