九年級數(shù)學(xué)競賽避免漏解的奧秘輔導(dǎo)教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)



“會而不對,對而不全”,這是許多同學(xué)在解題時無法避免而又屢犯不止的錯誤,提高解題周密性,避免漏解的奧秘在于:掌握分類討論法,學(xué)會分類討論.
分類討論就是按照一定的標(biāo)準(zhǔn),把研究對象分成幾個部分或幾種情況,然后逐個加以解決,最后予以總結(jié)作出結(jié)論的思想方法,其實(shí)質(zhì)是化整為零、各個擊破的轉(zhuǎn)化策略.
解題時何時需要進(jìn)行分類?一般說,當(dāng)問題包含的因素發(fā)生變化,問題結(jié)果也相應(yīng)發(fā)生變化,我們就需要對這一關(guān)鍵因素分類討論,怎樣進(jìn)行正確分類?分類的基本要求是不重復(fù)、不遺漏,每次分類必須保持同一的分類標(biāo)準(zhǔn),多級討論,逐級進(jìn)行.
【例題求解】
【例1】 四條線段的長分別為9,5, ,1(其中 為正實(shí)數(shù)),用它們拼成兩個直角三角形,且AB與CD是其中 的兩條線段(如圖),則 可取值的個數(shù)為 .
( “信利杯”競賽題)
注:初中數(shù)學(xué)常見的分類方法有:
(1)按定義、性質(zhì)、法則、公式分類;
(2)對參數(shù)分類;
(3)按圖形位置分類;
(4)按圖形特征分類;
(5)按余數(shù)分類.
注:參數(shù)是較為常見的分類對象,因?yàn)閰?shù)的不同取值,可能導(dǎo)致不同的運(yùn)算結(jié)果,或者必須使用不同的方法去解決,這一分類方法在方程、不等式、函數(shù)中有廣泛的應(yīng)用.
【例2】 方程 的所有整數(shù)解的個數(shù)是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
(東省選拔賽試題)
思路點(diǎn)撥 這是一個特殊的冪指數(shù)方程問題,根據(jù)冪指數(shù)的意義,可將原問題分成三個并列的簡單問題求解:(1)非零實(shí)數(shù)的零次冪等于1;(2)1的任何次冪等于1;(3) 的偶次冪等于1.


【例3】 試確定一切有理數(shù) ,使得關(guān)于 的方程 有根且只有整數(shù)根.
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)
思路點(diǎn)撥 根據(jù)方程定義, 是否為零影響方程的次數(shù),這是質(zhì)的不同,解法也不同,所以,應(yīng)對r=0及 ≠0兩種情況分類求解.

【例4】 已知一三角形紙片ABC,面積為25,BC邊的長為10,∠B和∠C都為銳角,為AB邊上的一動點(diǎn)(與點(diǎn)A、B不重合).過點(diǎn)作N∥BC,交AC于點(diǎn)N.設(shè)N= .
(1)用 表示△AN的面積S△AN;
(2)用△AN沿N折疊,使△AN緊貼四邊形BCN(邊A、AN落在四邊形BCN所在的平面內(nèi)),設(shè)點(diǎn)A落在平面BCN內(nèi)的點(diǎn)為A′,△A′N與四邊形BCN重疊部分的面積為 .①試求出 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量 的取值范圍;②當(dāng) 為何值時重疊部分的面積 最大,最大為多少?
(蘇州市中考題)
思路點(diǎn)撥 折疊△AN,A點(diǎn)位置不確定,可能在△ABC內(nèi)或在BC邊上或在△ABC外,故需按以上三種情況分別求出 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而求出 的最大值.

注:有關(guān)平面幾何問題,經(jīng)常按圖形相互之間的位置進(jìn)行分類,因?yàn)閳D形存在不同的位置關(guān)系,其解答結(jié)果可能不同,也可能需要使用不同的方法解決,初中平面幾何按位置關(guān)系分類,最終一般都?xì)w結(jié)為點(diǎn)、直線和圓之間的位置關(guān)系.
【例5】 已知⊙Ol與⊙O2外切,⊙Ol的半徑R=2,設(shè)⊙O2的半徑是r.
(1)如果⊙Ol與⊙O2的圓心距d=4,求r的值;
(2)如果⊙Ol、⊙O2的公切線中有兩條互相垂直,并且r≤R,求r的值.
(南京市中考題)
思路點(diǎn)撥 題中沒有給出圖形,題設(shè)中外切兩圓的公切線中有兩條互相垂直,情況不惟一,故應(yīng)分類討論.


注:中考壓軸題分類討論有以下常見情形:
(1)由點(diǎn)的不確定定引起的分類討論;
(2)由圖形全 等或相似的對應(yīng)關(guān) 系的不確定性引起的分類討論;
(3)由圖形運(yùn)動導(dǎo)致圖形之間位置發(fā)生變化引起的分類討論.
學(xué)力訓(xùn)練
1.已知m為實(shí)數(shù),如果函數(shù) 的圖象與 軸只有一個交點(diǎn),那么m的取值為 .
2.若實(shí)數(shù) 、 滿足 , ,則 的值為 .
3.若半徑為5和4的兩個圓相交,且公共弦長為6,則它們的圓心距等于 .
4.已知⊙O和不在⊙O上的一點(diǎn)P,過P直線交⊙O于A、B點(diǎn),若PA•PB=4,OP=5,則⊙O的半徑為 .
5.和拋物線 只有一個公共點(diǎn)(-1,-1)的直線解析式為( )
A. B. C. 或 D.
6.若線段AB兩端點(diǎn)到直線 的距離分別為4和8,則AB的中點(diǎn)到直線 的距離是( )
A.2 B.4 C.6 D.2或6
7.點(diǎn)A(-4,0),B(2,0)是 坐標(biāo)平面上兩定點(diǎn),C是 的圖象上的動點(diǎn),則滿足上述條的直角△ABC可以畫出( )
A.1個 B.2個 C. 3個 D.4個
8.如圖,在直角梯形ABCD中,AB=7,AD=2,BC=3,如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似,那么這樣的P點(diǎn)有( )
A.1個 B. 2個 C.3個 D.4個


9.已知關(guān)于 的方程 .
(1)求證:無論 是取何實(shí)數(shù)值,方程總有實(shí)數(shù)根;
(2)若等腰三角形ABC的一邊長 ,另兩邊長為 、 恰 好是這個方 程的兩個根,求此三角形的周長.
(湖北賽區(qū)選拔賽試題)
10.已知:如圖,拋物線C1經(jīng)過A,B,C三點(diǎn),頂點(diǎn)為D,且與x軸的另一個交點(diǎn)為E.
(1)求拋物線C1的解析式;
(2)求四邊形ABCD的面積;
(3)△AOB與△BDE是否相似,如果相似,請予以證明;如果 不相似,請說明理由;
(4)設(shè)拋物線C1的對稱軸與x軸交于點(diǎn)F,另一條拋物線C2經(jīng)過點(diǎn)E(拋物線C2與拋物線C1不重合),且頂點(diǎn)為(a,b),對稱軸與x軸相交于點(diǎn)G,且以,G,E為頂點(diǎn)的三角形與以D,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形全等,求a,b的值(只需寫出結(jié)果,不必寫出解答過程)
(黃岡市中考題)

11.以O(shè)為圓心的兩個同心圓的半徑分別為9cm和5cm,⊙O′與這兩個圓都相切,則⊙O′的半徑是 .
12.在△ABC中,AB=AC,AB的中垂線與AC所在 直線相交所得的銳角為50°,則底角B的大小為 .
13.如圖,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,若以C為圓心,R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點(diǎn),則R的取值范圍是 .
(北京市宣武區(qū)中考題)

14.已知點(diǎn)A(0,6),B(3,0),C(2,0),(0,m),其中m<6,以為圓心,C為半徑作圓,那么當(dāng)m= 時,⊙與直線AB相切.
15.關(guān)于 的方程 有有理根,求整數(shù)是的值.
(東賽區(qū)選拔賽試題)
16.華鑫超市對顧客實(shí)行優(yōu)惠購物,規(guī)定如下:
(1)若一次購物少于200元,則不予優(yōu)惠;
(2)若一次購物滿200元,但不超過500元,按標(biāo)價給予九折優(yōu)惠;
(3)若一次購物 超過500元,其中500元的部分給予九折優(yōu)惠,超過500元部分給予八折優(yōu)惠.
小明兩次去該超市購物,分別付款198元與554元,現(xiàn)在小亮決定一次去購買小明分兩次購買的同樣多的物品,他需付款多少?
(江蘇省競賽題)
17.如圖,已知:△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,PQ∥AB,P點(diǎn)在AC上(與點(diǎn)A、C不重合),Q點(diǎn)在BC上.
(1)當(dāng)△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時,求CP的長;
(2)當(dāng)△PQC的 周長與四邊形PABQ的周長相等時,求CP的長;
(3)試問:在AB上是否存在點(diǎn),使得△PQ為等腰直角三角形 ?若不存在,請簡要說明理由;若存在,請求出PQ的長.


18.已知關(guān)于 的方程 (q≥0)的兩個實(shí)數(shù)根為 , 且 ≤ .
(1)試用含有 , 的代數(shù)式表示 和 ;
(2)求證: ≤1≤
(3)若以 , 為坐標(biāo)的點(diǎn)( , )在△ABC的三條邊上運(yùn)動,且△ABC頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1,2),B( ,1),C(1,1),問是否存在點(diǎn)使 + = ,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(天津市中考題)
19.某蔬菜基地種植西紅柿,由歷年市場行情得知,從2月1日起的300天內(nèi),西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖甲的一條折線表示;西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖乙表示的拋物線段表示.
(1)寫出圖甲表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系 ;寫出圖乙表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式 .
(2)認(rèn)定市場售價減去 種植成本為純收益,問何時上市的西紅柿純收益最大?(注:市場售價和種植成本的單位:元/102?,時間單位:天)

參考答案




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