中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題基礎(chǔ)知識回顧三 幾何初步
一、單元知識網(wǎng)絡(luò)：
二、考試目標(biāo)要求：
了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會解決與線段有關(guān)的實(shí)際問題；了解角的概念和表示方法，會把角進(jìn)行分類以及進(jìn)行角的度量和計(jì)算；掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點(diǎn)、性質(zhì)和判定；了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達(dá)形式和分類，會簡單的證明有關(guān)命題.
具體目標(biāo)：
1、圖形的認(rèn)識
(1) 點(diǎn)、線、面
①認(rèn)識點(diǎn)、線、面(如交通圖上用點(diǎn)表示城市，屏幕上的畫面是由點(diǎn)組成的).
②認(rèn)識直線、射線、線段及性質(zhì).
�、蹠容^線段的大小，會計(jì)算線段的和、差、倍、分，并會進(jìn)行簡單計(jì)算.
�、芰私饩�段的中點(diǎn).
(2) 角
�、偻ㄟ^豐富的實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識角.
�、跁容^角的大小，能估計(jì)一個角的大小，會計(jì)算角度的和與差，認(rèn)識度、分、秒，會進(jìn)行簡單換
算.
�、哿私饨瞧椒志�及其性質(zhì)
(3) 相交線與平行線
①了解補(bǔ)角、余角、對頂角，知道等角的余角相等、等角的補(bǔ)角相等、對頂角相等.
�、诹私獯咕�、垂線段等概念，了解垂線段最短的性質(zhì)，體會點(diǎn)到直線距離的意義.
�、壑肋^一點(diǎn)有且僅有一條直線垂直于已知直線，會用三角尺或量角器過一點(diǎn)畫一條直線的垂線.
④了解線段垂直平分線及其性質(zhì).
�、葜纼芍本�平行同位角相等，進(jìn)一步探索平行線的性質(zhì).
�、拗肋^直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線平行于已知直線，會用三角尺和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這
條直線的平行線.
�、唧w會兩條平行線之間距離的意義，會度量兩條平行線之間的距離.
2、尺規(guī)作圖
①完成以下基本作圖：作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角的平分線，作線段的垂直
平分線.
②了解尺規(guī)作圖的步驟，對于尺規(guī)作圖題，會寫已知、求作和作法(不要求證明).
3、命題與證明
�、倮斫庾C明的定義和必要性.
②通過具體的例子，了解定義、命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條(題設(shè))和結(jié)論.
�、劢Y(jié)合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立.
④掌握用綜合法證明的格式，體會證明的過程要步步有據(jù).
三、知識考點(diǎn)梳理
知識點(diǎn)一、直線的概念和性質(zhì)
1．直線的定義：
代數(shù)中學(xué)習(xí)的數(shù)軸和一張紙對折后的折痕等都是直線，直線可以向兩方無限延伸.(直線的概念是一個描述性的定義，便于理解直線的意義)
2．直線的兩種表示方法：
(1)用表示直線上的任意兩點(diǎn)的大寫字母表示這條直線，如直線AB，其中A、B是表示直線上兩點(diǎn)的字
母；
(2)用一個小寫字母表示直線，如直線a.
3．直線和點(diǎn)的兩種位置關(guān)系
(1)點(diǎn)在直線上(或說直線經(jīng)過某點(diǎn))；
(2)點(diǎn)在直線外(或說直線不經(jīng)過某點(diǎn)).
4．直線的性質(zhì)：
過兩點(diǎn)有且只有一條直線(即兩點(diǎn)確定一條直線).
5．同一平面內(nèi)兩條不同直線的位置關(guān)系：
(1)兩條直線無公共點(diǎn)，即平行；
(2)兩條直線有一個公共點(diǎn)，即兩條直線相交，這個公共點(diǎn)叫做兩條直線的交點(diǎn)(兩條直線相交，只有一
個交點(diǎn)).
知識點(diǎn)二、射線、線段的定義和性質(zhì)
1．射線的定義：
直線上一點(diǎn)和它一旁的部分叫做射線.射線只向一方無限延伸.
2．射線的表示方法：
(1)用表示射線的端點(diǎn)和射線上任意一點(diǎn)的大寫字母表示這條射線，如射線OA，其中O是端點(diǎn)，A是射
線上一點(diǎn)；
(2)用一個小寫字母表示射線，如射線a.
3．線段的定義：
直線上兩點(diǎn)和它們之間的部分叫做線段，兩個點(diǎn)叫做線段的端點(diǎn).
4．線段的表示方法：
(1)用表示兩個端點(diǎn)的大寫字母表示，如線段AB，A、B是表示端點(diǎn)的字母；
(2)用一個小寫字母表示，如線段a.
5．線段的性質(zhì)：
所有連接兩點(diǎn)的線中，線段最短(即兩點(diǎn)之間，線段最短).
6．線段的中點(diǎn)：
線段上一點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段，這個點(diǎn)叫做線段的中點(diǎn).
7．兩點(diǎn)的距離：
連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做兩點(diǎn)的距離.
知識點(diǎn)三、角
1．角的概念：
(1)定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，兩條射線分別叫
做角的邊.
(2)定義二：一條射線繞著端點(diǎn)從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角.射線旋轉(zhuǎn)時經(jīng)過的平面
部分是角的內(nèi)部，射線的端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的初始位置和終止位置分別是角的兩條邊.
2．角的表示方法：
(1)用三個大寫字母表示，注意將頂點(diǎn)字母寫在中間，如∠AOB；
(2)用一個大寫字母表示，注意頂點(diǎn)處只有一個角用此法，如∠A；
(3)用一個數(shù)字或希臘字母表示，如∠1，∠ .
3．角的分類：
(1)按大小分類：
銳角----小于直角的角(0°＜ ＜90°)
直角----平角的一半或90°的角( =90°)
鈍角----大于直角而小于平角的角(90°＜ ＜180°)
(2)平角：一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置與起始位置成一條直線時，所成的角叫做平角，平角等
于180°.
(3)周角：一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置又回到起始位置時，所成的角叫做周角，周角等于
360°.
(4)互為余角：如果兩個角的和是一個直角(90°)，那么這兩個角叫做互為余角.
(5)互為補(bǔ)角：如果兩個角的和是一個平角(180°)，那么這兩個角叫做互為補(bǔ)角.
4．角的度量：
(1)度量單位：度、分、秒；
(2)角度單位間的換算：1°=60′，1′=60″(即：1度=60分，1分=60秒)；
(3)1平角=180°，1周角=360°，1直角=90°.
5．角的性質(zhì)：
同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等.
6．角的平分線：
如果一條射線把一個角分成兩個相等的角，那么這條射線叫做這個角的平分線.
知識點(diǎn)四、相交線
1．對頂角
(1)定義：如果兩個角有一個公共頂點(diǎn)， 而且一個角的兩邊分別是另一角兩邊的反向延長線，那么這兩
個角叫對頂角.
(2)性質(zhì)：對頂角相等.
2．鄰補(bǔ)角
(1)定義：有一條公共邊，而且另一邊互為反向延長線的兩個角叫做鄰補(bǔ)角.
(2)性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ).
3．垂線
(1)兩條直線互相垂直的定義：當(dāng)兩條直線相交所得的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線
是互相垂直的，它們的交點(diǎn)叫做垂足.垂直用符號“⊥”表示
(2)垂線的定義:互相垂直的兩條直線中，其中的一條叫做另一條的垂線，如直線a垂直于直線b，垂足
為O，則記為a⊥b，垂足為O.其中a是b的垂線，b也是a的垂線.
(3)垂線的性質(zhì)：
�、龠^一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
�、谶B接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短.簡單說成：垂線段最短.
(4)點(diǎn)到直線的距離定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離.
4．同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角
(1)基本概念：兩條直線(如a、b)被第三條直線(如c)所截，構(gòu)成八個
角，簡稱三線八角，如右圖所示：∠1和∠8、∠2和∠7、∠3和∠6、
∠4和∠5是同位角；∠1和∠6、∠2和∠5是內(nèi)錯角；∠1和∠5、
∠2和∠6是同旁內(nèi)角.
(2)特點(diǎn)：同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角都是由三條直線相交構(gòu)成的兩個
角.兩個角的一條邊在同一直線(截線)上，另一條邊分別在兩條直線
(被截線)上.
知識點(diǎn)五、平行線
1．平行線定義：
在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線.平行用符號“∥”表示，.如直線a與b平行，記作a∥b.在幾何證明中，“∥”的左、右兩邊也可能是射線或線段.
2．平行公理及推論：
(1)經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.
(2)平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.即：
如果b∥a，c∥a，那么b∥c.
3．性質(zhì)：
(1)平行線永遠(yuǎn)不相交；
(2)兩直線平行，同位角相等；
(3)兩直線平行，內(nèi)錯角相等；
(4)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；
(5)如果兩條平行線中的一條垂直于某直線，那么另一條也垂直于這條直線，可用符號表示為：
若b∥c，b⊥a，則c⊥a.
4．判定方法：
(1)定義
(2)平行公理的的推論
(3)同位角相等，兩直線平行；
(4)內(nèi)錯角相等，兩直線平行；
(5)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；
(6)垂直于同一條直線的兩條直線平行.
知識點(diǎn)六、命題、定理、證明
1．命題：
(1)定義：判斷一事情的語句叫命題.
(2)命題的結(jié)構(gòu)：題設(shè)+結(jié)論=命題
(3)命題的表達(dá)形式：如果……那么……；若……則……；
(4)命題的分類：真命題和假命題
(5)逆命題：原命題的題設(shè)是逆命題的結(jié)論，原命題的結(jié)論是逆命題的題設(shè).
2．公理、定理：
(1)公理：人們在長期實(shí)踐中總結(jié)出的能作為判斷其他命題真假依據(jù)的真命題叫做公理.
(2)定理：經(jīng)過推理證實(shí)的真命題叫做定理.
3．證明：
用推理的方法證實(shí)命題正確性的過程叫做證明.
四、規(guī)律方法指導(dǎo)
1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想
利用線段的長度、角的角度、對頂角、三線八角等基本幾何圖形，會求線段的長，以及角的度數(shù)，利用圖形的直觀性解決數(shù)的抽象性，能在一定條下形數(shù)互化，由數(shù)構(gòu)形，以形破數(shù).
2．分類討論思想
直線的交點(diǎn)個數(shù)及位置關(guān)系，角的大小等需要有分類討論的思想，包含多種可能的情況時，應(yīng)根據(jù)可能出現(xiàn)的所有情況分別討論得出各種情況下相應(yīng)的結(jié)論，不重不漏.
3．化歸與轉(zhuǎn)化思想
在解決利用幾何圖形求線段長度和角的度數(shù)的問題時，常常是將需要解決的問題，通過做輔助線、求和差等轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一個相對較容易解決的或者已經(jīng)有解決模式的問題，化繁為簡、化難為易，由復(fù)雜與簡單的轉(zhuǎn)化.
4．注意觀察、分析、總結(jié)
結(jié)合近幾年中考試卷，幾何基本圖形中的角的計(jì)算、與線段和平行有關(guān)的實(shí)際問題是當(dāng)前命題的熱點(diǎn)，常以填空和選擇形式出現(xiàn)，以考查基礎(chǔ)為主；尺規(guī)作圖通常結(jié)合計(jì)算和證明出現(xiàn)，要注意弄清概念，認(rèn)真觀察，總結(jié)規(guī)律，并做到靈活應(yīng)用.
經(jīng)典例題精析
考點(diǎn)一、直線、射線、線段的概念和性質(zhì)
1．（1）（2010江蘇宿遷）直線上有2010個點(diǎn),我們進(jìn)行如下操作：在每相鄰兩點(diǎn)間插入1個點(diǎn),經(jīng)過3次這樣的操作后,直線上共有__________個點(diǎn).
答案：16073
�。�2）下列語句正確的是( )
A. 延長直線AB B. 延長射線OA
C. 延長線段AB 到C，使AC=BC D. 延長線段AB 到C，使AC=3AB
考點(diǎn)：直線、射線、線段的性質(zhì).
解析：選項(xiàng)A中直線是向兩方無限延伸的，不能延長，所以A錯；選項(xiàng)B中射線是向一方無限延伸的，而延長射線OA就是指由O向A延長，射線只能反向延長，所以B錯；選項(xiàng)C中AC只能大于BC，線段延長應(yīng)有方向，而且要符合實(shí)際意義，所以C錯.所以選D.
舉一反三
【變式1】下列語句正確的是( )
A．如果PA=PB，那么P是線段AB的中點(diǎn) B．線段有一個端點(diǎn)
C．直線AB大于射線AB D．反向延長射線OP(O為端點(diǎn))
考點(diǎn)：直線、射線、線段的性質(zhì).
解析：在只用幾何語言表達(dá)而沒有圖形的情況下，要注意圖形的不同情形，象A中往往容易考慮不到P、A、B三點(diǎn)可能不在同一直線上，要注意線段的中點(diǎn)首先應(yīng)為線段上一點(diǎn)，而誤選A；線段有兩個端點(diǎn)，所以B錯；直線可以向兩方無限延伸，射線可以向一方無限延伸，所以直線與射線都無法度量長度，不能比較大小，所以C錯.答案選D.
2．(1)數(shù)軸上有兩點(diǎn)A、B分別表示實(shí)數(shù)a、b，則線段AB的長度是( )
A.a-b B.a+b C.│a-b│ D.│a+b│
(2)已知線段AB，在BA的延長線上取一點(diǎn)C，使CA=3AB，則線段CA與線段CB之比為( )
A.3：4 B.2：3 C.3：5 D.1：2
考點(diǎn)：數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離和線段的加減.
思路點(diǎn)撥：本類題目注意線段長度是非負(fù)數(shù)，若有字母注意使用絕對值.根據(jù)題意，畫圖.
解：(1)中數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式為：│a-b│或│b-a│.
(2)如圖，因?yàn)镃A=3AB，所以CB=4AB，則線段CA與線段CB之比為3AB:4AB=3:4.
答案：(1)C；(2)A
總結(jié)升華：解決本例類型的題目應(yīng)結(jié)合圖形，即數(shù)形結(jié)合，這樣做起簡捷.
舉一反三
【變式1】如圖，點(diǎn)A、B、C在直線 上，則圖中共有______條線段.
答案：3
【變式2】有一段火車路線，含這段鐵路的首尾兩站在內(nèi)共有5個車站(如圖)，圖中共有幾條線段？在這段線路上往返行車，需印制幾種車票(每種車票要印出上車站與下車站)？
解：線段有10條；車票需要2×10=20種.
總結(jié)升華：在直線上確定線段的條數(shù)公式為: (其中n為直線上點(diǎn)的個數(shù)).在求從一個頂點(diǎn)引出的n條射線所形成的小于平角的角的個數(shù)也可用此公式.
【變式3】已知線段AB=8cm，延長AB至C，使AC=2AB，D是AB中點(diǎn)，則線段CD=______.
思路點(diǎn)撥：解決本例類型的題目應(yīng)結(jié)合圖形，即數(shù)形結(jié)合，本題考查延長線段的方向和線段的中點(diǎn)的概念.
解：如圖，∵AB=8cm AC=2AB ∴AC=2×8=16cm
∵D是AB中點(diǎn) ∴AD=8× =4cm ∴CD=AC-AD=16-4=12cm
考點(diǎn)二、角
3．下列說法正確的是( )
A．角的兩邊可以度量.
B．角是由有公共端點(diǎn)的兩條射線構(gòu)成的圖形.
C．平角的兩邊可以看成直線.
D．一條直線可以看成是一個平角.
考點(diǎn)：角的定義
解析：角的兩邊是射線，不能度量，所以A錯；平角的兩邊也是射線，不能是直線，所以C錯；了解直線和平角兩者之間的區(qū)別，角有頂點(diǎn)，所以D錯.故選B.
4．已知OC平分∠AOB，則下列各式:(1)∠AOC= ∠AOB；(2)∠AOC=∠COB；(3)∠AOB=2∠AOC，其中正確的是( )
A.只有(1) B.只有(1)(2) C.只有(2)(3) D.(1)(2)(3)
思路點(diǎn)撥：角平分線定義的的三種表達(dá)形式.
答案：D
5．（1）（2010東德州）如圖，直線AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，則∠E等于（ ）
（A）30° �。˙）40°
（C）60° �。―）70°
考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)、三角形外角定理.
答案：A
�。�2）已知∠ 與∠ 互余，且∠ =40°，則∠ 的補(bǔ)角為_______度.
考點(diǎn)：角互余和互補(bǔ)定義.
思路點(diǎn)撥：本題考查互余、互補(bǔ)兩角的定義，互余、互補(bǔ)只與兩角度數(shù)和有關(guān)，與角的位置無關(guān).
解：∵∠ 與∠ 互余，∴∠ +∠ =90°；∵∠ =40°，
∴∠ =90°-∠ =90°-40°=50°.
∴∠ 的補(bǔ)角=180°-50°=130°.
舉一反三
【變式1】如圖，已知∠COE=∠BOD=∠AOC=90°，則圖中互余的角有_______對，互補(bǔ)的角有_______對.
考點(diǎn)：互為余角和互為補(bǔ)角的定義.
思路點(diǎn)撥：在本題目中，當(dāng)圖中角比較多時，就將圖形的角進(jìn)行歸類，找出每種相等的角，按照同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等的性質(zhì)解決問題，注意要不重不漏.
解：互余的角有：∠COD和∠DOE、∠COD和∠BOC、∠AOB和∠DOE、∠AOB和∠BOC，共4對；
互補(bǔ)的角有：∠EOD和∠AOD、∠BOC和∠AOD、∠AOB和∠BOE、
∠COD和∠BOE、∠AOC和∠COE、∠AOC和∠BOD、∠COE和∠BOD，共7對.
【變式2】已知：如圖，AC⊥BC，垂足為C，∠BCD是∠B的余角.求證：∠ACD=∠B.
證明：∵AC⊥BC(已知)
∴∠ACB=90°( )
∴∠BCD是∠DCA的余角( )
∵∠BCD是∠B的余角(已知)
∴∠ACD=∠B( )
思路點(diǎn)撥：會根據(jù)所給的語句寫出正確的根據(jù).會用所學(xué)的定理、公理、推論等真命題概括幾何語言.
答案：垂直定義；余角定義，同角的余角相等.
6．(1)已知∠1=43°27′，則∠1的余角是_______，補(bǔ)角是________；
(2)18.32°=18°( )′( )″，216°42′=_______°.
考點(diǎn)：掌握角的單位之間的換算關(guān)系. 1°=60′，1′=60″.
解：(1) ∠1的余角=90°-43°27′=89°60′-43°27′=46°33′；
∠1的補(bǔ)角=180°-43°27′=179°60′-43°27′=136°33′；
(2) 0.32°=0.32×60′=19.2′ 0.2′=0.2×60″=12″ 所以18.32°=18°19′12″；
42′=0.7° 所以216°42′=216.7°.
舉一反三
【變式1】計(jì)算.
�、� ②
�、� ④
考點(diǎn)：會計(jì)算角之間的和、差、倍、分，注意相鄰單位之間是60進(jìn)制的，相同單位互相加減.
解：① =68°70′=69°10′
�、� =62°×3+25′×3=186°+75′=187°15′
③ =67°80′-37°33′=30°47′
�、� =69°60′÷3=23°20′
7．（1）（2010內(nèi)蒙呼和浩特）8點(diǎn)30分時，鐘表的時針與分針的夾角為__________°．
答案：75
（2）時鐘在1點(diǎn)30分時，時針與分針的夾角為_______度.
解析：時鐘上時針和分針是實(shí)際生活中常見的角，分針1小時旋轉(zhuǎn)360度，1分鐘旋轉(zhuǎn)6度；時針1小時旋轉(zhuǎn)30度，1分鐘旋轉(zhuǎn)0.5度.在相同時間下，分針旋轉(zhuǎn)的角度是時針的12倍.鐘表上1和6的夾角為150°，過了半小時，時針轉(zhuǎn)了15°，所以1點(diǎn)30分時，時針與分針的夾角為150°-15°=135°.
舉一反三
【變式1】某火車站的時鐘樓上裝有一個電子報(bào)時鐘，在鐘面的邊界上，每一分鐘的刻度處都裝有一只小彩燈，晚上9時35分20秒時，時針與分針?biāo)鶌A的角內(nèi)裝有多少只小彩燈？
解析：9時35分20秒時，時針與分針的夾角間的小格數(shù)為 個小格，中間有12個分鐘刻度處，而每一個分鐘刻度處有一只小彩燈，所以它們之間有12個小彩燈.
8．表示O點(diǎn)南偏東15°方向和北偏東25°方向的兩條射線組成的角等于______度.
考點(diǎn)：方位角.
解析：如圖，南北方向上的線與OA、OB的夾角分別為25°和15°，
所以∠AOB=180°-25°-15°=140°.
舉一反三
【變式1】如圖，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東48°，甲、乙兩地間同時開工，若干天后，公路準(zhǔn)確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西________度.
考點(diǎn)：方位角在實(shí)際中的應(yīng)用
思路點(diǎn)撥：結(jié)合圖形，在求方位角時，掌握甲和乙之間方向相反的規(guī)律，甲觀察乙是北偏東48°，乙觀察甲就是南偏西48°.
答案：48°.
9．如圖，OA⊥OB，∠BOC=40°，OD平分∠AOC，則∠BOD=_________°.
思路點(diǎn)撥：通過觀察圖形，找出各角之間的聯(lián)系，關(guān)鍵是看清角所在的位置，結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算.
解：∵OA⊥OB， ∴∠AOB=90°， ∵∠BOC=40°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+40°=130°，
∵OD平分∠AOC， ∴∠COD= ∠AOC= ×130°=65°，
∴∠BOD=∠COD-∠BOC=65°-40°=25°.
舉一反三
【變式1】用一副三角板畫角，不能畫出的角的度數(shù)是( )
A.15° B.75° C.145° D.165°
思路點(diǎn)撥：了解一副三角板中各角的度數(shù)，總結(jié)規(guī)律：用一副三角板畫角，能畫出的角都是15°的整數(shù)倍.
答案：C
【變式2】以∠AOB的頂點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，使∠AOC:∠BOC=5:4.(1)若∠AOB=18°，求∠AOC與∠BOC的度數(shù)；(2)若∠AOB=m°，求∠AOC與∠BOC的度數(shù).
思路點(diǎn)撥：當(dāng)題目中包含多種可能的情況時，應(yīng)根據(jù)可能出現(xiàn)的所有情況進(jìn)行分類，要做到無遺漏、無重復(fù).
答案：(1)第一種情形:OC在∠AOB的外部，
可設(shè)∠AOC=5x，∠BOC=4x，
則∠AOB=∠AOC-∠BOC=x，即x=18°.
∴∠AOC=90°，∠BOC=72°.
第二種情形:OC在∠AOB的內(nèi)部，
可設(shè)∠AOC=5x，∠BOC=4x，
則∠AOB=∠AOC+∠BOC=9x，
∴9x=18°，即x=2°.
∴∠AOC=10°，∠BOC=8°.
(2)∠AOC=5m°，∠BOC=4m°.或∠AOC= m°，∠BOC= m°.
知識點(diǎn)三、尺規(guī)作圖
10．只用無刻度直尺就能作出的是( )
A.延長線段AB至C，使BC=AB； B.過直線 上一點(diǎn)A作 的垂線
C.作已知角的平分線； D.從點(diǎn)O再經(jīng)過點(diǎn)P作射線OP
解析：A中直尺應(yīng)有刻度或利用尺規(guī)作圖，B、C是尺規(guī)作圖，但還需要圓規(guī).應(yīng)選D.
11．已知線段N，畫一條線段AC=N 的步驟是: 第一步:____________，第二步:_____________，AC就是所要畫的線段.
考點(diǎn)：這是尺規(guī)作圖作一條線段等于已知線段的步驟，必須掌握.
答案: 第一步:作射線AP；第二步:在射線AP上，以A為圓心，以N為長為半徑截取AC=N.
舉一反三：
【變式1】如圖所示，請把線段AB四等分，簡述步驟.
考點(diǎn)：作線段AB的垂直平分線的方法.
作法：步驟:(1)作AB的垂直平分線N，交AB于O1；(2)作O1A的垂直平分線EF交AB于O2；(3)作O1B的垂直平分線GH交AB于O3，則O1、O2、O3即為線段AB的四等分點(diǎn).
12．如圖所示，在圖中作出點(diǎn)C，使得C是∠ON平分線上的點(diǎn)，且AC=OA， 并簡述步驟.
思路點(diǎn)撥：用尺規(guī)作圖作已知角的平分線，再用圓規(guī)截取AC=OA.
作法: 作法如下:
(1)作∠ON的平分線OB；
(2)以A點(diǎn)為圓心，以O(shè)A為半徑畫弧交OB于C，連結(jié)AC，則C點(diǎn)即為所求.
總結(jié)升華：用尺規(guī)作圖中直尺只起到畫線(直線、射線、線段)的作用.而不能用量取.
舉一反三：
【變式1】如圖所示，已知∠AOB和兩點(diǎn)、N，畫一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到∠AOB的兩邊距離相等，且P=PN，簡述步驟.
考點(diǎn)：角平分線定理和垂直平分線定理.
作法:
(1)作∠AOB的平分線OC；
(2)連結(jié)N，并作N的垂直平分線EF，交OC于P，連結(jié)P、PN，則P點(diǎn)即為所求.
知識點(diǎn)四、相交線、平行線
13．（1）（2010湖北襄樊）如圖1，已知直線AB//CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE=150°，則∠C的度數(shù)為（ ）
A．150° B．130° C．120° D．100°
圖1．
答案：C
（2）如圖，AD∥BC，AC與BD相交于O，則圖中相等的角有_________對.
思路點(diǎn)撥：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線相交，所得的對頂角相等.
解析：∵AD∥BC ∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，
不要忽略對頂角相等：∠AOB=∠COD，∠AOD=∠BOC，故應(yīng)填4對.
14．（1）如圖所示，下列條中，不能判斷 的是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180°
考點(diǎn)：平行線的判定.
解析：根據(jù)平行線的判定，A中∠1和∠3是內(nèi)錯角；C中∠4和∠5是同位角；D中∠2和∠4是同旁內(nèi)角.不難得到：∠2=∠3不能判斷 .應(yīng)選B.
�。�2）（2010福建寧德）如圖，把一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，如果∠1=35°，那么∠2是_______°．
考點(diǎn)：平行線的性質(zhì).
答案：55
舉一反三：
【變式1】(1)如圖，若AB∥CD，則∠A、∠E、∠D之間的關(guān)系是( ).
A.∠A+∠E+∠D=180° B.∠A-∠E+∠D=180°
C.∠A+∠E-∠D=180° D.∠A+∠E+∠D=270°
(2)如圖所示， ∥ ，∠1=120°，∠2=100°，則∠3=( ).
A.20° B.40° C.50° D.60°
考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)
思路點(diǎn)撥：通過觀察圖形，可作出一條輔助線，從而把問題化難為易.
(1) (2)
解析：(1)如(1)圖，過E作EF∥AB，則也平行于CD，∴∠A+∠AEF=180° ∠FED=∠D
∴∠A+∠AEF=∠A+∠AED-∠D=180°，故選C.
(2)如(2)圖，過O作 ，則OB也平行于 ，∴∠1+∠BOC=180°，∠3=∠AOB，
∴∠BOC=180°-∠1=180°-120°=60°，∴∠3=∠AOB=∠2-∠BOC=100°-60°=40°.
15．（1）兩平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線( )
A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.相交
考點(diǎn)：平行線的性質(zhì)和判定.
思路點(diǎn)撥：利用平行線的性質(zhì)和判定，結(jié)合角平分線的定義解決問題.如圖，a∥b，所以同位角相等；所以同位角的一半也相等，即∠1=∠2，所以同位角的平分線互相平行.
答案：選B.
�。�2）(2010重慶市)如圖，點(diǎn)B是△ADC的邊AD的延長線上一點(diǎn)，DE∥BC，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，則∠CDB的度數(shù)等于（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
思路點(diǎn)撥：由DE∥BC，得∠CDE＝∠C＝50°，所以∠CDB=∠CDE+∠BDE=110°
答案：C
舉一反三：
【變式1】如圖，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，求∠EDC的度數(shù).
思路點(diǎn)撥：由平行線的性質(zhì)和角平分線定義求出結(jié)果.
解：∵DE∥BC，∠AED=80°
∴∠ACB=∠AED=80° ∠EDC=∠DCB
∵CD平分∠ACB
∴∠DCB= ∠ACB =40°
∴∠EDC=∠DCB.
【變式2】如圖，已知AB∥CD ，∠DAB=∠DCB，AE平分∠DAB，且交BC于E，CF平分∠DCB，且交AD于F.求證: AE∥FC.
思路點(diǎn)撥：這類問題可由題設(shè)出發(fā)找結(jié)論，也可由結(jié)論出發(fā)找題設(shè).
證明：∵AB∥CD ∴∠ABC+∠BCD=180°
∵∠DAB=∠BCD ∴∠ABC+∠DAB=180°
∴AD∥BC ∴∠DAE=∠BEA
∵AE平分∠DAB，CF平分∠DCB
∴∠DAE= ∠DAB，∠FCB= ∠BCD
∴∠DAE=∠FCB ∴∠BEA =∠FCB
∴AE∥FC.
【變式3】已知：如圖，CB⊥AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，并且∠1+∠2=90°，
求證：DA⊥AB.
思路點(diǎn)撥：這考查學(xué)生整體考慮問題的能力，可以從已知推出結(jié)論，也可以從結(jié)論入手，找出和已知相對應(yīng)的條.
證明：∵CE平分∠BCD，DE平分∠CDA
∴∠1= ∠ADC，∠2= ∠BCD
∵∠1+∠2=90°
∴∠ADC+∠BCD=180° ∴AD∥BC ∴∠A+∠B=180°
∵CB⊥AB ∴∠B=90° ∴∠A=180°-∠B=180°-90°=90° ∴DA⊥AB.
【變式4】求證：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角的平分線互相平行.
思路點(diǎn)撥:考查學(xué)生解決這種證明題要先根據(jù)題意畫出圖形，再改寫成已知、求證的幾何語言形式的命題.
已知：如圖，AB∥CD，EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線.
求證：EG∥FR.
證明：∵AB∥CD(已知)
∴∠BEF=∠EFC(兩直線平行，內(nèi)錯角相等)
∵EG、FR分別是∠BEF、∠EFC的平分線(已知)
∴2∠1=∠BEF，2∠2=∠EFC(角平分線定義)
∴2∠1=2∠2(等量代換)
∴∠1=∠2(等式性質(zhì))
∴EG∥FR(內(nèi)錯角相等，兩直線平行)
知識點(diǎn)五、命題、定理
16．（1）（2010浙江溫州）下列命題中，屬于假命題的是( )
A．三角形三個內(nèi)角的和等于l80° B．兩直線平行，同位角相等
C．矩形的對角線相等 D．相等的角是對頂角．
答案：D
（2）判斷下列語句是不是命題
�、傺娱L線段AB( )
�、趦蓷l直線相交，只有一交點(diǎn)( )
�、郛嬀�段AB的中點(diǎn)( )
④若x=2，則x=2( )
�、萁瞧椒志�是一條射線( )
思路點(diǎn)撥：本題考查學(xué)生理解命題的概念，判斷語句是否是命題有兩個關(guān)鍵，首先觀察是不是一個完整的句子，再觀察是否作出判斷.
解析：①兩個語句都沒有作出判斷.
答案：①不是 ②是 ③不是 ④是 ⑤是.
舉一反三：
【變式1】下列語句不是命題的是( )
A.兩點(diǎn)之間，線段最短 B.不平行的兩條直線有一個交點(diǎn)
C.x與y的和等于0嗎？ D.對頂角不相等.
解析:理解命題概念，C答案雖然是句子，但沒有作出判斷，D答案是假命題但也是命題.故選C.
17．下列命題中真命題是( )
A.兩個銳角之和為鈍角 B.兩個銳角之和為銳角
C.鈍角大于它的補(bǔ)角 D.銳角小于它的余角
思路點(diǎn)撥：命題分為真命題、假命題.正確的命題是真命題，錯誤的命題是假命題.
解析：A、B中兩個銳角之和可能是銳角、直角和鈍角；D中的銳角不一定小于它的余角，如50° 的余角是40°.應(yīng)選C
舉一反三：
【變式1】命題：①對頂角相等；②垂直于同一條直線的兩直線平行；③相等的角是對頂角；④同位角相等.其中假命題有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
解析：③中，應(yīng)掌握相等的角不一定是對頂角，但對頂角一定相等；④中只有兩平行直線被第三條直線所截，同位角才能相等.故③④是假命題.應(yīng)選B.
18．分別寫出下列各命題的題設(shè)和結(jié)論.
(1)如果a∥b，b∥c，那么a∥c；
(2)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
思路點(diǎn)撥：命題分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，可以寫成“如果……，那么……”的形式.
答案：(1)題設(shè)：a∥b，b∥c，結(jié)論：a∥c；
(2)題設(shè)：兩條直線被第三條直線所截得的同旁內(nèi)角互補(bǔ)，
結(jié)論：這兩條直線平行.
舉一反三：
【變式1】分別把下列命題寫成“如果……，那么……”的形式.
(1)兩點(diǎn)確定一條直線； (2)等角的補(bǔ)角相等； (3)內(nèi)錯角相等.
答案：(1)如果有兩個定點(diǎn)，那么過這兩點(diǎn)有且只有一條直線
(2)如果兩個角分別是兩個等角的補(bǔ)角，那么這兩個角相等.
(3)如果兩個角是內(nèi)錯角，那么這兩個角相等.
中考題萃
一、考試目標(biāo)：
了解直線、射線、線段的概念和性質(zhì)以及表示方法，掌握三者之間的區(qū)別和聯(lián)系，會解決與線段有關(guān)的實(shí)際問題；了解角的概念和表示方法，會把角進(jìn)行分類以及角的度量和計(jì)算；掌握相交線、平行線的定義，理解所形成的各種角的特點(diǎn)、性質(zhì)和判定；了解命題的定義、結(jié)構(gòu)、表達(dá)形式和分類，會簡單的證明有關(guān)命題.
二、中考真題：
1.（2010東威海）如圖，在△ABC中，∠C＝90°．若BD∥AE，∠DBC＝20°，則∠CAE的度數(shù)是（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
2．(巴中市)如圖，“?”是電視機(jī)常用尺寸，1?約為大拇指第一節(jié)的長，則7?長相當(dāng)于( )
A.一支粉筆的長度 B.桌的長度
C.黑板的寬度 D.數(shù)學(xué)本的長度
3．(青海省西寧市)(3分)如果 和 互補(bǔ)，且 ，則下列表示 的余角的式子中：
�、� ；② ；③ ；④ .正確的有( )
A.4個 B.3個 C.2個 D.1個
4．(湖南省湘西自治州)(3分)如圖，直線AB、CD相交于O點(diǎn)，若 ，則∠2、∠3的度數(shù)分別為( )
A.120°、60° B.130°、50°
C.140°、40° D.150°、30°
5．（2010四川內(nèi)江）將一副三角板如圖放置，使點(diǎn)A在DE上，BC∥DE，則∠AFC的度數(shù)為（ ）
A．45° B．50° C．60° D．75°
6．(四川樂市)(3分)如圖，直線 相交于點(diǎn)O，O⊥ ，若 ，則 等于( )
A.56° B.46° C.45° D.44°
7．(海南省)(2分)如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，∠1=80°，如果DE∥AB，那么∠D的度數(shù)為( )
A. 80° B. 90° C. 100° D. 110°
8．(湖北省荊州市)(3分) 將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，下列結(jié)論：(1)∠1=∠2；
(2)∠3=∠4；(3)∠2+∠4=90°；(4)∠4+∠5=180°，其中正確的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9．(四川宜賓市)(3分)如圖，AB∥CD，直線PQ分別交AB、CD于點(diǎn)F、E，EG是∠FED的平分線，交AB于點(diǎn)
G. 若∠QED=40°，那么∠EGB等于( )
A. 80° B. 100° C. 110° D．120°
10．(綿陽市)(3分)已知，如圖，∠1=∠2=∠3=55°，則∠4的度數(shù)等于( )
A.115° B.120° C.125° D.135°
11．(新疆自治區(qū))(5分)如圖，下列推理不正確的是( )
A.∵AB∥CD ∴∠ABC+∠C=180° B.∵∠1=∠2 ∴AD∥BC
C.∵AD∥BC ∴∠3=∠4 D.∵∠A+∠ADC=180° ∴AB∥CD
12．（2010 東荷澤）如圖，直線PQ∥N，C是N上一點(diǎn)，CE交PQ于A，CF交PQ于B，且∠ECF＝90°，
如果∠FBQ＝50°，則∠EC的度數(shù)為（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
13. （2010江西）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，則∠ABC+∠BCD＝
_____________度．
14．(湖南省株洲市)(3分)已知A、B、C三點(diǎn)在同一條直線上，、N分別為線段AB、BC的中點(diǎn)，且
AB=60，BC=40，則N的長為___________.
15．(內(nèi)蒙古)(3分)已知： ，則 的補(bǔ)角是_________度.
16．(湖南省)(3分)如圖， 與 相交于點(diǎn) ， ， ，則 _____度.
17．(廣州)(3分)如圖，∠1=70°，若m∥n，則∠2=________.
18．(寧夏回族自治區(qū))(3分)如圖，AB∥CD， AC⊥BC，∠BAC =65°，則∠BCD=________度.
19．(浙江義烏)(5分)如圖，若 ， 與 分別相交于點(diǎn) ， 與 的平
分線相交于點(diǎn) ，且 ， ________度.
20．(湛江市)(4分)如圖，請寫出能判定CE∥AB的一個條_________.
21．(四川省資陽市)如圖，在地面上有一個鐘，鐘面的12個粗線段刻度是整點(diǎn)時時針(短針)所指的位
置.根據(jù)圖中時針與分針(長針)所指的位置，該鐘面所顯示的時刻是______時_______分.
22．(湖北省襄樊市)(3分)如圖，在銳角 內(nèi)部，畫1條射線，可得3個銳角；畫2條不同射線，可
得6個銳角；畫3條不同射線，可得10個銳角；……照此規(guī)律，畫10條不同射線，可得銳角_____個.
23．(杭州市)如圖， 已知 ， 用直尺和圓規(guī)求作一個 ， 使得 .
(只須作出正確圖形， 保留作圖痕跡， 不必寫出作法)
24. （2010廣東茂名）如圖，梯子的各條橫檔互相平行，若∠1=70o，則∠2的度數(shù)是（ ）
A．80o B．110o C．120o D．140o
答案解析：
1.C 2.D 3.B 4.D 5.D 6.B 7.C 8.D 9. C 10.C 11.C 12.C
13.270° 14．10或50 15．120 16．36° 17．70° 18．25 19．60
20．∠CDE=∠A、∠BCE=∠B、∠ACE+∠A=180°(不唯一) 21．9，12 22．66
23．作圖如下， 即為所求作的 .
24.B
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