2014-2015學(xué)年遼寧省大連市莊河二中九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1．方程：① ，②2x2?5xy+y2=0，③7x2+1=0，④ 中一元二次方程是（ ）
A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和③
2．一元二次方程x2?4=0的解是（ �。�
A． x=2 B． x=?2 C． x1=2，x2=?2 D． x1= ，x2=?
3．方程x2?3x?2=0的根的情況是（ �。�
A． 方程有兩個相等的實數(shù)根 B． 方程有兩個不相等的實數(shù)根
C． 方程沒有實數(shù)根 D． 方程的根的情況無法確定
4．拋物線y=（x?2）2+3的對稱軸是（ �。�
A． 直線x=?2 B． 直線x=2 C． 直線x=?3 D． 直線x=3
5．拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（ ）
A． y=3（x?1）2?2 B． y=3（x+1）2?2 C． y=3（x+1）2+2 D． y=3（x?1）2+2
6．在同一坐標(biāo)系中，拋物線y=4x2，y= x2，y=? x2的共同特點是（ �。�
A． 關(guān)于y軸對稱，開口向上
B． 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而增大
C． 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而減小
D． 關(guān)于y軸對稱，頂點是原點
7．若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2?1=0的常數(shù)項為0，則a的值等于（ �。�
A． 1或?1 B． 2 C． 1 D． 0
8．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，在下列四個結(jié)論中：
①2a?b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a?b+c＞0．
錯誤的個數(shù)有（ �。�
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
二、填空題
9．方程x（x?2）=0的根是 �。�
10．如果x=2是一元二次方程x2+bx+2=0的一個根，則b= ．
11．若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k=0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是 ．
12．某縣2008年農(nóng)民人均年收入為7 800元，計劃到2010年，農(nóng)民人均年收入達到9 100元．設(shè)人均年收入的平均增長率為x，則可列方程 �。�
13．拋物線y=x2?2x?3的對稱軸是直線 �。�
14．邊長為2的正方形，如果邊長增加x，則面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式是S= �。�
15．若二次函數(shù)y=2x2經(jīng)過平移后頂點的坐標(biāo)為（?2，3），則平移后的解析式為 ．
16．如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（x?m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標(biāo)最小值為?3，則點D的橫坐標(biāo)最大值為 �。�
三、解答題
17．解方程：
（1）（x?2）2=1；
（2）2x2?4x?1=0．
18．如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用22m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設(shè)計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．
19．已知二次函數(shù)y=?2x2+8x?6，完成下列各題：
（1）將函數(shù)關(guān)系式用配方法化為y=a（x+h）2+k的形式，并寫出它的頂點坐標(biāo)、對稱軸；
（2）它的圖象與x軸交于A，B兩點，頂點為C，求S△ABC．
四、解答題
20．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
21．如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接寫出答案）
22．雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線y= x2+3x+1的一部分，如圖所示．
（1）求演員彈跳離地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由．
五．解答題
23．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動．同時點P從A點出發(fā)以每秒1個單位長度沿A?B?C?D的路線作勻速運動．當(dāng)P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動．
（1）求P點從A點運動到D點所需的時間；
（2）設(shè)P點運動時間為t（秒）．
①當(dāng)t=5時，求出點P的坐標(biāo)；
②若△OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍）．
24．△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為他們的公共直角頂點，連AD，BE，F(xiàn)為線段AD的中點，連CF．
（1）如圖1，當(dāng)D點在BC上時，試探索BE與CF的關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，把△DEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，其他條件不變，問（1）中的關(guān)系是否仍然成立？如果成立請證明；如果不成立，請寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明．
25．如圖，二次函數(shù) 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向點B運動，點Q同時從C點出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運動，運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動．設(shè)PQ交直線AC于點G．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設(shè)△PQC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）在y軸上找一點M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接寫出所有滿足條件的M點的坐標(biāo)；
（4）過點P作PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)P點運動時，線段EG的長度是否發(fā)生改變，請說明理由．
2014-2015學(xué)年遼寧省大連市莊河二中九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．方程：① ，②2x2?5xy+y2=0，③7x2+1=0，④ 中一元二次方程是（ ）
A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ①和③
考點： 一元二次方程的定義．
分析： 本題根據(jù)一元二次方程的定義解答．
一元二次方程必須滿足四個條件：
（1）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；
（2）二次項系數(shù)不為0；
（3）是整式方程；
（4）含有一個未知數(shù)．由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案．
解答： 解：①不是整式方程，故錯誤；
②含有2個未知數(shù)，故錯誤；
③正確；
④正確．
則是一元二次方程的是③④．故選C．
點評： 一元二次方程必須滿足四個條件：首先判斷方程是整式方程，若是整式方程，再把方程進行化簡，化簡后是含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，在判斷時，一定要注意二次項系數(shù)不是0．
2．一元二次方程x2?4=0的解是（ ）
A． x=2 B． x=?2 C． x1=2，x2=?2 D． x1= ，x2=?
考點： 解一元二次方程-直接開平方法．
分析： 觀察發(fā)現(xiàn)方程的兩邊同時加4后，左邊是一個完全平方式，即x2=4，即原題轉(zhuǎn)化為求4的平方根．
解答： 解：移項得：x2=4，
∴x=±2，即x1=2，x2=?2．
故選：C．
點評： （1）用直接開方法求一元二次方程的解的類型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同號且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同號且a≠0）．法則：要把方程化為“左平方，右常數(shù)，先把系數(shù)化為1，再開平方取正負(fù)，分開求得方程解．
（2）用直接開方法求一元二次方程的解，要仔細(xì)觀察方程的特點．
3．方程x2?3x?2=0的根的情況是（ �。�
A． 方程有兩個相等的實數(shù)根 B． 方程有兩個不相等的實數(shù)根
C． 方程沒有實數(shù)根 D． 方程的根的情況無法確定
考點： 根的判別式．
分析： 直接根據(jù)一元二次方程根的判別式求出△的值即可作出判斷．
解答： 解：∵方程x2?3x?2=0中，△=（?3）2?4×1×（?2）=9+8=17＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：B．
點評： 本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2?4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)△＜0時，方程無實數(shù)根．
4．拋物線y=（x?2）2+3的對稱軸是（ ）
A． 直線x=?2 B． 直線x=2 C． 直線x=?3 D． 直線x=3
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 直接根據(jù)頂點式的特點可直接寫出對稱軸．
解答： 解：因為拋物線解析式y(tǒng)=（x?2）2+3是頂點式，頂點坐標(biāo)為（2，3），所以對稱軸為直線x=2．
故選B．
點評： 主要考查了求拋物線的對稱軸的方法．
5．拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是（ ）
A． y=3（x?1）2?2 B． y=3（x+1）2?2 C． y=3（x+1）2+2 D． y=3（x?1）2+2
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
分析： 根據(jù)圖象向下平移減，向右平移減，可得答案．
解答： 解：拋物線y=3x2向右平移1個單位，再向下平移2個單位，所得到的拋物線是y=3（x?1）2?2，
故選：A．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．
6．在同一坐標(biāo)系中，拋物線y=4x2，y= x2，y=? x2的共同特點是（ �。�
A． 關(guān)于y軸對稱，開口向上
B． 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而增大
C． 關(guān)于y軸對稱，y隨x的增大而減小
D． 關(guān)于y軸對稱，頂點是原點
考點： 二次函數(shù)的圖象．
分析： 形如y=ax2的拋物線共同特點就是：關(guān)于y軸對稱，頂點是原點，a正負(fù)性決定開口方向．a(chǎn)的絕對值大小決定開口的大小．
解答： 解：因為拋物線y=4x2，y= x2，y=? x2都符合拋物線的最簡形式y(tǒng)=ax2，其對稱軸是y軸，頂點是原點．
故選D．
點評： 要求掌握形如y=ax2的拋物線性質(zhì)．
7．若關(guān)于x的一元二次方程（a+1）x2+4x+a2?1=0的常數(shù)項為0，則a的值等于（ ）
A． 1或?1 B． 2 C． 1 D． 0
考點： 一元二次方程的一般形式．
分析： 根據(jù)一元二次方程的定義解答．
解答： 解：∵一元二次方程（a+1）x2+4x+a2?1=0的常數(shù)項為0，
∴ ，
解得a=1，
故選C．
點評： 本題考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．
8．已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，在下列四個結(jié)論中：
①2a?b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a?b+c＞0．
錯誤的個數(shù)有（ �。�
A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個
考點： 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
分析： 根據(jù)對稱軸方程，拋物線開口方向、與y軸交點坐標(biāo)位置確定a、b、c的負(fù)號，根據(jù)圖象知x=?1與x=1時所對應(yīng)的y的負(fù)號進行判斷．
解答： 解：如圖所示，∵拋物線開口方向向下，
∴a＜0．
又對稱軸?1＜x=? ＜0，
∴b＜0，且b＞2a，則2a?b＜0．
故①正確；
∵拋物線與y軸交于負(fù)半軸，
∴c＜0，
∴abc＜0．
故②正確；
如圖所示，當(dāng)x=1時，y＜0，即 a+b+c＜0．故③正確；
④如圖所示，當(dāng)x=?1時，y＜0，即a?b+c＜0．故④錯誤．
綜上所述，錯誤的個數(shù)是1．
故選：A．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數(shù)確定．
二、填空題
9．方程x（x?2）=0的根是 0，2�。�
考點： 解一元二次方程-因式分解法．
專題： 計算題．
分析： 根據(jù)“兩式的乘積為0，則至少有一個式子的值為0”來解該題．
解答： 解：x（x?2）=0
即：x=o或x?2=0
解得x=0或x=2
故答案為：0，2．
點評： 因式分解法是解一元二次方程的一種簡便方法，要會靈活運用．
10．如果x=2是一元二次方程x2+bx+2=0的一個根，則b= ?3�。�
考點： 一元二次方程的解．
分析： 把x=2代入方程x2+bx+2=0得出方程4+2b+2=0，求出方程的解即可．
解答： 解：把x=2代入方程x2+bx+2=0得：4+2b+2=0，
解得：b=?3，
故答案為：?3．
點評： 本題考查了一元二次方程的解，解此題的關(guān)鍵是能否得出一個關(guān)于b的方程．
11．若關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k=0沒有實數(shù)根，則k的取值范圍是 k＜?1�。�
考點： 根的判別式．
分析： 根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k=0沒有實數(shù)根，得出△=4+4k＜0，再進行計算即可．
解答： 解：∵一元二次方程x2?2x?k=0沒有實數(shù)根，
∴△=（?2）2?4×1×（?k）=4+4k＜0，
∴k的取值范圍是k＜?1；
故答案為：k＜?1．
點評： 本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b2?4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實數(shù)根．
12．某縣2008年農(nóng)民人均年收入為7 800元，計劃到2010年，農(nóng)民人均年收入達到9 100元．設(shè)人均年收入的平均增長率為x，則可列方程 7800（x+1）2=9100 ．
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程．
專題： 增長率問題．
分析： 主要考查增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果設(shè)人均年收入的平均增長率為x，根據(jù)題意即可列出方程．
解答： 解：設(shè)人均年收入的平均增長率為x，根據(jù)題意可列出方程為：7800（x+1）2=9100．
故答案為：7800（x+1）2=9100．
點評： 本題重點考查列一元二次方程解答有關(guān)平均增長率問題．本題易錯誤為：7800（1+x）×2=9100，其錯誤的原因是把2009年、2010年人均年收入相對的整體“1”看成2008年的人均年收入．對于平均增長率問題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為a（1+x）2=b（a＜b）；平均降低率問題，在理解的基礎(chǔ)上，可歸結(jié)為a（1?x）2=b（a＞b）．
13．拋物線y=x2?2x?3的對稱軸是直線 x=1�。�
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì)．
分析： 利用頂點坐標(biāo)公式，可求頂點橫坐標(biāo)，即為對稱軸．也可以利用配方法求對稱軸．
解答： 解：解法1：利用公式法
y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)公式為（ ， ），代入數(shù)值求得對稱軸是直線x=1；
解法2：利用配方法
y=x2?2x?3=x2?2x+1?4=（x?1）2?4，故對稱軸是直線x=1．
故答案為：x=1．
點評： 求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸及最值通常有兩種方法：（1）公式法；（2）配方法．
14．邊長為2的正方形，如果邊長增加x，則面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式是S= x2+4x+4 ．
考點： 根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式．
分析： 依據(jù)新正方形的面積=新邊長2，即可求解．
解答： 解：新正方形的邊長是x+2，則面積S=（x+2）2=x2+4x+4．
點評： 根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
15．若二次函數(shù)y=2x2經(jīng)過平移后頂點的坐標(biāo)為（?2，3），則平移后的解析式為 y=2x2+8x+11�。�
考點： 二次函數(shù)圖象與幾何變換．
專題： 幾何變換．
分析： 由于平移后拋物線的開口方向和形狀沒改變，即a的值不變，則可根據(jù)頂點式寫出平移后的拋物線解析式．
解答： 解：拋物線y=2x2經(jīng)過平移后頂點的坐標(biāo)為（?2，3），
則平移后的解析式為y=2（x+2）2+3=2x2+8x+11．
故答案為y=2x2+8x+11．
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．
16．如圖，點A，B的坐標(biāo)分別為（1，4）和（4，4），拋物線y=a（x?m）2+n的頂點在線段AB上運動，與x軸交于C、D兩點（C在D的左側(cè)），點C的橫坐標(biāo)最小值為?3，則點D的橫坐標(biāo)最大值為 8�。�
考點： 二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-直接開平方法；二次函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
專題： 計算題；壓軸題．
分析： 當(dāng)C點橫坐標(biāo)最小時，拋物線頂點必為A（1，4），根據(jù)此時拋物線的對稱軸，可判斷出CD間的距離；
當(dāng)D點橫坐標(biāo)最大時，拋物線頂點為B（4，4），再根據(jù)此時拋物線的對稱軸及CD的長，可判斷出D點橫坐標(biāo)最大值．
解答： 解：當(dāng)點C橫坐標(biāo)為?3時，拋物線頂點為A（1，4），對稱軸為x=1，此時D點橫坐標(biāo)為5，則CD=8；
當(dāng)拋物線頂點為B（4，4）時，拋物線對稱軸為x=4，且CD=8，故C（0，0），D（8，0）；
由于此時D點橫坐標(biāo)最大，
故點D的橫坐標(biāo)最大值為8；
故答案為：8．
點評： 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，用直接開平方法解一元二次方程等知識點，理解題意并根據(jù)已知求二次函數(shù)的解析式是解此題的關(guān)鍵，此題是一個比較典型的題目．
三、解答題
17．解方程：
（1）（x?2）2=1；
（2）2x2?4x?1=0．
考點： 解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接開平方法．
專題： 計算題．
分析： （1）方程利用平方根定義計算即可求出解；
（2）方程利用公式法求出解即可．
解答： 解：（1）開方得：x?2=1或x?2=?1，
解得：x1=3，x2=1；
（2）這里a=2，b=?4，c=?1，
∵△=16?4×2×（?1）=24＞0，
∴x= = ．
點評： 此題考查了解一元二次方程?公式法，以及直接開平方法，熟練掌握各種解法是解本題的關(guān)鍵．
18．如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用22m），現(xiàn)在已備足可以砌50m長的墻的材料，試設(shè)計一種砌法，使矩形花園的面積為300m2．
考點： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 幾何圖形問題．
分析： 根據(jù)可以砌50m長的墻的材料，即總長度是50米，設(shè)AB=x米，則BC=（50?2x）米，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可．
解答： 解：設(shè)AB=x米，則BC=（50?2x）米．
根據(jù)題意可得，x（50?2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，
當(dāng)x=10，BC=50?10?10=30＞22，
故x1=10（不合題意舍去），
當(dāng)x=15時，BC=50?2×15=20（米）．
答：可以圍成AB的長為15米，BC為20米的矩形．
點評： 本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系求解，注意圍墻MN最長可利用22m，舍掉不符合題意的數(shù)據(jù)．
19．已知二次函數(shù)y=?2x2+8x?6，完成下列各題：
（1）將函數(shù)關(guān)系式用配方法化為y=a（x+h）2+k的形式，并寫出它的頂點坐標(biāo)、對稱軸；
（2）它的圖象與x軸交于A，B兩點，頂點為C，求S△ABC．
考點： 二次函數(shù)的三種形式．
分析： （1）利用配方法整理成頂點式，然后寫出頂點坐標(biāo)和對稱軸即可；
（2）令y=0解關(guān)于x的一元二次方程，即可得到與x軸的交點坐標(biāo)，然后利用三角形的面積公式計算即可；
解答： 解：（1）y=?2x2+8x?6
=?2（x2?4x+3）
=?2（x2?4x+4?4+3．
=?2（x?2）2+2，
∴頂點坐標(biāo)為（2，2），對稱軸為直線x=2．
（2）令?2（x?2）2+2=0
解得：x1=3，x2=1．
∴A（3，0），B（1，0）
∴AB=3?1=2．
∴C（2，2），
∴S△ABC= ×2×2=2．
點評： 本題考查了二次函數(shù)的三種形式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與x軸的交點問題，熟練掌握配方法的操作整理成頂點式形式求出頂點坐標(biāo)和對稱軸更加簡便．
四、解答題
20．某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克．現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？
考點： 一元二次方程的應(yīng)用．
專題： 銷售問題；壓軸題．
分析： 設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，得出日銷售量將減少20x千克，再由盈利額=每千克盈利×日銷售量，依題意得方程求解即可．
解答： 解：設(shè)每千克水果應(yīng)漲價x元，
依題意得方程：（500?20x）（10+x）=6000，
整理，得x2?15x+50=0，
解這個方程，得x1=5，x2=10．
要使顧客得到實惠，應(yīng)取x=5．
答：每千克水果應(yīng)漲價5元．
點評： 解答此題的關(guān)鍵是熟知此題的等量關(guān)系是：盈利額=每千克盈利×日銷售量．
21．如圖，直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c都經(jīng)過點A（1，0），B（3，2）．
（1）求m的值和拋物線的解析式；
（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接寫出答案）
考點： 二次函數(shù)與不等式（組）；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．
分析： （1）分別把點A（1，0），B（3，2）代入直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c，利用待定系數(shù)法解得y=x?1，y=x2?3x+2；
（2）根據(jù)題意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根據(jù)圖象可知，x2?3x+2＞x?1的圖象上x的范圍是x＜1或x＞3．
解答： 解：（1）把點A（1，0），B（3，2）分別代入直線y=x+m和拋物線y=x2+bx+c得：
0=1+m， ，
∴m=?1，b=?3，c=2，
所以y=x?1，y=x2?3x+2；
（2）x2?3x+2＞x?1，解得：x＜1或x＞3．
點評： 主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)．要具備讀圖的能力．
22．雜技團進行雜技表演，演員從蹺蹺板右端A處彈跳到人梯頂端椅子B處，其身體（看成一點）的路線是拋物線y= x2+3x+1的一部分，如圖所示．
（1）求演員彈跳離地面的最大高度；
（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳點A的水平距離是4米，問這次表演是否成功？請說明理由．
考點： 二次函數(shù)的應(yīng)用．
專題： 壓軸題．
分析： （1）將二次函數(shù)化簡為y=? （x? ）2+ ，即可解出y最大的值．
（2）當(dāng)x=4時代入二次函數(shù)可得點B的坐標(biāo)在拋物線上．
解答： 解：（1）將二次函數(shù)y= x2+3x+1化成y= （x ）2 ，（3分），
當(dāng)x= 時，y有最大值，y最大值= ，（5分）
因此，演員彈跳離地面的最大高度是4.75米．（6分）
（2）能成功表演．理由是：
當(dāng)x=4時，y= ×42+3×4+1=3.4．
即點B（4，3.4）在拋物線y= x2+3x+1上，
因此，能表演成功．（12分）．
點評： 本題考查點的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實際問題．
五．解答題
23．如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3，AD=5．若矩形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動．同時點P從A點出發(fā)以每秒1個單位長度沿A?B?C?D的路線作勻速運動．當(dāng)P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動．
（1）求P點從A點運動到D點所需的時間；
（2）設(shè)P點運動時間為t（秒）．
①當(dāng)t=5時，求出點P的坐標(biāo)；
②若△OAP的面積為s，試求出s與t之間的函數(shù)關(guān)系式（并寫出相應(yīng)的自變量t的取值范圍）．
考點： 二次函數(shù)綜合題；矩形的性質(zhì)．
專題： 動點型．
分析： 本題是二次函數(shù)的實際應(yīng)用題，需要由易到難，逐步解答，（1）、（2）①比較簡單，解答這兩個問題，可以幫助我們理解題意，搞清楚題目數(shù)量關(guān)系；
②由于動點P的位置有三種可能，需要表達分段函數(shù)．
解答： 解：（1）P點從A點運動到D點所需的時間=（3+5+3）÷1=11（秒）
（2）①當(dāng)t=5時，P點從A點運動到BC上，
過點P作PE⊥AD于點E．
此時A點到E點的時間=10秒，AB+BP=5，
∴BP=2
則PE=AB=3，AE=BP=2
∴OE=OA+AE=10+2=12
∴點P的坐標(biāo)為（12，3）．
②分三種情況：
i.0＜t≤3時，點P在AB上運動，此時OA=2t，AP=t
∴s= ×2t×t=t2
ii.3＜t≤8時，點P在BC上運動，此時OA=2t
∴s= ×2t×3=3t
iii.8＜t＜11時，點P在CD上運動，此時OA=2t，AB+BC+CP=t
∴DP=（AB+BC+CD）?（AB+BC+CP）=11?t
∴s= ×2t×（11?t）=?t2+11t
綜上所述，s與t之間的函數(shù)關(guān)系式是：
當(dāng)0＜t≤3時，s=t2；
當(dāng)3＜t≤8時，s=3t；
當(dāng)8＜t＜11時，s=?t2+11t．
點評： 本題是二次函數(shù)與矩形性質(zhì)的綜合題，也是動態(tài)幾何問題，需要從運動中找規(guī)律，分類討論．
24．△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為他們的公共直角頂點，連AD，BE，F(xiàn)為線段AD的中點，連CF．
（1）如圖1，當(dāng)D點在BC上時，試探索BE與CF的關(guān)系，并證明；
（2）如圖2，把△DEC繞C點順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，其他條件不變，問（1）中的關(guān)系是否仍然成立？如果成立請證明；如果不成立，請寫出相應(yīng)的正確的結(jié)論并加以證明．
考點： 全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
專題： 創(chuàng)新題型．
分析： （1）根據(jù)題干中給出的條件可以證明Rt△ADC≌Rt△BEC，可以得出CF= BE，且CF⊥BE；
（2）延長CF至點G使FG=FC，連接AG、GD，可證明△AGC≌△CEB同理可得CF= BE，且CF⊥BE．
解答： 解：（1）CF= BE，CF⊥BE．
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的公共直角頂點
∴∠C=90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，
又∵F為線段AD的中點，
∴CF=DF= AD，
∴CF= BE，∠ADC=∠FCD，
∴∠BEC=∠FCD，
∵∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠FCD+∠EBC=90°，
∴CF⊥BE．
（2）依然成立，即CF= BE，CF⊥BE，
延長CF至點G使FG=FC，連接AG、GD，
∵F為線段AD的中點，
∴四邊形ACDG為平行四邊形，
∴AG∥CD，AG=CD，
∠GAC+∠ACD=180°，
∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，C為它們的共同直角頂點，
∴∠ACB=∠DCE=90°，CD=CE，AC=BC，
∴AG=CE，∠BCD+∠DAC+∠DAC+∠ACE=180°，
∴∠BCE+∠ACD=180°，
∴∠GAC=∠BCE，
在△AGC和△CEB中，
，
∴△AGC≌△CEB（SAS），
∴BE=CG，∠ACG=∠CBE
∵∠ACG+∠BCG=90°，
∴∠CBE+∠BCG=90°，
∴CF= BE，CF⊥BE．
點評： 本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了垂直的判定．
25．如圖，二次函數(shù) 與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，點P從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向點B運動，點Q同時從C點出發(fā)，以相同的速度向y軸正方向運動，運動時間為t秒，點P到達B點時，點Q同時停止運動．設(shè)PQ交直線AC于點G．
（1）求直線AC的解析式；
（2）設(shè)△PQC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式；
（3）在y軸上找一點M，使△MAC和△MBC都是等腰三角形．直接寫出所有滿足條件的M點的坐標(biāo)；
（4）過點P作PE⊥AC，垂足為E，當(dāng)P點運動時，線段EG的長度是否發(fā)生改變，請說明理由．
考點： 二次函數(shù)綜合題．
專題： 代數(shù)幾何綜合題；壓軸題．
分析： （1）直線AC經(jīng)過點A，C，根據(jù)拋物線的解析式面積可求得兩點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法就可求得AC的解析式；
（2）根據(jù)三角形面積公式即可寫出解析式；
（3）可以分腰和底邊進行討論，即可確定點的坐標(biāo)；
（4）過G作GH⊥y軸，根據(jù)三角形相似，相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．
解答： 解：（1）y=? x2+2，
x=0時，y=2，
y=0時，x=±2，
∴A（?2，0），B（2，0），C（0，2），
設(shè)直線AC的解析式是y=kx+b，
代入得： ，
解得：k=1，b=2，
即直線AC的解析式是y=x+2；
（2）當(dāng)0≤t＜2時，
OP=（2?t），QC=t，
∴△PQC的面積為：S= （2?t）t=? t2+t，
當(dāng)2＜t≤4時，
OP=（t?2），QC=t，
∴△PQC的面積為：S= （t?2）t= t2?t，
∴ ；
（3）當(dāng)AC或BC為等腰三角形的腰時，
AC=MC=BC時，M點坐標(biāo)為（0，2?2 ）和（0，2+2 ）
當(dāng)AC=AM=BC 時，M為（0，?2）
當(dāng)AM=MC=BM時M為（0，0）．
∴一共四個點，（0， ），（0， ），（0，?2），（0，0）；
（4）當(dāng)0＜t＜2時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE= ．
∵GH∥OP
∴ 即 = ，解得GH= ，
所以GC= GH= ．
于是，GE=AC?AE?GC= = ．
即GE的長度不變．
當(dāng)2＜t≤4時，過G作GH⊥y軸，垂足為H．
由AP=t，可得AE= ．
由 即 = ，
∴GH（2+t）=t（t?2）?（t?2）GH，
∴GH（2+t）+（t?2）GH=t（t?2），
∴2tGH=t（t?2），
解得GH= ，
所以GC= GH= ．
于是，GE=AC?AE+GC=2 ? t+ = ，
即GE的長度不變．
綜合得：當(dāng)P點運動時，線段EG的長度不發(fā)生改變，為定值 ．
點評： 本題屬于一道難度較大的二次函數(shù)題，綜合考查了三角形相似的性質(zhì)，需注意分類討論，全面考慮點M所在位置的各種情況．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chusan/309277.html
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