第二十六章二次函數(shù)章末測試（三）
總分120分120分鐘
一．選擇題（共8小題，每題3分）
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（1，0）和點（0，?2），且頂點在第三象限，設P=a?b+c，則P的取值范圍是（ �。�
A． ?4＜P＜0 B． ?4＜P＜?2 C． ?2＜P＜0 D． ?1＜P＜0
2．若一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與x軸的交點坐標為（?2，0），則拋物線y=ax2+bx的對稱軸為（ ）
A． 直線x=1 B． 直線x=?2 C． 直線x=?1 D． 直線x=?4
3．二次函數(shù)y=x2?4x+5的最小值是（ �。�
A． ?1 B． 1 C． 3 D． 5
4．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（ ）
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個根
C． a+b+c=0 D． 當x＜1時，y隨x的增大 而減小
5．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論正確的是（ �。�
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當?1＜x＜3時，y＞0 D． ?
6．若正比例函數(shù)y=mx（m≠0），y隨x的增大而減小，則它和二次函數(shù)y=mx2+m的圖象大致是（ �。�
A． B． C． D．
7．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（ �。�
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
8．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x=?1，且過點（?3，0）．下列說法：①abc＜0；②2a?b=0；③4a+2b+c＜0；④若（?5，y1），（ ，y2）是拋物線上兩點，則
y1＞y2．其中說法正確的是（ �。�
A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④
二．填空題（共8小題，每題3分）
9．在平面直角坐標系中，把拋物線y=? x2+1向上平移3個單位，再向左平移1個單位，則所得拋物線的解析式是 _________ ．
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數(shù)，那么a的取值范圍是 _________�。�
11．把拋物線y=x2+4x+5改寫成y=（x+h）2+k的形式為 _________ ，其頂點坐標為 _________
12．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結論：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若?1＜m＜n＜1，則m+n＜? ；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正確的結論是 _________�。▽懗瞿阏J為正確的所有結論序號）．
13．如圖，拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為 _________�。�
14．已知二次函數(shù)的y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的實數(shù)），其中正確結論的番號有 _________�。�
三．解答題（共10小題）
15（6分）．已知 是x的二次函數(shù)，求出它的解析式．
16．（6分）如果函數(shù)y=（m?3） +mx+1是二次函數(shù)，求m的值．
17．（6分）已知二次函數(shù)y= ．
（1）用配方法求出該函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸；
（2）在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的大致圖象．
18．（8分）已知
（1）把它配方成y=a（x?h）2+k形式，寫出它的開口方向、頂點M的坐標；
（2）作出函數(shù)圖象；（填表描出五個關鍵點）
（3）結合圖象回答：當x取何值，y＞0，y=0，y＜0．
19．（8分）已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中函數(shù)y與自變量x之間的部分對應值如下表所示，點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，當0＜x1＜1，2＜x2＜3時，則y1 _________ y2（填“＞”或“＜”）．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 ?2 ?3 ?2 …
20．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（?1，0）和B（3，0）兩點，交y軸于點E．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若直線y=x+1與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點F，連接DE，求△DEF的面積．
20（8分）．如圖，二次函數(shù)y=ax2?4x+c的圖象經(jīng)過坐標原點，與x軸交于點A（?4，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線上存在點P，滿足S△AOP=8，請直接寫出點P的坐標．
21．（8分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E．
（1）連接AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長；
（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關系式．當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長．
22．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．
（1）求AC、BC的長；
（2）設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當△PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；
（4）當x=5秒時 ，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM得周長最小？若存在，求出最小周長；若不存在，請說明理由．
23．（10分）如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（?4，?3），與y軸交于點B，對稱軸是x=?3，請解答下列問題：
（1）求拋物線的解析式．
（2）若和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點，點C在對稱軸左側，且CD=8，求△BCD的面積．
注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=? ．
24．（10分）如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（3）把拋物線向上平移，使得頂點落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖②中陰影部分）．
第二十六章二次函數(shù)章末測試（三）
參考答案與試題解析
一．選擇題（共8小題）
1．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）過點（1，0）和點（0，?2），且頂點在第三象限，設P=a?b+c，則P的取值范圍是（ �。�
A． ?4＜P＜0 B． ?4＜P＜?2 C． ?2＜P＜0 D． ?1＜P＜0
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 求出a＞0，b＞0，把 x=1代入求出a=2?b，b=2?a，把x=?1代入得出y=a?b+c=2a?4，求出2a?4的范圍即可．
解答： 解：∵二次函數(shù)的圖象開口向上，
∴a＞0，
∵對稱軸在y軸的左邊，
∴? ＜0，
∴b＞0，
∵圖象與y軸的交點坐標是（0，?2），過（1，0）點，
代入得：a+b?2=0，
∴a=2?b，b=2?a，
∴y=ax2+（2?a）x?2，
把x=?1代入得：y=a?（2?a）?2=2a?4，
∵b＞0，
∴b=2?a＞0，
∴a＜2，
∵a＞0，
∴0＜a＜2，
∴0＜2a＜4，
∴?4＜2a?4＜0，
即?4＜P＜0，
故選A．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系：二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=? ；拋物線與y軸的交點坐標為（0，c）．
2．若一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的圖象與x軸的交點坐標為（?2，0），則拋物線y=ax2+bx的對稱軸為（ �。�
A． 直線x=1 B． 直線x=?2 C． 直線x=?1 D． 直線x=?4
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
分析： 先將（?2，0）代入一次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax+b，得到?2a+b=0，即b=2a，再根據(jù)拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=? 即可求解．
解答： 解：∵一次函數(shù)y= ax+b（a≠0）的圖象與x軸的交點坐標為（?2，0），
∴?2a+b=0，即b=2a，
∴拋物線y=ax2+bx的對稱軸為直線x=? =?1．
故選C．
點評： 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及二次函數(shù)的性質(zhì)，難度適中．用到的知識點：
點在函數(shù)的圖象上，則點的坐標滿足函數(shù)的解析式；
二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=? ．
3．二 次函數(shù)y=x2?4x+5的最小值是（ �。�
A． ?1 B． 1 C． 3 D． 5
考點： 二次函數(shù)的最值．
分析： 先利用配方法將二次函數(shù)的一般式y(tǒng)=x2?4x+5變形為頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．
解答： 解：配方得：y=x2?4x+5=x2?4x+22+1=（x?2）2+1，
當x=2時，二次函數(shù)y=x2?4x+5取得最小值為1．
故選B．
點評： 本題考查了二次函數(shù)最值的求法，求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法．
4．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則下列結論中正確的是（ �。�
A． a＞0 B． 3是方程ax2+bx+c=0的一個根
C． a+b+c=0 D． 當x＜1時，y隨x的增大而減小
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系；二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)拋物線的開口方向可得a＜0，根據(jù)拋物線對稱軸可得方程ax2+bx+c=0的根為x=?1，x=3；根據(jù)圖象可得x=1時，y＞0；根據(jù)拋物線可直接得到x＜1時，y隨x的增大而增大．
解答： 解：A、因為拋物線開口向下，因此a＜0，故此選項錯誤；
B、根據(jù)對稱軸為x=1，一個交點坐標為（?1，0）可得另一個與x軸的交點坐標為（3，0）因此3是方程ax2+bx+c=0的一個根，故此選項正確；
C、把x=1代入二次函數(shù)y=ax2+bx+c（ a≠0）中得：y=a+b+c，由圖象可得，y＞0，故此選項錯誤；
D、當x＜1時，y隨x的增大而增大，故此選項錯誤；
故選：B．
點評： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是從拋物線中的得到正確信息．
①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。�
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；IaI還可以決定開口大小，IaI越大開口就越小．
②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置．
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）
③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．
④拋物線與x軸交點個數(shù)．△=b2?4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2?4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2?4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
5．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列結論正確的是（ �。�
A． a＜0 B． b2?4ac＜0 C． 當?1＜x＜3時，y＞0 D． ?
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
專題： 壓軸題；存在型．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系對各選項進行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故本選項錯誤；
B、∵拋物線與x軸有兩個不同的交點，∴△=b2?4ac＞0，故本選項錯誤；
C、由函數(shù)圖象可知，當?1＜x＜3時，y＜0，故本選項錯誤；
D、∵拋物線與x軸的兩個交點分別是（?1，0），（3，0），∴對稱軸x=? = =1，故本選項正確．
故選D．
點評： 本題考查的是二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，能利用數(shù)形結合求解是解答此題的關鍵．
6．若正比例函數(shù)y=mx（m≠0），y隨x的增大而減小，則它和二次函數(shù)y=mx2+m的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
考點： 二次函數(shù)的圖象；正比例函數(shù)的圖象．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)正比例函數(shù)圖 象的性質(zhì)確定m＜0，則二次函數(shù)y=mx2+m的圖象開口方向向下，且與y軸交于負半軸．
解答： 解：∵正比例函數(shù)y=mx（m≠0），y隨x的增大而減小，
∴該正比例函數(shù)圖象經(jīng)過第二、四象限，且m＜0．
∴二次函數(shù)y=mx2+m的圖象開口方向向下，且與y軸交于負半軸．
綜上所述，符合題意的只有A選項．
故選A．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象、正比例函數(shù)圖象．利用正比例函數(shù)的性質(zhì)，推知m＜0是解題的突破口．
7．將拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位，所得拋物線為（ ）
A． y=3（x?2）2?1 B． y=3（x?2）2+1 C． y=3（x+2）2?1 D． y=3（x+2）2+1
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 先求出平移后的拋物線的頂點坐標，再利用頂點式寫出拋物線解析式即可．
解答： 解：拋物線y=3x2向左平移2個單位，再向下平移1個單位后的拋物線頂點坐標為（?2，?1），
所得拋物線為y=3（x+2）2?1．
故選C．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，求出平移后的拋物線的頂點坐標是解題的關鍵．
8．如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x=?1，且過點（?3，0）．下列說法：①abc＜0；②2a?b=0；③4a+2b+c＜0；④若（?5，y1），（ ，y2）是拋物線上兩點，則
y1＞y2．其中說法正確的是（ ）
A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)圖象得出a＞0，b=2a＞0，c＜0，即可判斷①②；把x=2代入拋物線的解析式即可判斷③，求出點（?5，y1）關于對稱軸的對稱點的坐標是（3，y1），根據(jù)當x＞?1時，y隨x的增大而增大即可判斷④．
解答： 解：∵二次函數(shù)的圖象的開口向上，
∴a＞0，
∵二次函數(shù)的圖象y軸的交點在y軸的負半軸上，
∴c＜0，
∵二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=?1，
∴? =?1，
∴b=2a＞0，
∴abc＜0，∴①正確；
2a?b=2a?2a=0，∴②正確；
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分，其對稱軸為x=?1，且過點（?3，0）．
∴與x軸的另一個交點的坐標是（1，0），
∴把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c＞0，∴③錯誤；
∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的對稱軸為x=?1，
∴點 （?5，y1）關于對稱軸的對稱點的坐標是（3，y 1），
根據(jù)當x＞?1時，y隨x的增大而增大，
∵ ＜3，
∴y2＜y1，∴④正確；
故選C．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系的應用，題目比較典型，主要考查學生的理解能力和辨析能力．
二．填空題（共8小題）
9．在平面直角坐標系中，把拋物線y=? x2+1向上平移3個單位，再向左平移1個單位，則所得拋物線的解析式是 y=? （x+1）2+4 ．
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析： 先求出原拋物線的頂點坐標，再根據(jù)向左平移橫坐標減，向上平移縱坐標加求出平移后的拋物線的頂點坐標，然后寫出拋物線解析式即可．
解答： 解：∵拋物線y=? x2+1的頂點坐標為（0，1），
∴向上平移3個單位，再向左平移1個單位后的拋物線的頂點坐標為（?1，4），
∴所得拋物線的解析式為y=? （x+1）2+4．
故答案為y=? （x+1）2+4．
點評： 本題主要考查的了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用頂點坐標的平移確定函數(shù)圖象的平移可以使求解更簡便，平移規(guī)律“左加右減，上加下減”．
10．已知y=（a+1）x2+ax是二次函數(shù)，那么a的取值范圍是 a≠?1 ．
考點： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義條件列出不等式求解即可．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義可得a+1≠0，
即a≠?1．
故a的取值范圍是a≠?1．
點評： 本題考查二次函數(shù)的定義．
11．把拋物線y=x2+4x+5改寫成y=（x+h）2+k的形式為 頂點式 ，其頂點坐標為�。�?h，k） ．
考點： 二次函數(shù)的三種形式．
專題： 數(shù)形結合．
分析： 從拋物線的一般式到頂點式 ，則頂點為相應為括號內(nèi)常數(shù)項的相反數(shù)為橫坐標，最后的常數(shù)項即為坐標的縱坐標．
解答： 解：由題意知頂點式體現(xiàn)頂點坐標，
所以填：頂點式，
由題意知：坐標為（?h，k）
故答案為頂點式，（?h，k）．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的頂點式，從拋物線的一般式開始，則頂點式即為括號內(nèi)橫坐標的相反數(shù)，縱坐標即為函數(shù)的常數(shù)項．
12．二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結論：
①2a+b＞0；②b＞a＞c；③若?1＜m＜n＜1，則m+n＜? ；④3|a|+|c|＜2|b|．
其中正確的結論是 ①③④�。▽懗瞿阏J為正確的所有結論序號）．
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 分別根據(jù)二次函數(shù)開口方向以及對稱軸位置和圖象與y軸交點得出a，b，c的符號，再利用特殊值法分析得出各選項．
解答： 解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∴2a＜0，
對稱軸x=? ＞1，?b＜2a，∴2a+b＞0，故選項①正確 ；
∵?b＜2a，∴b＞?2a＞0＞a，
令拋物線解析式為y=? x2+bx? ，
此時a=c，欲使拋物線與x軸交點的橫坐標分別為 和2，
則 =? ，
解得：b= ，
∴拋物線y=? x2+ x? ，符合“開口向下，與x軸的一個交點的橫坐標在0 與1之間，
對稱軸在直線x=1右側”的特點，而此時a=c，（其實a＞c，a＜c，a=c都有可能），
故②選項錯誤；
∵?1＜m＜n＜1，?2＜m+n＜2，
∴拋物線對稱軸為：x=? ＞1， ＞2，m+n ，故選項③正確；
當x=1時，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0，
∴3a+c＞?2b，∴?3a?c＜2b，
∵a＜0，b＞0，c＜0，
∴3|a|+|c|=?3a?c＜2b=2|b|，故④選項正確．
故答案為：①③④．
點評： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，利用特殊值法求出m+n的取值范圍是解題關鍵．
13．如圖，拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3）．若平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），點A的對應點為A′，則拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為 12�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： 根據(jù)平移的性質(zhì)得出四邊形APP′A′是平行四邊形，進而得出AD，PP′的長，求出面積即可．
解答： 解：連接AP，A′P′，過點A作AD⊥PP′于點D，
由題意可得出：AP∥A′P′，AP=A′P′，
∴四邊形APP′A′是平行四邊形，
∵拋物線的頂點為P（?2，2），與y軸交于點A（0，3），平移該拋物線使其頂點P沿直線移動到點P′（2，?2），
∴PO= =2 ，∠AOP=45°，
∴PP′= 2 ×2=4 ，
∴AD=DO= ×3= ，
∴拋物線上PA段掃過的區(qū)域（陰影部分）的面積為：4 × =12．
故答案為：12．
點評： 此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換以及平行四邊形面積求法和勾股定理等知識，根據(jù)已知得出AD，PP′是解題關鍵．
14．已知二次函數(shù)的y=ax2+bx+c（a≠0）圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＜m（am+b）（m≠1的實數(shù)），其中正確結論的番號有 ①③④�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系．
專題： 壓軸題．
分析： 由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點判斷c的符號，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷．
解答： 解：①由圖象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此選項正確；
②當x=?1時，y=a?b+c＜0，即b＞a+c，錯誤；
③由對稱知，當x=2時，函數(shù)值大于0，即y=4a+2b+c＞0，故此選項正確；
④當x=3時函數(shù)值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=? =1，
即a=? ，代入得9（? ）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此選項正確；
⑤當x=1時，y的值最大．此時，y=a+b+c，
而當x=m時，y=am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故此選項錯誤．
故①③④正確．
故答案為：①③④．
點評： 此題主要考查了圖象與二次函數(shù)系數(shù)之間的關系，二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸和拋物線與y軸的交點、拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．
三．解答題（共11小題）
15．已知 是x的二次函數(shù)，求出它的解析式．
考點： 二次函數(shù)的定義．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義可得：m2?2m?1=2，且m2?m≠0，
解得，m=3或m=?1；
當m=3時，y=6x2+9；
當m=?1時，y=2x2?4x+1；
綜上所述，該二次函數(shù)的解析式為：y=6x2+9或y=2x2?4x+1．
點評： 本題考查二次函數(shù)的定義．一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．
16．如果函數(shù)y=（m?3） +mx+1是二次函數(shù)，求m的值．
考點： 二次函數(shù)的定義．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的定義：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，即可答題．
解答： 解：根據(jù)二次函數(shù)的定義：m2?3m+2=2，且m?3≠0，
解得：m=0．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的定義，屬于基礎題，比較簡單，關鍵是對二次函數(shù)定義的掌握．
17．已知二次函數(shù)y= ．
（1）用配方法求出該函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸；
（2）在平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的大致圖象．
考點： 二次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的三種形式．
分析： （1）利用配方法求出二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標即可；
（2）把握拋物線與x軸，y軸的交點，頂點坐標，開口方向等畫出圖象即可．
解答： 解：（1）
y=
=? （x2?6x）?
=? （x2?6x+9?9）?
=? （x?3）2+2，
故頂點坐標為（3，2）和對稱軸為直線x=3；
（2）當y=0，則0=? （x?3 ）2+2，解得：x=1或x=5，則圖象與x軸的交點坐標為：（1，0），（5，0），
當x=0，則y=? ，則圖象與y軸的交點坐標為：（0，? ），如圖所示：
．
點評： 此題主要考查了配方法求二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標，此題是二次函數(shù)的基本性質(zhì)也是考查重點，同學們應熟練掌握．
18．已知
（1）把它配方成y=a（x?h）2+k形式，寫出它的開口方向、頂點M的坐標；
（2）作出函數(shù)圖象；（填表描出五個關鍵點）
（3）結合圖象回答：當x取何值，y＞0，y=0，y＜0．
考點： 二次函數(shù)的三種形式；二次函數(shù)的圖象．
分析： （1）根據(jù)配方法求出二次函 數(shù)的對稱軸、頂點坐標即可；
（2）由坐標軸上點的坐標特點求出函數(shù)圖象與坐標軸的交點以及（1）中拋物線的頂點坐標及與坐標軸的交點坐標描出各點，畫出函數(shù)圖象；
（3）根據(jù)（2）中函數(shù)圖象直接得出結論．
解答： 解：（1）∵y=? x2+2x+6=? （x2?4x）+6=? （x?2）2+8，
∴對稱軸是直線x=2，
拋物線的頂點坐標M為（2，8）；
（2）令x=0，則y=6；
令y=0，則x2+2x?3=0，
∴拋物線與坐標軸的交點是（0，6），（?2，0），（6，0）；
函數(shù)圖象如圖所示；
（3）由函數(shù)圖象可知，當?2＜x＜6時，y＞0；當x=?2或6時，y=0，
當?2＞x或x＞6時，y＜0．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象及二次函數(shù)與不等式，在解答此題時要注意利用數(shù)形結合求不等式的解集．
19．已知二次函數(shù)y=x2+bx+c中函數(shù)y與自變量x之間的部分對應值如下表所示，點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，當0＜x1＜1，2＜x2＜3時，則y1�。尽2（填“＞”或“＜”）．
x … 0 1 2 3 …
y … 1 ?2 ?3 ?2 …
考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
分析： 由二次函數(shù)圖象的對稱性知，圖表可以體現(xiàn)出二次函數(shù) y=ax2+bx+c的對稱軸和開口方向，然后由二次函數(shù)的單調(diào)性解答．
解答： 解：根據(jù)圖表知，
當x=1和x=3時，所對應的y值都是?2，∴拋物線的對稱軸是直線x=2，
又∵當x＞2時，y隨x的增大而增大；當x＜2時，y隨x的增大而減小，
∴該二次函數(shù)的圖象的開口方向是向上；
∵0＜x1＜1，2＜x2＜3，
0＜x1＜1關于對稱軸的對稱點在3和4之間，
當x＞2時，y隨x的增大而增大，
∴y1＞y2，
故答案是：y1＞y2．
點評： 本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能根據(jù)二次函數(shù)的對稱性判斷兩點的縱坐標的大小是解此題的關鍵．
15．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（?1，0）和B（3，0）兩點，交y軸于點E．
（1）求此拋物線的解析式．
（2）若直線y=x+1與拋物線交于A、D兩點，與y軸交于點F，連接DE，求△DEF的面積．
考點： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： （1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）首先求出直線與二次函數(shù)的交點坐標進而得出E，F(xiàn)點坐標，即可得出△DEF的面積．
解答： 解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（?1，0）和B（3，0）兩點，
∴ ，
解得： ，
故拋物線解析式為 ：y=x2?2x?3；
（2）根據(jù)題意得：
，
解得： ， ，
∴D（4，5），
對于直線y=x+1，當x=0時，y=1，∴F（0，1），
對于y=x2?2x?3，當x=0時，y=?3，∴E（0，?3），
∴EF=4，
過點D作DM⊥y軸于點M．
∴S△DEF= EF•DM=8．
點評： 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及三角形面積求法等知識，利用數(shù)形結合得出D，E，F(xiàn)點坐標是解題關鍵．
20．如圖，二次函數(shù)y=ax2?4x+c的圖象經(jīng)過坐標原點，與x軸交于點A（?4，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）在拋物線上存在點P，滿足S△AOP=8，請直接寫出點P的坐標．
考點： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．
分析： （1）把點A原點的坐標代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出點P到AO的距離，然后分點P在x軸的上方與下方兩種情況解答即可．
解答： 解：（1）由已知條件得 ，
解得 ，
所以，此二次函數(shù)的解析式為y=?x2?4x；
（2）∵點A的坐標為（?4，0），
∴AO=4，
設點P到x軸的距離為h，
則S△AOP= ×4h=8，
解得h=4，
①當點P在x軸上方時，?x2?4x=4，
解得x=?2，
所以，點P的坐標為（?2，4），
②當點P在x軸下方時，?x2?4x=? 4，
解得x1=?2+2 ，x2=?2?2 ，
所以，點P的坐標為（?2+2 ，?4）或（?2?2 ，?4），
綜上所述，點P的坐標是：（?2，4）、（?2+2 ，?4）、（?2?2 ，?4）．
點評： 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上的點的坐標特征，（2）要注意分點P在x軸的上 方與下方兩種情況討論求解．
21．在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，P是BC上的任意一點（P與B、C不重合），過點P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點E．
（1）連接AE，當△APE與△ADE全等時，求BP的長；
（2）若設BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關系式．當x取何值時，y的值最大？最大值是多少？
（3）若PE∥BD，試求出此時BP的長．
考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；一元二次方程的應用；二次函數(shù)的最值；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)．
專題： 代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．
分析： （1）根據(jù)全等三角形的對應邊相等知AP=AD=3；然后在Rt△ABP中利用勾股定理可以求得BP的長度；
（2）根據(jù)相似三角形Rt△ABP∽Rt△PCE的對應邊成比例列出關于x、y的方程，通過二次函數(shù)的最值的求法來求y的最大值；
（3）如圖，連接BD．利用（2）中的函數(shù)關系式設BP=x，則CE= ，然后根據(jù)相似三角形△CPE∽△CBD的對應邊成比例列出關于x的一元二次方程，通過解該方程即可求得此時BP的長度．
解答： 解：（1）∵△APE≌△ADE（已知），AD=3（已知），
∴AP=AD=3（全等三角形的對應邊相等 ）；
在Rt△ABP中，BP= = = （勾股定理）；
（2）∵AP⊥PE（已知），
∴∠APB+∠CPE=∠CPE+∠PEC=90°，
∴∠APB=∠PEC，
又∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABP∽Rt△PCE，
∴ 即 （相似三角形的對應邊成比例），
∴ =
∴當x= 時，y有最大值，最大值是 ；
（3）如圖，連接BD．設BP=x，
∵PE∥BD，
∴△CPE∽△CBD，
∴ （相似三角形的對應邊成比例），
即
化簡得，3x2?13x+12=0
解得，x1= ，x2=3（不合題意，舍去），
∴當BP= 時，PE∥BD．
點評： 本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、二次函數(shù)的最值等知識點．本題中求二次函數(shù)的最值時，采用了配方法．
22．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點P從點A出發(fā)沿AB方向向點B運動，速度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿B→C→A方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時，另一個運動點也隨之停止運動．
（1）求AC、BC的長；
（2）設點P的運動時間為x（秒），△PBQ的面積為y（cm2），當△PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當點Q在C A上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC是否相似，請說明理由；
（4）當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點M，使△BCM得周長最��？若存在，求出最小周長；若不存在，請說明理由．
考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；勾股定理．
專題： 壓軸題；動點型．
分析： （1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，設AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的長；
（2）分別從當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H與當點Q在邊CA上運動時，過點Q作QH′⊥AB于H′去分析，首先過點Q作AB的垂線，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得△PBQ的底與高，則可求得y與x的函數(shù)關系式；
（3）由PQ⊥AB，可得△APQ∽△ACB，由相似三角形的對應邊成比例，求得△PBQ各邊的長，根據(jù)相似三角形的判定，即可得以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似；
（4）由x=5秒，求得AQ與AP的長，可得PQ是△ABC的中位線，即可得PQ是AC的垂直平分線，可得當M與P重合時△BCM得周長最小，則可求得最小周長的值．
解答： 解：（1）設AC=4ycm，BC=3ycm，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即：（4y）2+（3y）2=102，
解得：y=2，
∴AC=8cm，BC=6cm；
（2）①當點Q在邊BC上運動時，過點Q作QH⊥AB于H，
∵AP=xcm，
∴BP=（10?x）cm，BQ=2xcm，
∵△QHB∽△ACB，
∴ ，
∴QH= xcm，
y= BP•QH= （10?x）• x=? x2+8x（0＜x≤3），
②當點Q在邊CA上運動時，過點Q作QH′⊥AB于H′，
∵AP=xcm，
∴BP=（10?x）cm，AQ=（14?2x）cm，
∵△AQH′∽△ABC，
∴ ，
即： = ，
解得：QH′= （14?2x）cm，
∴y= PB•QH′= （10?x）• （14?2x）= x2? x+42（3＜x＜7）；
∴y與x的函數(shù)關系式為：y= ；
（3）∵AP=xcm，AQ=（14?2x）cm，
∵PQ⊥AB，
∴△APQ∽△ACB，
∴ = ，
即： = ，
解得：x= ，PQ= ，
∴PB=10?x= cm，
∴ = = ≠ ，
∴當點Q在CA上運動，使PQ⊥AB時，以點B、P、Q為定點的三角形與△ABC不相似；
（4）存在．
理由：∵AQ=14?2x=14?10=4cm，AP=x=5cm，
∵AC=8cm，AB=10cm，
∴PQ是△ABC的中位線，
∴PQ∥BC，
∴PQ⊥AC，
∴PQ是AC的垂直平分線，
∴PC=AP=5cm，
∵AP=CP，
∴AP+BP=AB，
∴AM+BM=AB，
∴當點M與P重合時，△BCM的周長最小，
∴△BCM的周長為：MB+BC+MC=PB+BC+PC=5+6+5=16cm．
∴△BCM的周長最小值為16cm．
點評： 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及最短距離問題．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結合思想的應用．
23．如圖，拋物線y=x2+bx+c過點A（?4，?3），與y軸交于點B，對稱軸是x=?3，請解答下列問題：
（1）求拋物線的解析式．
（2 ）若 和x軸平行的直線與拋物線交于C，D兩點，點C在對稱軸左側，且CD=8，求△BCD的面積．
注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是x=? ．
考點： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： （1）把點A（?4，?3）代入y=x2+bx+c得16?4b+c=?3，根據(jù)對稱軸是x=?3，求出b=6，即可得出答案，
（2）根據(jù)CD∥x軸，得出點C與點D關于x=?3對稱，根據(jù)點C在對稱軸左側，且CD=8，求出點C的橫坐標和縱坐標，再根據(jù)點B的坐標為（0，5），求出△BCD中CD邊上的高，即可求出△BCD的面積．
解答： 解：（1）把點A（?4，?3）代入y=x2+bx+ c得：
16?4b+c=?3，
c?4b=?19，
∵對稱軸是x=?3，
∴? =?3，
∴b=6，
∴c=5，
∴拋物線的解析式是y=x2+6x+5；
（2）∵CD∥x軸，
∴點C與點D關于x=?3對稱，
∵點C在對稱軸左側，且CD=8，
∴點C的橫坐標為?7，
∴點C的縱坐標為（?7）2+6×（?7）+5=12，
∵點B的坐標為（0，5），
∴△BCD中CD邊上的高為12?5=7，
∴△BCD的面積= ×8×7=28．
點評： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，用到的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想 的應用．
2．如圖①，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，3），B（3，0），C（4，3）．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）求拋物線的頂點坐標和對稱軸；
（3）把拋 物線向上平移，使得頂點落在x軸上，直接寫出兩條拋物線、對稱軸和y軸圍成的圖形的面積S（圖②中陰影部分）．
考點： 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 壓軸題．
分析： （1）把點A、B、C代入拋物線解析式y(tǒng)=ax2+bx+c利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）把拋物線解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標與對稱軸即可；
（3）根據(jù)頂點坐標求出向上平移的距離，再根據(jù)陰影部分的面積等于平行四邊形的面積，列式進行計算即可得解．
解答： 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴ ，
解得 ，
所以拋物線的函數(shù)表達式為y=x2?4x+3 ；
（2）∵y=x2?4x+3=（x?2）2?1，
∴拋物線的頂點坐標為（2，?1），對稱軸為直線x=2；
（3）如圖，∵拋物線的頂點坐標為（2，?1），
∴PP′=1，
陰影部分的面積等于平行四邊形A′APP′的面積，
平行四邊形A′APP′的面積=1×2=2，
∴陰影部分的面積=2．
點評： 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，（3）根據(jù)平移的性質(zhì)，把陰影部分的面積轉化為平行四邊形的面積是解題的關鍵．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chusan/300282.html
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