一．填空題（共21小題）
1．（2015•常州）二次函數(shù)y=?x2+2x?3圖象的頂點坐標(biāo)是 ．
2．（2015•漳州）已知二次函數(shù)y=（x?2）2+3，當(dāng)x 時，y隨x的增大而減�。�
3．（2015•杭州）函數(shù)y=x2+2x+1，當(dāng)y=0時，x= ��；當(dāng)1＜x＜2時，y隨x的增大而 �。ㄌ顚憽霸龃蟆被颉皽p小”）．
4．（2015•天水）下列函數(shù)（其中n為常數(shù)，且n＞1）
①y= （x＞0）；②y=（n?1）x；③y= （x＞0）；④y=（1?n）x+1；⑤y=?x2+2nx（x＜0）中，y的值隨x的值增大而增大的函數(shù)有 個．
5．（2015•淄博）對于兩個二次函數(shù)y1，y2，滿足y1+y2=2x2+2 x+8．當(dāng)x=m時，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，且二次函數(shù)y2有最小值3．請寫出兩個符合題意的二次函數(shù)y2的解析式 �。ㄒ螅簩懗龅慕馕鍪降膶ΨQ軸不能相同）．
6．（2015•十堰）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過點（?1，0）和（m，0），且1＜m＜2，當(dāng)x＜?1時，y隨著x的增大而減�。铝薪Y(jié)論：①abc＞0；②a+b＞0；③若點A（?3，y1），點B（3，y2）都在拋物線上，則y1＜y2；④a（m?1）+b=0；⑤若c≤?1，則b2?4ac≤4a．其中結(jié)論錯誤的是 �。ㄖ惶顚懶蛱枺�
7．（2015•烏魯木齊）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=?1．且過點（ ，0），有下列結(jié)論：①abc＞0；②a?2b+4c=0；③25a?10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a?b≥m（am?b）；其中所有正確的結(jié)論是 �。ㄌ顚懻_結(jié)論的序號）
8．（2015•長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在拋物線y=x2?2x+2上運動．過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結(jié)BD，則對角線BD的最小值為 �。�
9．（2015•河南）已知點A（4，y1），B（ ，y2），C（?2，y3）都在二次函數(shù)y=（x?2）2?1的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是 �。�
10．（2015•樂山）在直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′= ，則稱點Q為點P的“可控變點”．
例如：點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點（?1，3）的“可控變點”為點（?1，?3）．
（1）若點（?1，?2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的“可控變點”，則點M的坐標(biāo)為 �。�
（2）若點P在函數(shù)y=?x2+16（?5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是?16≤y′≤16，則實數(shù)a的取值范圍是 �。�
11．（2015•宿遷）當(dāng)x=m或x=n（m≠n）時，代數(shù)式x2?2x+3的值相等，則x=m+n時，代數(shù)式x2?2x+3的值為 �。�
12．（2015•龍巖）拋物線y=2x2?4x+3繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)180°所得的拋物線的解析式是 �。�
13．（2015•湖州）如圖，已知拋物線C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都經(jīng)過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一交點分別為M，N，如果點A與點B，點M與點N都關(guān)于原點O成中心對稱，則稱拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是 和 �。�
14．（2015•綏化）把二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為 �。�
15．（2015•岳陽）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標(biāo)為?2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y=a1x2+b1x+c1，則下列結(jié)論正確的是 �。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）
①b＞0
②a?b+c＜0
③陰影部分的面積為4
④若c=?1，則b2=4a．
16．（2015•莆田）用一根長為32cm的鐵絲圍成一個矩形，則圍成矩形面積的最大值是 cm2．
17．（2015•資陽）已知拋物線p：y=ax2+bx+c的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），點C關(guān)于x軸的對稱點為C′，我們稱以A為頂點且過點C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線．若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y=x2+2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為 �。�
18．（2015•營口）某服裝店購進單價為15元童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價為25元時平均每天能售出8件，而當(dāng)銷售價每降低2元，平均每天能多售出4件，當(dāng)每件的定價為 元時，該服裝店平均每天的銷售利潤最大．
19．（2015•溫州）某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體（不包括門）總長為27m，則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為 m2．
20．（2015•湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點D．
（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點O，且a=? ．
①求點D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數(shù)是4個，請直接寫出a的取值范圍．
21．（2015•衢州）如圖，已知直線y=? x+3分別交x軸、y軸于點A、B，P是拋物線y=? x2+2x+5的一個動點，其橫坐標(biāo)為a，過點P且平行于y軸的直線交直線y=? x+3于點Q，則當(dāng)PQ=BQ時，a的值是 �。�
2015中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：二次函數(shù)（填空題）
參考答案與試題解析
一．填空題（共21小題）
1．（2015•常州）二次函數(shù)y=?x2+2x?3圖象的頂點坐標(biāo)是�。�1，?2）�。�
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 此題既可以利用y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)公式求得頂點坐標(biāo)，也可以利用配方法求出其頂點的坐標(biāo)．
解答： 解：∵y=?x2+2x?3
=?（x2?2x+1）?2
=?（x?1）2?2，
故頂點的坐標(biāo)是（1，?2）．
故答案為（1，?2）．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求拋物線的頂點坐標(biāo)有兩種方法①公式法，②配方法．
2．（2015•漳州）已知二次函數(shù)y=（x?2）2+3，當(dāng)x�。�2 時，y隨x的增大而減�。�
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，找到解析式中的a為1和對稱軸；由a的值可判斷出開口方向，在對稱軸的兩側(cè)可以討論函數(shù)的增減性．
解答： 解：在y=（x?2）2+3中，a=1，
∵a＞0，
∴開口向上，
由于函數(shù)的對稱軸為x=2，
當(dāng)x＜2時，y的值隨著x的值增大而減��；
當(dāng)x＞2時，y的值隨著x的值增大而增大．
故答案為：＜2．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，找到的a的值和對稱軸，對稱軸方程是解題的關(guān)鍵．
3．（2015•杭州）函數(shù)y=x2+2x+1，當(dāng)y=0時，x= ?1��；當(dāng)1＜x＜2時，y隨x的增大而 增大�。ㄌ顚憽霸龃蟆被颉皽p小”）．
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 將y=0代入y=x2+2x+1，求得x的值即可，根據(jù)函數(shù)開口向上，當(dāng)x＞?1時，y隨x的增大而增大．
解答： 解：把y=0代入y=x2+2x+1，
得x2+2x+1=0，
解得x=?1，
當(dāng)x＞?1時，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)1＜x＜2時，y隨x的增大而增大；
故答案為?1，增大．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，重點掌握對稱軸兩側(cè)的增減性問題，解此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想．
4．（2015•天水）下列函數(shù)（其中n為常數(shù)，且n＞1）
①y= （x＞0）；②y=（n?1）x；③y= （x＞0）；④y=（1?n）x+1；⑤y=?x2+2nx（x＜0）中，y的值隨x的值增大而增大的函數(shù)有 3 個．
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的性質(zhì)；反比例函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 分別根據(jù)正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)進行分析即可．
解答： 解：①y= （x＞0），n＞1，y的值隨x的值增大而減��；
②y=（n?1）x，n＞1，y的值隨x的值增大而增大；
③y= （x＞0）n＞1，y的值隨x的值增大而增大；
④y=（1?n）x+1，n＞1，y的值隨x的值增大而減��；
⑤y=?x2+2nx（x＜0）中，n＞1，y的值隨x的值增大而增大；
y的值隨x的值增大而增大的函數(shù)有3個，
故答案為：3．
點評： 此題主要考查了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)y=kx（k≠0），k＞0時，y的值隨x的值增大而增大；一次函數(shù)的性質(zhì)：
k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降；二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）當(dāng)a＜0時，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜? 時，y隨x的增大而增大；反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．
5．（2015•淄博）對于兩個二次函數(shù)y1，y2，滿足y1+y2=2x2+2 x+8．當(dāng)x=m時，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，且二次函數(shù)y2有最小值3．請寫出兩個符合題意的二次函數(shù)y2的解析式 y2=x2+3，y2=（x+ ）2+3�。ㄒ螅簩懗龅慕馕鍪降膶ΨQ軸不能相同）．
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 開放型．
分析： 已知當(dāng)x=m時，二次函數(shù)y1的函數(shù)值為5，且二次函數(shù)y2有最小值3，故拋物線的頂點坐標(biāo)為（m，3），設(shè)出頂點式求解即可．
解答： 解：答案不唯一，
例如：y2=x2+3，
y2=（x+ ）2+3．
故答案為：y2=x2+3，y2=（x+ ）2+3．
點評： 考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標(biāo)是（? ， ）．
6．（2015•十堰）拋物線y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，且a≠0）經(jīng)過點（?1，0）和（m，0），且1＜m＜2，當(dāng)x＜?1時，y隨著x的增大而減�。铝薪Y(jié)論：①abc＞0；②a+b＞0；③若點A（?3，y1），點B（3，y2）都在拋物線上，則y1＜y2；④a（m?1）+b=0；⑤若c≤?1，則b2?4ac≤4a．其中結(jié)論錯誤的是�、邰荨。ㄖ惶顚懶蛱枺�
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
專題： 數(shù)形結(jié)合．
分析： 根據(jù)題意畫出拋物線的大致圖象，利用函數(shù)圖象，由拋物線開口方向得a＞0，由拋物線的對稱軸位置得b＜0，由拋物線與y軸的交點位置得c＜0，于是可對①進行判斷；由于拋物線過點（?1，0）和（m，0），且1＜m＜2，根據(jù)拋物線的對稱性和對稱軸方程得到0＜? ＜ ，變形可得a+b＞0，則可對②進行判斷；利用點A（?3，y1）和點B（3，y2）到對稱軸的距離的大小可對③進行判斷；根據(jù)拋物線上點的坐標(biāo)特征得a?b+c=0，am2+bm+c=0，兩式相減得am2?a+bm+b=0，然后把等式左邊分解后即可得到a（m?1）+b=0，則可對④進行判斷；根據(jù)頂點的縱坐標(biāo)公式和拋物線對稱軸的位置得到 ＜c≤?1，變形得到b2?4ac＞4a，則可對⑤進行判斷．
解答： 解：如圖，
∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，
∴b＜0，
∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，
∴c＜0，
∴abc＞0，所以①的結(jié)論正確；
∵拋物線過點（?1，0）和（m，0），且1＜m＜2，
∴0＜? ＜ ，
∴a+b＞0，所以②的結(jié)論正確；
∵點A（?3，y1）到對稱軸的距離比點B（3，y2）到對稱軸的距離遠，
∴y1＞y2，所以③的結(jié)論錯誤；
∵拋物線過點（?1，0），（m，0），
∴a?b+c=0，am2+bm+c=0，
∴am2?a+bm+b=0，
a（m+1）（m?1）+b（m+1）=0，
∴a（m?1）+b=0，所以④的結(jié)論正確；
∵ ＜c，
而c≤?1，
∴ ＜?1，
∴b2?4ac＞4a，所以⑤的結(jié)論錯誤．
故答案為③⑤．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小，當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）．拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2?4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2?4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2?4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
7．（2015•烏魯木齊）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=?1．且過點（ ，0），有下列結(jié)論：①abc＞0；②a?2b+4c=0；③25a?10b+4c=0；④3b+2c＞0；⑤a?b≥m（am?b）；其中所有正確的結(jié)論是�、佗邰荨。ㄌ顚懻_結(jié)論的序號）
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與y軸的交點判定系數(shù)符號，及運用一些特殊點解答問題．
解答： 解：由拋物線的開口向下可得：a＜0，
根據(jù)拋物線的對稱軸在y軸左邊可得：a，b同號，所以b＜0，
根據(jù)拋物線與y軸的交點在正半軸可得：c＞0，
∴abc＞0，故①正確；
直線x=?1是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸，所以? =?1，可得b=2a，
a?2b+4c=a?4a+2=?3a+4c，
∵a＜0，
∴?3a＞0，
∴?3a+4c＞0，
即a?2b+4c＞0，故②錯誤；
∵拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=?1．且過點（ ，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點坐標(biāo)為（ ，0），
當(dāng)x=? 時，y=0，即 ，
整理得：25a?10b+4c=0，故③正確；
∵b=2a，a+b+c＜0，
∴ ，
即3b+2c＜0，故④錯誤；
∵x=?1時，函數(shù)值最大，
∴a?b+c＞m2a?mb+c（m≠1），
∴a?b＞m（am?b），所以⑤正確；
故答案為：①③⑤．
點評： 本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、靈活運用數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵，解答時，要熟練運用拋物線的對稱性和拋物線上的點的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式．
8．（2015•長春）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A在拋物線y=x2?2x+2上運動．過點A作AC⊥x軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結(jié)BD，則對角線BD的最小值為 1�。�
考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；垂線段最短；矩形的性質(zhì)．
專題： 計算題．
分析： 先利用配方法得到拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，1），再根據(jù)矩形的性質(zhì)得BD=AC，由于AC的長等于點A的縱坐標(biāo)，所以當(dāng)點A在拋物線的頂點時，點A到x軸的距離最小，最小值為1，從而得到BD的最小值．
解答： 解：∵y=x2?2x+2=（x?1）2+1，
∴拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，1），
∵四邊形ABCD為矩形，
∴BD=AC，
而AC⊥x軸，
∴AC的長等于點A的縱坐標(biāo)，
當(dāng)點A在拋物線的頂點時，點A到x軸的距離最小，最小值為1，
∴對角線BD的最小值為1．
故答案為1．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了矩形的性質(zhì)．
9．（2015•河南）已知點A（4，y1），B（ ，y2），C（?2，y3）都在二次函數(shù)y=（x?2）2?1的圖象上，則y1、y2、y3的大小關(guān)系是 y3＞y1＞y2�。�
考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
分析： 分別計算出自變量為4， 和?2時的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值得大小即可．
解答： 解：把A（4，y1），B（ ，y2），C（?2，y3）分別代入y=（x?2）2?1得：
y1=（x?2）2?1=3，y2=（x?2）2?1=5?4 ，y3=（x?2）2?1=15，
∵5?4 ＜3＜15，
所以y3＞y1＞y2．
故答案為y3＞y1＞y2．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：明確二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式．
10．（2015•樂山）在直角坐標(biāo)系xOy中，對于點P（x，y）和Q（x，y′），給出如下定義：若y′= ，則稱點Q為點P的“可控變點”．
例如：點（1，2）的“可控變點”為點（1，2），點（?1，3）的“可控變點”為點（?1，?3）．
（1）若點（?1，?2）是一次函數(shù)y=x+3圖象上點M的“可控變點”，則點M的坐標(biāo)為 （?1，2）�。�
（2）若點P在函數(shù)y=?x2+16（?5≤x≤a）的圖象上，其“可控變點”Q的縱坐標(biāo)y′的取值范圍是?16≤y′≤16，則實數(shù)a的取值范圍是 0≤a≤4 �。�
考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
專題： 新定義．
分析： （1）直接根據(jù)“可控變點”的定義直接得出答案；
（2）根據(jù)題意可知y=?x2+16圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)y= 的圖象上，結(jié)合圖象即可得到答案．
解答： 解：（1）根據(jù)“可控變點”的定義可知點M的坐標(biāo)為（?1，2）；
（2）依題意，y=?x2+16圖象上的點P的“可控變點”必在函數(shù)y= 的圖象上．
∵?16≤y′≤16，
當(dāng)y′=16時，16=?x2+16或?16=?x2+16．
∴x=0或x=4 ．
當(dāng)y′=?16時，?16=?x2+16．
∴x=4 ．
∴a的取值范圍是0≤a≤4 ．
故答案為（?1，2），0≤a≤4 ．
點評： 本題主要考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握新定義“可控變點”，解答此題還需要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，此題有一定的難度．
11．（2015•宿遷）當(dāng)x=m或x=n（m≠n）時，代數(shù)式x2?2x+3的值相等，則x=m+n時，代數(shù)式x2?2x+3的值為 3�。�
考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
分析： 設(shè)y=x2?2x+3由當(dāng)x=m或x=n（m≠n）時，代數(shù)式x2?2x+3的值相等，得到拋物線的對稱軸等于 =? ，求得m+n=2，再把m+n=2代入即可求得結(jié)果．
解答： 解：設(shè)y=x2?2x+3，
∵當(dāng)x=m或x=n（m≠n）時，代數(shù)式x2?2x+3的值相等，
∴ =? ，
∴m+n=2，
∴當(dāng)x=m+n時，
即x=2時，x2?2x+3=（2）2?2×（2）+3=3，
故答案為：3．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟記拋物線的對稱軸公式是解題的關(guān)鍵．
12．（2015•龍巖）拋物線y=2x2?4x+3繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)180°所得的拋物線的解析式是 y=?2x2?4x?3�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析： 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得a的絕對值不變，根據(jù)中心對稱，可得答案．
解答： 解：將y=2x2?4x+3化為頂點式，得y=2（x?1）2+1，
拋物線y=2x2?4x+3繞坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)180°所得的拋物線的解析式是y=?2（x+1）2?1，
化為一般式，得
y=?2x2?4x?3，
故答案為：y=?2x2?4x?3．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，利用了中心對稱的性質(zhì)．
13．（2015•湖州）如圖，已知拋物線C1：y=a1x2+b1x+c1和C2：y=a2x2+b2x+c2都經(jīng)過原點，頂點分別為A，B，與x軸的另一交點分別為M，N，如果點A與點B，點M與點N都關(guān)于原點O成中心對稱，則稱拋物線C1和C2為姐妹拋物線，請你寫出一對姐妹拋物線C1和C2，使四邊形ANBM恰好是矩形，你所寫的一對拋物線解析式是 y=? x2+2 x 和 y= x2+2 x�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 新定義．
分析： 連接AB，根據(jù)姐妹拋物線的二次項的系數(shù)互為相反數(shù)，一次項系數(shù)相等且不等于零，常數(shù)項都是零，設(shè)拋物線C1的解析式為y=ax2+bx，
根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得△AOM是等邊三角形，設(shè)OM=2，則點A的坐標(biāo)是（1， ），求出拋物線C1的解析式，從而求出拋物線C2的解析式．
解答： 解：連接AB，
根據(jù)姐妹拋物線的定義，可得姐妹拋物線的二次項的系數(shù)互為相反數(shù)，一次項系數(shù)相等且不等于零，常數(shù)項都是零，
設(shè)拋物線C1的解析式為y=ax2+bx，
根據(jù)四邊形ANBM恰好是矩形可得：OA=OM，
∵OA=MA，
∴△AOM是等邊三角形，
設(shè)OM=2，則點A的坐標(biāo)是（1， ），
則 ，
解得：
則拋物線C1的解析式為y=? x2+2 x，
拋物線C2的解析式為y= x2+2 x，
故答案為：y=? x2+2 x，y= x2+2 x．
點評： 此題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，用到的知識點是姐妹拋物線的定義、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、矩形的判定，關(guān)鍵是根據(jù)姐妹拋物線的定義得出姐妹拋物線的二次項的系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項之間的關(guān)系．
14．（2015•綏化）把二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度，平移后拋物線的解析式為 y=2（x+1）2?2�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析： 直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答．
解答： 解：由“左加右減”的原則可知，將二次函數(shù)y=2x2的圖象向左平移1個單位長度所得拋物線的解析式為：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下減”的原則可知，將拋物線y=2（x+1）2向下平移2個單位長度所得拋物線的解析式為：y=2（x+1）2?2，即y=2（x+1）2?2．
故答案為：y=2（x+1）2?2．
點評： 本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．
15．（2015•岳陽）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，頂點C的縱坐標(biāo)為?2，現(xiàn)將拋物線向右平移2個單位，得到拋物線y=a1x2+b1x+c1，則下列結(jié)論正確的是�、邰堋。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）
①b＞0
②a?b+c＜0
③陰影部分的面積為4
④若c=?1，則b2=4a．
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換；二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： ①首先根據(jù)拋物線開口向上，可得a＞0；然后根據(jù)對稱軸為x=? ＞0，可得b＜0，據(jù)此判斷即可．
②根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖象，可得x=?1時，y＞0，即a?b+c＞0，據(jù)此判斷即可．
③首先判斷出陰影部分是一個平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的面積=底×高，求出陰影部分的面積是多少即可．
④根據(jù)函數(shù)的最小值是 ，判斷出c=?1時，a、b的關(guān)系即可．
解答： 解：∵拋物線開口向上，
∴a＞0，
又∵對稱軸為x=? ＞0，
∴b＜0，
∴結(jié)論①不正確；
∵x=?1時，y＞0，
∴a?b+c＞0，
∴結(jié)論②不正確；
∵拋物線向右平移了2個單位，
∴平行四邊形的底是2，
∵函數(shù)y=ax2+bx+c的最小值是y=?2，
∴平行四邊形的高是2，
∴陰影部分的面積是：2×2=4，
∴結(jié)論③正確；
∵ ，c=?1，
∴b2=4a，
∴結(jié)論④正確．
綜上，結(jié)論正確的是：③④．
故答案為：③④．
點評： （1）此題主要考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要熟練掌握，解答此類問題的關(guān)鍵是要明確：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．
（2）此題還考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大�。寒�(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點． 拋物線與y軸交于（0，c）．
16．（2015•莆田）用一根長為32cm的鐵絲圍成一個矩形，則圍成矩形面積的最大值是 64 cm2．
考點： 二次函數(shù)的最值．
分析： 設(shè)矩形的一邊長是xcm，則鄰邊的長是（16?x）cm，則矩形的面積S即可表示成x的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
解答： 解：設(shè)矩形的一邊長是xcm，則鄰邊的長是（16?x）cm．
則矩形的面積S=x（16?x），即S=?x2+16x，
當(dāng)x=? =? =8時，S有最大值是：64．
故答案是：64．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求最值得問題常用的思路是轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用函數(shù)的性質(zhì)求解．
17．（2015•資陽）已知拋物線p：y=ax2+bx+c的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B左側(cè)），點C關(guān)于x軸的對稱點為C′，我們稱以A為頂點且過點C′，對稱軸與y軸平行的拋物線為拋物線p的“夢之星”拋物線，直線AC′為拋物線p的“夢之星”直線．若一條拋物線的“夢之星”拋物線和“夢之星”直線分別是y=x2+2x+1和y=2x+2，則這條拋物線的解析式為 y=x2?2x?3�。�
考點： 拋物線與x軸的交點；二次函數(shù)的性質(zhì)．
專題： 新定義．
分析： 先求出y=x2+2x+1和y=2x+2的交點C′的坐標(biāo)為（1，4），再求出“夢之星”拋物線y=x2+2x+1的頂點A坐標(biāo)（?1，0），接著利用點C和點C′關(guān)于x軸對稱得到C（1，?4），則可設(shè)頂點式y(tǒng)=a（x?1）2?4，
然后把A點坐標(biāo)代入求出a的值即可得到原拋物線解析式．
解答： 解：∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴A點坐標(biāo)為（?1，0），
解方程組 得 或 ，
∴點C′的坐標(biāo)為（1，4），
∵點C和點C′關(guān)于x軸對稱，
∴C（1，?4），
設(shè)原拋物線解析式為y=a（x?1）2?4，
把A（?1，0）代入得4a?4=0，解得a=1，
∴原拋物線解析式為y=（x?1）2?4=x2?2x?3．
故答案為y=x2?2x?3．
點評： 本題考查了二次函數(shù)與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標(biāo)，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標(biāo)．△=b2?4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)，△=b2?4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2?4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2?4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．
18．（2015•營口）某服裝店購進單價為15元童裝若干件，銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售價為25元時平均每天能售出8件，而當(dāng)銷售價每降低2元，平均每天能多售出4件，當(dāng)每件的定價為 22 元時，該服裝店平均每天的銷售利潤最大．
考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： 根據(jù)“利潤=（售價?成本）×銷售量”列出每天的銷售利潤y（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；把二次函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為頂點式方程，利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)進行解答．
解答： 解：設(shè)定價為x元，
根據(jù)題意得：y=（x?15）[8+2（25?x）]
=?2x2+88x?870
∴y=?2x2+88x?870，
=?2（x?22）2+98
∵a=?2＜0，
∴拋物線開口向下，
∴當(dāng)x=22時，y最大值=98．
故答案為：22．
點評： 此題題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用，為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題，解決本題的關(guān)鍵是二次函數(shù)圖象的性質(zhì)．
19．（2015•溫州）某農(nóng)場擬建兩間矩形飼養(yǎng)室，一面靠現(xiàn)有墻（墻足夠長），中間用一道墻隔開，并在如圖所示的三處各留1m寬的門．已知計劃中的材料可建墻體（不包括門）總長為27m，則能建成的飼養(yǎng)室面積最大為 75 m2．
考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析： 設(shè)垂直于墻的材料長為x米，則平行于墻的材料長為27+3?3x=30?3x，表示出總面積S=x（30?3x）=?3x2+30x=?3（x?5）2+75即可求得面積的最值．
解答： 解：設(shè)垂直于墻的材料長為x米，
則平行于墻的材料長為27+3?3x=30?3x，
則總面積S=x（30?3x）=?3x2+30x=?3（x?5）2+75，
故飼養(yǎng)室的最大面積為75平方米，
故答案為：75．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中抽象出函數(shù)模型，難度不大．
20．（2015•湖州）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，線段AB的兩個端點A（0，2），B（1，0）分別在y軸和x軸的正半軸上，點C為線段AB的中點，現(xiàn)將線段BA繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點D．
（1）如圖1，若該拋物線經(jīng)過原點O，且a=? ．
①求點D的坐標(biāo)及該拋物線的解析式；
②連結(jié)CD，問：在拋物線上是否存在點P，使得∠POB與∠BCD互余？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（2）如圖2，若該拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過點E（1，1），點Q在拋物線上，且滿足∠QOB與∠BCD互余．若符合條件的Q點的個數(shù)是4個，請直接寫出a的取值范圍．
考點： 二次函數(shù)綜合題．
分析： （1）①過點D作DF⊥x軸于點F，先通過三角形全等求得D的坐標(biāo)，把D的坐標(biāo)和a=? ，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得拋物線的解析式；
②先證得CD∥x軸，進而求得要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，設(shè)P的坐標(biāo)為（x，? x2+ x），分兩種情況討論即可求得；
（2）若符合條件的Q點的個數(shù)是4個，則當(dāng)a＜0時，拋物線交于y軸的負(fù)半軸，當(dāng)a＞0時，最小值得＜?1，解不等式即可求得．
解答： 解：（1）①過點D作DF⊥x軸于點F，如圖1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐標(biāo)是（3，1），
根據(jù)題意，得a=? ，c=0，且a×32+b×3+c=1，
∴b= ，
∴該拋物線的解析式為y=? x2+ x；
②∵點A（0，2），B（1，0），點C為線段AB的中點，
∴C（ ，1），
∵C、D兩點的縱坐標(biāo)都為1，
∴CD∥x軸，
∴∠BCD=∠ABO，
∴∠BAO與∠BCD互余，
要使得∠POB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，
設(shè)P的坐標(biāo)為（x，? x2+ x），
（Ⅰ）當(dāng)P在x軸的上方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖2，
則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，
∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，
∴? x2+ x= ，
∴P點的坐標(biāo)為（ ， ）；
（Ⅱ）當(dāng)P在x軸的上方時，過P作PG⊥x軸于點G，如圖3
則tan∠POB=tan∠BAO，即 = ，
∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= ，
∴? x2+ x=? ，
∴P點的坐標(biāo)為（ ，? ）；
綜上，在拋物線上是否存在點P（ ， ）或（ ，? ），使得∠POB與∠BCD互余．
（2）如圖3，∵D（3，1），E（1，1），
拋物線y=ax2+bx+c過點E、D，代入可得 ，解得 ，所以y=ax2?4ax+3a+1．
分兩種情況：
①當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向下時，若滿足∠QOB與∠BCD互余且符合條件的Q點的個數(shù)是4個，則點Q在x軸的上、下方各有兩個．
（i）當(dāng)點Q在x軸的下方時，直線OQ與拋物線有兩個交點，滿足條件的Q有2個；
（ii）當(dāng)點Q在x軸的上方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點必須在x軸的正半軸上，與y軸的交點在y軸的負(fù)半軸，所以3a+1＜0，解得a＜? ；
②當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c開口向上時，點Q在x軸的上、下方各有兩個，
（i）當(dāng)點Q在x軸的上方時，直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q有兩個；
（ii）當(dāng)點Q在x軸的下方時，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，符合條件的點Q才兩個．
根據(jù)（2）可知，要使得∠QOB與∠BCD互余，則必須∠POB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO= = ，此時直線OQ的斜率為? ，則直線OQ的解析式為y=? x，要使直線OQ與拋物線y=ax2+bx+c有兩個交點，所以方程ax2?4ax+3a+1=? x有兩個不相等的實數(shù)根，所以△=（?4a+ ）2?4a（3a+1）＞0，即4a2?8a+ ＞0，解得a＞ （a＜ 舍去）
綜上所示，a的取值范圍為a＜? 或a＞ ．
點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，正切函數(shù)，最小值等，分類討論的思想是本題的關(guān)鍵．
21．（2015•衢州）如圖，已知直線y=? x+3分別交x軸、y軸于點A、B，P是拋物線y=? x2+2x+5的一個動點，其橫坐標(biāo)為a，過點P且平行于y軸的直線交直線y=? x+3于點Q，則當(dāng)PQ=BQ時，a的值是 ?1，4，4+2 ，4?2 �。�
考點： 二次函數(shù)綜合題．
分析： 設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，? a2+2a+5），分別表示出B、Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)PQ=BQ，列方程求出a的值．
解答： 解：設(shè)點P的坐標(biāo)為（a，? a2+2a+5），
則點Q為（a，? a+3），點B為（0，3），
當(dāng)點P在點Q上方時，BQ= = a，
PQ=? a2+2a+5?（? a+3）=? a2+ a+2，
∵PQ=BQ，
∴ a=? a2+ a+2，
整理得：a2?3a?4=0，
解得：a=?1或a=4，
當(dāng)點P在點Q下方時，BQ= = a，
PQ=? a+3?（? a2+2a+5）= a2? a?2，
∵PQ=BQ，
∴ a= a2? a?2，
整理得：a2?8a?4=0，
解得：a=4+2 或a=4?2 ．
綜上所述，a的值為：?1，4，4+2 ，4?2 ．
故答案為：?1，4，4+2 ，4?2 ．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，以及兩點間的距離，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出點P的坐標(biāo)，表示出PQ、BQ的長度，然后根據(jù)PQ=BQ，分情況討論并求解，難度一般．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chusan/307246.html
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