第二十五 概率
題： 25.1 隨機事
目標：
知識技能目標
了解必然發(fā)生的事、不可能發(fā)生的事、隨機事的特點.
數(shù)學思考目標
學生經(jīng)歷體驗、操作、觀察、歸納、總結的過程,發(fā)展學生從紛繁復雜的表
象中，提煉出本質(zhì)特征并加以抽象概括的能力.
解決問題目標
能根據(jù)隨機事的特點,辨別哪些事是隨機事.
情感態(tài)度目標
引領學生感受隨機事就在身邊,增強學生珍惜機會，把握機會的意識.
重點：
隨機事的特點.
教學難點：
判斷現(xiàn)實生活中哪些事是隨機事.
教學過程
<活動一>
【問題情境】
摸球游戲
三個不透明的袋子均裝有10個乒乓球.挑選多名同學參加游戲.
游戲規(guī)則
每人每次從自己選擇的袋子中摸出一球,記錄下顏色,放回,攪勻,重復前面的試驗.每人摸球5次.按照摸出黃色球的次數(shù)排序,次數(shù)最多的為第一名,其次為第二名,最少的為第三名.
【師生行為】
教師事先準備的三個袋子中分別裝有10個白色的乒乓球；5個白色的乒乓球和5個黃色的乒乓球；10個黃色的乒乓球.
學生積極參加游戲,通過操作和觀察,歸納猜測出在第1個袋子中摸出黃色球是不可能的,在第2個袋子中能否摸出黃色球是不確定的,在第3個袋子中摸出黃色球是必然的.
教師適時引導學生歸納出必然發(fā)生的事、隨機事、不可能發(fā)生的事的特點.
【設計意圖】
通過生動、活潑的游戲,自然而然地引出必然發(fā)生的事、隨機事和不可能發(fā)生的事,不僅能夠激發(fā)學生的學習興趣,并且有利于學生理解.能夠巧妙地實現(xiàn)從實踐認識到理性認識的過渡.
<活動二>
【問題情境】
指出下列事中哪些是必然發(fā)生的,哪些是不可能發(fā)生的，哪些是隨機事？
1.通常加熱到100°C時，水沸騰；
2.姚明在罰球線上投籃一次，命中；
3.擲一次骰子，向上的一面是6點；
4.度量三角形的內(nèi)角和，結果是360°；
5. 經(jīng)過城市中某一有交通信號燈的路口，遇到紅燈；
6.某射擊運動員射擊一次，命中靶心；
7.太陽東升西落；
8.人離開水可以正常生活100天；
9.正月十五雪打燈；
10.宇宙飛船的速度比飛機快.
【師生行為】
教師利用多媒體演示問題,使問題情境更具生動性.
學生積極思考,回答問題,進一步夯實必然發(fā)生的事、隨機事和不可能發(fā)生的事的特點.在比較充分的感知下，達到加深理解的目的.
教師在學生完成問題后應注意引導學生發(fā)現(xiàn)在我們生活的周圍大量地存在著隨機事.
【設計意圖】
引領學生經(jīng)歷由實踐認識到理性認識再重新認識實踐問題的過程, 同時引入一些常識問題,使學生進一步感悟數(shù)學是認識客觀世界的重要工具.
<活動三>
【問題情境】
情境1
5名同學參加講演比賽,以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序.簽筒中有5根形狀、大小相同的紙簽,上面分別標有出場的序號1,2,3,4,5.小軍首先抽簽,他在看不到紙簽上的數(shù)字的情況下從簽筒中隨機地抽取一根紙簽.
情境2
小偉擲一個質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上分別刻有1到6的點數(shù).
在具體情境中列舉不可能發(fā)生的事、必然發(fā)生的事和隨機事.
【師生行為】
學生首先獨立思考,再把自己的觀點和小組其他同學交流,并提煉出小組成員列舉的主要事，在全班發(fā)布.
【設計意圖】
開放性的問題有利于培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維,也有利于學生加深對學習內(nèi)容的理解.
<活動四>
【問題情境】
請你列舉一些生活中的必然發(fā)生的事、隨機事和不可能發(fā)生的事.
【師生行為】
教師引導學生充分交流，熱烈討論.
【設計意圖】
隨機事在現(xiàn)實世界中廣泛存在.通過讓學生自己找到大量豐富多彩的實例，使學生從不同側(cè)面、不同視角進一步深化對隨機事的理解與認識.
<活動五>
【問題情境】
李寧運動品牌打出的口號是“一切皆有可能”，請你談談對這句話的理解.
【師生行為】
教師注意引導學生獨立思考,交流合作,提升學生對問題的理解與判斷能力.
【設計意圖】
有意識地引領學生從數(shù)學的角度重新審視現(xiàn)實世界，初步感悟辯證統(tǒng)一的思想.
<活動六>
【問題情境】
歸納、小結
布置作業(yè)
設計一個摸球游戲,要求對甲乙公平.
【師生行為】
學生反思、討論. 學生在設計游戲的過程中，進一步感悟隨機事的特點.作業(yè)的開放性為學生創(chuàng)設了更大的學習空間.
【設計意圖】
堂小結采取學生反思匯報形式,幫助學生形成較完整的認知結構.作業(yè)使堂內(nèi)容得以豐富和延展.
教 學 設 計 說 明

現(xiàn)實生活中存在著大量的隨機事，而概率正是研究隨機事的一門學科.本是“概率初步”一的第一節(jié).教學中，教師首先以一個學生喜聞樂見的摸球游戲為背景，通過試驗與分析，使學生體驗有些事的發(fā)生是必然的、有些是不確定的、有些是不可能的，引出必然發(fā)生的事、隨機事、不可能發(fā)生的事.然后，通過對不同事的分析判斷，讓學生進一步理解必然發(fā)生的事、隨機事、不可能發(fā)生的事的特點.結合具體問題情境，引領學生設計提出必然發(fā)生的事、隨機事、不可能發(fā)生的事，具有相當?shù)拈_放度，鼓勵學生的逆向思維與創(chuàng)新思維，在一定程度上滿足了不同層次學生的學習需要.
做游戲是學習數(shù)學最好的方法之一，根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教師設計了摸球游戲，力求引領學生在游戲中形成新認識，學習新概念，獲得新知識，充分調(diào)動了學生學習數(shù)學的積極性，體現(xiàn)了學生學習的自主性.在游戲中參與數(shù)學活動，在游戲中分析、歸納、合作、思考，領悟數(shù)學道理.在快樂輕松的學習氛圍中，顯性目標和隱性目標自然達成,在一定程度上,開創(chuàng)了一個嶄新的數(shù)學堂教學模式.
題: 25.1.2 概率的意義
教學目標:
〈一〉知識與技能
1.知道通過大量重復試驗時的頻率可以作為事發(fā)生概率的估計值
2.在具體情境中了解概率的意義
〈二〉教學思考
讓學生經(jīng)歷猜想試驗--收集數(shù)據(jù)--分析結果的探索過程，豐富對隨機現(xiàn)象的體驗，體會概率是描述不確定現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學模型.初步理解頻率與概率的關系.
〈三〉解決問題
在分組合作學習過程中積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展學生合作交流的意識與能力.鍛煉質(zhì)疑、獨立思考的習慣與精神，幫助學生逐步建立正確的隨機觀念.
〈四〉情感態(tài)度與價值觀
在合作探究學習過程中，激發(fā)學生學習的好奇心與求知欲.體驗數(shù)學的價值與學習的樂趣.通過概率意義教學，滲透辯證思想教育.
【教學重點】在具體情境中了解概率意義.
【教學難點】對頻率與概率關系的初步理解
【教具準備】壹元硬幣數(shù)枚、圖釘數(shù)枚、多媒體
【教學過程】
一、創(chuàng)設情境，引出問題
教師提出問題：周末市體育場有一場精彩的籃球比賽，老師手中只有一張球票，小強與小明都是班里的籃球迷，兩人都想去.我很為難，真不知該把球給誰.請大家?guī)臀蚁雮�辦法決定把球票給誰.
學生：抓鬮、抽簽、猜拳、投硬幣，……
教師對同學的較好想法予以肯定.（學生肯定有許多較好的想法，在眾多方法中推舉出大家較認可的方法.如抓鬮、投硬幣）
追問，為什么要用抓鬮、投硬幣的方法呢？
由學生討論：這樣做公平.能保證小強與小明得到球票的可能性一樣大
在學生討論發(fā)言后，教師評價歸納.
用拋擲硬幣的方法分配球票是個隨機事，盡管事先不能確定“正面朝上”還上“反面朝上”，但同學們很容易感覺到或猜到這兩個隨機事發(fā)生的可能性是一樣的，各占一半，所以小強、小明得到球票的可能性一樣大.
質(zhì)疑：那么，這種直覺是否真的是正確的呢？
引導學生以投擲壹元硬幣為例，不妨動手做投擲硬幣的試驗驗證一下.
說明：現(xiàn)實中不確定現(xiàn)象是大量存在的， 新標指出：“學生數(shù)學學習內(nèi)容應當是現(xiàn)實的、有意義、富有挑戰(zhàn)的”，設置實際生活問題情境貼近學生的生活實際，很容易激發(fā)學生的學習熱情，教師應對此予以肯定，并鼓勵學生積極思考，為堂教學營造民主和諧的氣氛，也為下一步引導學生開展探索交流活動打下基礎.
二 、動手實踐，合作探究
1．教師布置試驗任務.
（1）明確規(guī)則.
把全班分成10組，每組中有一名學生投擲硬幣，另一名同學作記錄，其余同學觀察試驗必須在同樣條下進行.
（2）明確任務，每組擲幣50次，以實事求是的態(tài)度，認真統(tǒng)計“正面朝上” 的頻數(shù)及 “正面朝上”的頻率，整理試驗的數(shù)據(jù),并記錄下..
2．教師巡視學生分組試驗情況.
注意：
（1）．觀察學生在探究活動中，是否積極參與試驗活動、是否愿意交流等，關注學生是否積極思考、勇于克服困難.
（2）．要求真實記錄試驗情況.對于合作學習中有可能產(chǎn)生的紀律問題予以調(diào)控.
3.各組匯報實驗結果.
由于試驗次數(shù)較少，所以有可能有些組試驗獲得的“正面朝上”的頻率與先前的猜想有出入.
提出問題：是不是我們的猜想出了問題？引導學生分析討論產(chǎn)生差異的原因.
在學生充分討論的基礎上，啟發(fā)學生分析討論產(chǎn)生差異的原因.使學生認識到每次隨機試驗的頻率具有不確定性，同時相信隨機事發(fā)生的頻率也有規(guī)律性， 引導他們小組合作，進一步探究.
解決的辦法是增加試驗的次數(shù)，鑒于堂時間有限，引導學生進行全班交流合作.
4．全班交流.
把各組測得數(shù)據(jù)一一匯報，教師將各組數(shù)據(jù)記錄在黑板上.全班同學對數(shù)據(jù)進行累計，按照書上P140要求填好25-2.并根據(jù)所整理的數(shù)據(jù)，在25.1-1圖上標注出對應的點,完成統(tǒng)計圖.

表25-2
拋擲次數(shù) 50100150200250300350400450500
“正面向上”的頻數(shù)
“正面向上”的頻率

想一想1（投影出示）. 觀察統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖，你發(fā)現(xiàn)“正面向上”的頻率有什么規(guī)律？
注意學生的語言表述情況，意思正確予以肯定與鼓勵.“正面朝上”的頻率在0.5上下波動.
想一想2（投影出示）
隨著拋擲次數(shù)增加，“正面向上”的頻率變化趨勢有何規(guī)律？
在學生討論的基礎上，教師幫助歸納.使學生認識到每次試驗中隨機事發(fā)生的頻率具有不確定性，同時發(fā)現(xiàn)隨機事發(fā)生的頻率也有規(guī)律性.在試驗次數(shù)較少時，“正面朝上”的頻率起伏較大，而隨著試驗次數(shù)的逐漸增加，一般地，頻率會趨于穩(wěn)定，“正面朝上”的頻率越越接近0.5. 這也與我們剛開始的猜想是一致的.我們就用0.5這個常數(shù)表示“正面向上”發(fā)生的可能性的大小.
說明：注意幫助解決學生在填寫統(tǒng)計表與統(tǒng)計圖遇到的困難.通過以上實踐探究活動，讓學生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現(xiàn)的規(guī)律，即大量重復試驗事發(fā)生的頻率接近事發(fā)生的可能性的大小（概率）.鼓勵學生在學習中要積極合作交流，思考探究.學會傾聽別人意見，勇于表達自己的見解.

為了給學生提供大量的、快捷的試驗數(shù)據(jù),利用計算機模擬擲硬幣試驗的，豐富學生的體驗、提高堂教學效率，使他們能直觀地、便捷地觀察到試驗結果的規(guī)律性--大量重復試驗中，事發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)附近 .
其實，歷史上有許多著名數(shù)學家也做過擲硬幣的試驗.讓學生閱讀歷史上數(shù)學家做擲幣試驗的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表（看書P141表25-3）.
表25-3
試驗者拋擲次數(shù)（n）“正面朝上”次數(shù)（m）“正面向上”頻率（m/n）
棣莫弗204810610.518
布豐404020480.5069
費勒1000049790.4979
皮爾遜1200060190.5016
皮爾遜24000120120.5005

通過以上學生親自動手實踐,電腦輔助演示,歷史材料展示, 讓學生真實地感受到、清楚地觀察到試驗所體現(xiàn)的規(guī)律，大量重復試驗中，事發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)附近,即大量重復試驗事發(fā)生的頻率接近事發(fā)生的可能性的大�。ǜ怕剩�.同時,又感受到無論試驗次數(shù)多么大,也無法保證事發(fā)生的頻率充分地接近事發(fā)生的概率.
在探究學習過程中,應注意評價學生在活動中參與程度、自信心、是否愿意交流等，鼓勵學生在學習中不怕困難積極思考，敢于表達自己的觀點與感受,養(yǎng)成實事求是的科學態(tài)度.
5.下面我們能否研究一下“反面向上”的頻率情況？
學生自然可依照“正面朝上”的研究方法，很容易總結得出：“反面向上”的頻率也相應穩(wěn)定到0.5.
教師歸納：
（1）由以上試驗，我們驗證了開始的猜想，即拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時，“正面向上”與“反面向上”的可能性相等（各占一半）.也就是說，用拋擲硬幣的方法可以使小明與小強得到球票的可能性一樣.
（2）在實際生活還有許多這樣的例子，如在足球比賽中，裁判用擲硬幣的辦法決定雙方的比賽場地等等.
說明：這個環(huán)節(jié)，讓學生親身經(jīng)歷了猜想試驗——收集數(shù)據(jù)——分析結果的探索過程，在真實數(shù)據(jù)的分析中形成數(shù)學思考，在討論交流中達成知識的主動建構，為下一環(huán)節(jié)概率意義的教學作了很好的鋪墊.
三、評價概括，揭示新知
問題1.通過以上大量試驗，你對頻率有什么新的認識？有沒有發(fā)現(xiàn)頻率還有其他作用？
學生探究交流.發(fā)現(xiàn)隨機事的可能性的大小可以用隨機事發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的值（或常數(shù)）估計或去描述.
通過猜想試驗及探究討論，學生不難有以上認識.對學生可能存在語言上、描述中的不準確等注意予以糾正，但要求不必過高.
歸納：以上我們用隨機事發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)刻畫了隨機事的可能性的大小.
那么我們給這樣的常數(shù)一個名稱，引入概率定義.給出概率定義（板書）：一般地，在大量重復試驗中，如果事A發(fā)生的頻率 會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事A的概率（probability）, 記作P（A）= p.
注意指出：
1．概率是隨機事發(fā)生的可能性的大小的數(shù)量反映.
2．概率是事在大量重復試驗中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復試驗中事發(fā)生的頻率去估計得到事發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同.
想一想(學生交流討論)
問題2．頻率與概率有什么區(qū)別與聯(lián)系?
從定義可以得到二者的聯(lián)系, 可用大量重復試驗中事發(fā)生頻率估計事發(fā)生的概率.另一方面,大量重復試驗中事發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個常數(shù)(事發(fā)生的概率)附近，說明概率是個定值,而頻率隨不同試驗次數(shù)而有所不同,是概率的近似值,二者不能簡單地等同.
說明：猜想試驗、分析討論、合作探究的學習方式十分有益于學生對概率意義的理解，使之明確頻率與概率的聯(lián)系，也使本節(jié)教學重難點得以突破.為下節(jié)進一步研究概率和今后的學習打下了基礎. 當然，學生隨機觀念的養(yǎng)成是循序漸進的、長期的.這節(jié)教學應把握教學難度，注意關注學生接受情況.
四．練習鞏固，發(fā)展提高.
學生練習
1．書上P143.練習.1. 鞏固用頻率估計概率的方法.
2．書上P143.練習.2 鞏固對概率意義的理解.
教師應當關注學生對知識掌握情況，幫助學生解決遇到的問題.
五．歸納總結，交流收獲：
1．學生互相交流這節(jié)的體會與收獲，教師可將學生的總結與板書串一起，使學生對知識掌握條理化、系統(tǒng)化.
2．在學生交流總結時，還應注意總結評價這節(jié)所經(jīng)歷的探索過程，體會到的數(shù)學價值與合作交流學習的意義.
【作業(yè)設計】
（1）完成P144 習題25.1 2、4
（2）外活動分小組活動，用試驗方法獲得圖釘從一定高度落下后釘尖著地的概率.
【教學設計說明】
這節(jié)是在學習了25.1.1節(jié)隨機事的基礎上學習的，學生通過大量重復試驗，體驗用事發(fā)生的頻率去刻畫事發(fā)生的可能性大小，從而得到概率的定義.
1．對概率意義的正確理解，是建立在學生通過大量重復試驗后，發(fā)現(xiàn)事發(fā)生的頻率可以刻畫隨機事發(fā)生可能性的基礎上.結合學生認知規(guī)律與教材特點，這節(jié)以用擲硬幣方法分配球票為問題情境，引導學生親身經(jīng)歷猜測試驗—收集數(shù)據(jù)—分析結果的探索過程.這符合《新標》“從學生已有生活經(jīng)驗出發(fā)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學模型并進行解釋與應用的過程”的理念.
貼近生活現(xiàn)實的問題情境，不僅易于激發(fā)學生的求知欲與探索熱情，而且會促進他們面對要解決的問題大膽猜想，主動試驗，收集數(shù)據(jù)，分析結果，為尋求問題解決主動與他人交流合作.在知識的主動建構過程中，促進了教學目標的有效達成.更重要的是，主動參與數(shù)學活動的經(jīng)歷會使他們終身受益.
2．隨機現(xiàn)象是現(xiàn)實世界中普遍存在的，概率的教學的一個很重要的目標就是培養(yǎng)學生的隨機觀念.為了實現(xiàn)這一目標，教學設計中讓學生親身經(jīng)歷對隨機事的探索過程，通過與他人合作探究，使學生自我主動修正錯誤經(jīng)驗，揭示頻率與概率的關系，從而逐步建立正確的隨機觀念，也為以后進一步學習概率有關知識打下基礎.
3．在教學中，本力求向?qū)W生提供從事數(shù)學活動的時間與空間，為學生的自主探索與同伴的合作交流提供保障，從而促進學生學習方式的轉(zhuǎn)變，使之獲得廣泛的數(shù)學活動經(jīng)驗.教師在學習活動中是組織者、引導者與合作者，應注意評價學生在活動中參與程度、自信心、是否愿意交流等，給學生以適時的引導與鼓勵.

題: 25.2 列舉法求概率
教學目標：
知識與技能目標
學習用列表法、畫樹形圖法計算概率，并通過比較概率大小作出合理的決策。
過程與方法目標
經(jīng)歷實驗、列表、統(tǒng)計、運算、設計等活動，學生在具體情境中分析事，計算其發(fā)生的概率。滲透數(shù)形結合，分類討論，由特殊到一般的思想，提高分析問題和解決問題的能力。
情感與態(tài)度目標
通過豐富的數(shù)學活動，交流成功的經(jīng)驗，體驗數(shù)學活動充滿著探索和創(chuàng)造，體會數(shù)學的應用價值，培養(yǎng)積極思維的學習習慣。
教學重點：
習運用列表法或樹形圖法計算事的概率。
教學難點：
能根據(jù)不同情況選擇恰當?shù)姆椒ㄟM行列舉，解決較復雜事概率的計算問題。
教學過程
1.創(chuàng)設情景，發(fā)現(xiàn)新知
教材是通過P151—P152的例5、例6介紹列表法和樹形圖法的。
例5（教材P151）：同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，計算下列事的概率：
(1) 兩個骰子的點數(shù)相同；
(2) 兩個骰子的點數(shù)的和是9；
(3) 至少有一個骰子的點數(shù)為2。
這個例題難度較大，事可能出現(xiàn)的結果有36種。若首先就拿這個例題給學生講解，大多數(shù)學生理解起會比較困難。所以在這里，我將新的引入方式改為了一個有實際背景的轉(zhuǎn)盤游戲（前一已有例２作基礎）。
（1）創(chuàng)設情景
引例：為活躍聯(lián)歡晚會的氣氛，組織者設計了以下轉(zhuǎn)盤游戲：A、B兩個帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是1，6，8，轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是4，5，7（兩個轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其他完全相同）。每次選擇2名同學分別撥動A、B兩個轉(zhuǎn)盤上的指針，使之產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，指針停止后所指數(shù)字較大的一方為獲勝者，負者則表演一個節(jié)目（若箭頭恰好停留在分界線上，則重轉(zhuǎn)一次）。作為游戲者，你會選擇哪個裝置呢？并請說明理由。

【設計意圖】 選用這個引例，是基于以下考慮：以貼近學生生活的聯(lián)歡晚會為背景，創(chuàng)設轉(zhuǎn)盤游戲引入，能在最短時間內(nèi)激發(fā)學生的興趣，引起學生高度的注意力，進入情境。
（2）學生分組討論，探索交流
在這個環(huán)節(jié)里，首先要求學生分組討論，探索交流。然后引導學生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，即：
“停止轉(zhuǎn)動后，哪個轉(zhuǎn)盤指針所指數(shù)字較大的可能性更大呢？”
由于事的隨機性，我們必須考慮事發(fā)生概率的大小。此時我首先引導學生觀看轉(zhuǎn)盤動畫，同學們會發(fā)現(xiàn)這個游戲涉及A、B兩轉(zhuǎn)盤， 即涉及2個因素，與前一所講授單轉(zhuǎn)盤概率問題（教材P148例2）相比，可能產(chǎn)生的結果數(shù)目增多了，列舉時很容易造成重復或遺漏。怎樣避免這個問題呢？
實際上，可以將這個游戲分兩步進行。 于是，指導學生構造表格
（3）指導學生構造表格
A B457
1
6
8
首先考慮轉(zhuǎn)動A盤：指針可能指向1，6，8三個數(shù)字中的任意一個，可能出現(xiàn)的結果就會有3個。接著考慮轉(zhuǎn)動B盤：當A盤指針指向1時，B盤指針可能指向4、5、7三個數(shù)字中的任意一個，這是列舉法的簡單情況。當A盤指針指向6或8時，B盤指針同樣可能指向4、5、7三個數(shù)字中的任意一個。一共會產(chǎn)生9種不同的結果。
【設計意圖】　這樣既分散了難點，又激發(fā)了學生興趣，滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。
（4）學生獨立填寫表格，通過觀察與計算，得出結論（即列表法）

A B457
1（1，4）（1，5）（1，7）
6（6，4）（6，5）（6，7）
8（8，4）（8，5）（8，7）
從表中可以發(fā)現(xiàn)：A盤數(shù)字大于B盤數(shù)字的結果共有5種。
∴P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)= .
∴P(A數(shù)較大)＞ P(B數(shù)較大)
∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。
在學生填寫表格過程中，注意向?qū)W生強調(diào)數(shù)對的有序性。
由于游戲是分兩步進行的，我們也可用其他的方法列舉。即先轉(zhuǎn)動Ａ盤，可能出現(xiàn)1，6，8三種結果；第二步考慮轉(zhuǎn)動Ｂ盤，可能出現(xiàn)4，5，7三種結果。
（5）解法二：
　　
由圖知：可能的結果為： （1，4），（1，5），（1，7），
　　　　　　　　　　　　　�。�6，4），（6，5），（6，7），
　　　　　　　　　　　　　�。�8，4），（8，5），（8，7）。共計9種。
∴P(A數(shù)較大)= , P(B數(shù)較大)= .
∴P(A數(shù)較大)＞ P(B數(shù)較大)
∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。
然后，引導學生對所畫圖形進行觀察：若將圖形倒置，你會聯(lián)想到什么？這個圖形很像一棵樹，所以稱為樹形圖（在幻燈片上放映）。列表和樹形圖是列舉法求概率的兩種常用的方法。
【設計意圖】自然地學生感染了分類計數(shù)和分步計數(shù)思想。
2.自主分析，再探新知
通過引例的分析，學生對列表法和樹形圖法求概率有了初步的了解，為了幫助學生熟練掌握這兩種方法，我選用了下列兩道例題（本節(jié)教材P151—P152的例5和例6）。
例1：同時擲兩個質(zhì)地均勻的骰子，計算下列事的概率：
(1) 兩個骰子的點數(shù)相同；
(2) 兩個骰子的點數(shù)的和是9；
(3) 至少有一個骰子的點數(shù)為2。
例1是教材上一道“擲骰子”的問題，有了引例作基礎，學生不難發(fā)現(xiàn)：引例涉及兩個轉(zhuǎn)盤，這里涉及兩個骰子，實質(zhì)都是涉及兩個因素。于是，學生通過類比列出下列表。

第2個
第1個123456
1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）
2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）
3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）
4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）
5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）
6（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）
　由上表可以看出，同時擲兩個骰子，可能出現(xiàn)的結果有36個，它們出現(xiàn)的可能性相等。由所列表格可以發(fā)現(xiàn)：
（1）滿足兩個骰子的點數(shù)相同（記為事A）的結果有6個，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)= = 。
[滿足條的結果在表格的對角線上]
（2）滿足兩個骰子的點數(shù)的和是9（記為事B）的結果有4個，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)= = 。
[滿足條的結果在（3，6）和（6，3）所在的斜線上]
（3）至少有一個骰子的點數(shù)為2（記為事C）的結果有11個，所以P(C)= 。
[滿足條的結果在數(shù)字2所在行和2所在的列上]
接著，引導學生進行題后小結：
當一個事要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)的結果數(shù)目較多時，通常采用列表法。運用列表法求概率的步驟如下：
①列表 ；
②通過表格計數(shù)，確定公式P(A)= 中m和n的值；
③利用公式P(A)= 計算事的概率。
分析到這里，我會問學生：“例1題目中的“擲兩個骰子”改為“擲三個骰子”，還可以使用列表法做嗎？”由此引出下一個例題。
例2： 甲口袋中裝有2個相同的球，它們分別寫有字母A和B；乙口袋中3個相同的球，它們分別寫有字母C、D和E；丙口袋中2個相同的球，它們分別寫有字母H和I。從三個口袋中各隨機地取出1個球。
（1）取出的三個球上恰好有1個、2個和3個元音字母的概率分別為多少？
（2）取出的三個球上全是輔音字母的概率是多少？
例2與前面兩題比較，有所不同：要從三個袋子里摸球，即涉及到3個因素。此時同學們會發(fā)現(xiàn)用列表法就不太方便，可以嘗試樹形圖法。
本游戲可分三步進行。分步畫圖和分類排列相關的結論是解題的關鍵。

從圖形上可以看出所有可能出現(xiàn)的結果共有12個，即：

（幻燈片上用顏色區(qū)分）
這些結果出現(xiàn)的可能性相等。
（1）只有一個元音字母的結果（黃色）有5個，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以 ；
有兩個元音的結果（白色）有4個，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以 ；
全部為元音字母的結果（綠色）只有1個，即AEI ，所以 。
（2）全是輔音字母的結果（紅色）共有2個，即BCH，BDH，所以 。
通過例2的解答，很容易得出題后小結：
當一次試驗要涉及3個或更多的因素時，通常采用“畫樹形圖”。運用樹形圖法
求概率的步驟如下：（幻燈片）
①畫樹形圖 ；
②列出結果，確定公式P(A)= 中m和n的值；
③利用公式P(A)= 計算事概率。
接著我向?qū)W生提問：到現(xiàn)在為止，我們所學過的用列舉法求概率分為哪幾種情況？ 列表法和畫樹形圖法求概率有什么優(yōu)越性？什么時候使用“列表法”方便，什么時候使用“樹形圖法”更好呢？
【設計意圖】 通過對上述問題的思考，可以加深學生對新方法的理解，更好的認識到列表法和畫樹形圖法求概率的優(yōu)越性在于能夠直觀、快捷、準確地獲取所需信息，有利于學生根據(jù)實際情況選擇正確的方法。
3.應用新知，深化拓展
為了檢驗學生對列表法和畫樹形圖法的掌握情況，提高應用所學知識解決問題的能力，在此我選擇了教材P154后練習作為隨堂練習。
（1）經(jīng)過某十字路口的汽車，它可能繼續(xù)前行，也可能向左或向右，如果這三種可能性大小相同。三輛汽車經(jīng)過這個十字路口，求下列事的概率：
①三輛車全部繼續(xù)前行；
②兩輛車向右轉(zhuǎn)，一輛車向左轉(zhuǎn)；
③至少有兩輛車向左轉(zhuǎn)。
[隨堂練習（1）是一道與實際生活相關的交通問題，可用樹形圖法解決。]
（2）在6張卡片上分別寫有1——6的整數(shù)，隨機地抽取一張后放回，再隨機地抽取一張，那么第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是多少？
通過解答隨堂練習（2），學生會發(fā)現(xiàn)列出的表格和例1的表格完全一樣。不同的是：變換了實際背景，設置的問題也不一樣。這時，我提出：我們是否可以根據(jù)這個表格再編一道用列舉法求概率的題目呢？
為了進一步拓展思維，我向?qū)W生提出了這樣一個問題，供學生后思考：
在前面的引例中，轉(zhuǎn)盤的游戲規(guī)則是不公平的，你能把它改成一個公平的游戲嗎？
【設計意圖】 以上問題的提出和解決有利于學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題的本質(zhì)，做到舉一反三，融會貫通。
4.歸納總結，形成能力
我將引導學生從知識、方法、情感三方面談一談這節(jié)的收獲。要求每個學生在組內(nèi)交流，派小組代表發(fā)言。
【設計意圖】 通過這個環(huán)節(jié)，可以提高學生概括能力、表達能力，有助于學生全面地了解自己的學習過程，感受自己的成長與進步，增強自信，也為教師全面了解學生的學習狀況、因材施教提供了重要依據(jù)。
5.布置作業(yè)，鞏固提高
考慮到學生的個體差異，為促使每一個學生得到不同的發(fā)展，同時促進學生對自己的學習進行反思，在第五個環(huán)節(jié)“布置作業(yè)，鞏固提高”里作如下安排：
（1）必做題：書本P154/ 3，P155/ 4，5
（2）選做題：
①請設計一個游戲，并用列舉法計算游戲者獲勝的概率。
②研究性題：通過調(diào)查學校周圍道路的交通狀況，為交通部門提出合理的建議等。
【設計意圖】 通過教學實踐作業(yè)和社會實踐活動，引導學生靈活運用所學知識，讓學生把動腦、動口、動手三者結合起，啟發(fā)學生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)協(xié)作精神和科學的態(tài)度。
25．3 利用頻率估計概率
疑難分析：
1．當試驗的可能結果不是有限個，或各種結果發(fā)生的可能性不相等時，一般用統(tǒng)計頻率的方法估計概率．
2．利用頻率估計概率的數(shù)學依據(jù)是大數(shù)定律：當試驗次數(shù)很大時，隨機事A出現(xiàn)的頻率，穩(wěn)定地在某個數(shù)值P附近擺動．這個穩(wěn)定值P，叫做隨機事A的概率，并記為P(A)=P．
3．利用頻率估計出的概率是近似值.
例題選講
例1 某籃球運動員在最近的幾場大賽中罰球投籃的結果如下：
投籃次數(shù)n8101291610
進球次數(shù)m6897127
進球頻率

　　(1)計算表中各次比賽進球的頻率；
　　(2)這位運動員投籃一次，進球的概率約為多少？
解答：（1）0.75,0.8,0.75,0.78,0.75,0.7；
（2）0.75．
評注：本題中將同一運動員在不同比賽中的投籃視為同等條下的重復試驗，所求出的概率只是近似值．
例2 某商場設立了一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤(如圖)，并規(guī)定：顧客購物10元以上能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應的獎品，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：
(1) 計算并完成表格：
轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的次數(shù)n1001502005008001000
落在“鉛筆”的次數(shù)m68111136345546701
落在“鉛筆”的頻率

(2) 請估計，當 很大時，頻率將會接近多少？
(3) 轉(zhuǎn)動該轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率約是多少？
(4) 在該轉(zhuǎn)盤中，標有“鉛筆”區(qū)域的扇形的圓心角大約是多少？(精確到1°)
解答：（1）0.68、0.74、0.68、0.69、0.6825、0.701；
（2）0.69；
（3）0.69；
（4）0.69×360°≈248°．
評注：（1）試驗的次數(shù)越多，所得的頻率越能反映概率的大�。唬�2）頻數(shù)分布表、扇形圖、條形圖、直方圖都能較好地反映頻數(shù)、頻率的分布情況，我們可以利用它們所提供的信息估計概率．
基礎訓練
一、選一選（請將唯一正確答案的代號填入題后的括號內(nèi)）
1．盒子中有白色乒乓球8個和黃色乒乓球若干個，為求得盒中黃色乒乓球的個數(shù)，某同學進行了如下實驗：每次摸出一個乒乓球記下它的顏色，如此重復360次，摸出白色乒乓球90次，則黃色乒乓球的個數(shù)估計為 ( ) 新標第一網(wǎng)
A．90個 B．24個 C．70個 D．32個
2．從生產(chǎn)的一批螺釘中抽取1000個進行質(zhì)量檢查，結果發(fā)現(xiàn)有5個是次品，那么從中任取1個是次品概率約為（ ）．
A． B． C． D．
3．下列說法正確的是( )．
A．拋一枚硬幣正面朝上的機會與拋一枚圖釘釘尖著地的機會一樣大；
B．為了解漢口火車站某一天中通過的列車車輛數(shù)，可采用全面調(diào)查的方式進行；
C．彩票中獎的機會是1％，買100張一定會中獎；
D．中學生小亮，對他所在的那棟住宅樓的家庭進行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)擁有空調(diào)的家庭占100％，于是他得出全市擁有空調(diào)家庭的百分比為100％的結論．
4．小亮把全班50名同學的期中數(shù)學測試成績，繪成如圖所示的條形圖，其中從左起第一、二、三、四個小長方形高的比是1∶3∶5∶1．從中同時抽一份最低分數(shù)段和一份最高分數(shù)段的成績的概率分別是（ ）．
A． 、 B． 、
C． 、 D． 、
5．某人把50粒黃豆染色后與一袋黃豆充分混勻，接著抓出100黃豆，數(shù)出其中有10粒黃豆被染色，則這袋黃豆原有（ ）．
A．10粒 B．160粒 C．450粒 D．500粒
6．某校男生中，若隨機抽取若干名同學做“是否喜歡足球”的問卷調(diào)查，抽到喜歡足球的同學的概率是 ，這個 的含義是（ ）．
A．只發(fā)出5份調(diào)查卷，其中三份是喜歡足球的答卷；
B．在答卷中，喜歡足球的答卷與總問卷的比為3∶8；
C．在答卷中，喜歡足球的答卷占總答卷的 ；
D．在答卷中，每抽出100份問卷，恰有60份答卷是不喜歡足球．
7．要在一只口袋中裝入若干個形狀與大小都完全相同的球，使得從袋中摸到紅球的概率為 ，四位同學分別采用了下列裝法，你認為他們中裝錯的是（ ）．
A．口袋中裝入10個小球，其中只有兩個紅球；
B．裝入1個紅球，1個白球，1個黃球，1個藍球，1個黑球；
C．裝入紅球5個，白球13個，黑球2個；
D．裝入紅球7個，白球13個，黑球2個，黃球13個．
8．某學生調(diào)查了同班同學身上的零用錢數(shù)，將每位同學的零用錢數(shù)記錄了下（單位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.
假如老師隨機問一個同學的零用錢，老師最有可能得到的回答是（ ）．
A． 2元 B．5元 C．6元 D．0元
二、填一填
9． 同時拋擲兩枚硬幣，按照正面出現(xiàn)的次數(shù)，可以分為“2個正面”、“1個正面”和“沒有正面”這3種可能的結果，小紅與小明兩人共做了6組實驗，每組實驗都為同時拋擲兩枚硬幣10次，下表為實驗記錄的統(tǒng)計表：
結果第一組第二組第三組第四組第五組第六組
兩個正面335142
一個正面655557
沒有正面120411
由上表結果，計算得出現(xiàn)“2個正面”、“1個正面”和“沒有正面”這3種結果的頻率分別是___________________．當試驗組數(shù)增加到很大時，請你對這三種結果的可能性的大小作出預測：______________．
10．紅星養(yǎng)豬場400頭豬的質(zhì)量(質(zhì)量均為整數(shù)千克)頻率分布如下，其中數(shù)據(jù)不在分點上
組別頻數(shù)頻率
46 ~ 5040
51 ~ 5580
56 ~ 60160
61 ~ 6580
66 ~ 7030
71~ 7510
從中任選一頭豬，質(zhì)量在65kg以上的概率是_____________．
11．為配和新程的實施，某市舉行了“應用與創(chuàng)新”知識競賽，共有1萬名學生參加了這次競賽（滿分100分，得分全為整數(shù)）。為了解本次競賽成績情況，從中隨機抽取了部分學生的競賽成績，進行統(tǒng)計，整理見下表：
組別分 組頻 數(shù)頻率
149.5～59.5600.12
259.5～69.51200.24
369.5～79.51800.36
479.5～89.5130c
589.5～99.5b0.02
合 計a1.00
表中a=________,b=________, c＝_______；若成績在90分以上（含90分）的學生獲一等獎，估計全市獲一等獎的人數(shù)為___________．
三、做一做
12．小穎有20張大小相同的卡片，上面寫有1~20這20個數(shù)字，她把卡片放在一個盒子中攪勻，每次從盒中抽出一張卡片，記錄結果如下：
實驗次數(shù)20406080100120140160180200
3的倍數(shù)的頻數(shù)5131726323639495561
3的倍數(shù)的頻率
（1）完成上表；
（2）頻率隨著實驗次數(shù)的增加，穩(wěn)定于什么值左右？
（3）從試驗數(shù)據(jù)看，從盒中摸出一張卡片是3的倍數(shù)的概率估計是多少？
（4）根據(jù)推理計算可知，從盒中摸出一張卡片是3的倍數(shù)的概率應該是多少？

13．甲、乙兩同學開展“投球進筐”比賽，雙方約定：① 比賽分6局進行，每局在指定區(qū)域內(nèi)將球投向筐中，只要投進一次后該局便結束；② 若一次未進可再投第二次，以此類推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未進，該局也結束；③ 計分規(guī)則如下：a. 得分為正數(shù)或0；b. 若8次都未投進，該局得分為0；c. 投球次數(shù)越多，得分越低；d.6局比賽的總得分高者獲勝 .
(1) 設某局比賽第n(n=1,2,3,4,5,6,7,8)次將球投進，請你按上述約定，用公式、表格或語言敘述等方式，為甲、乙兩位同學制定一個把n換算為得分的計分方案；
(2) 若兩人6局比賽的投球情況如下(其中的數(shù)字表示該局比賽進球時的投球次數(shù)，“×”表示該局比賽8次投球都未進)：
第一局第二局第三局第四局第五局第六局
甲5×4813
乙82426×
根據(jù)上述計分規(guī)則和你制定的計分方案，確定兩人誰在這次比賽中獲勝.

四、試一試
16．理論上講，兩個隨機正整數(shù)互質(zhì)的概率為P= ．請你和你班上的同學合作，每人隨機寫出若干對正整數(shù)（或自己利用計算器產(chǎn)生），共得到n對正整數(shù)，找出其中互質(zhì)的對數(shù)m，計算兩個隨機正整數(shù)互質(zhì)的概率，利用上面的等式估算 的近似值．

解答
一、
1．D2．B3．B 4．A5．C6．C 7．C8．B
二、
9． ； 10. 0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025；0.1
11．50,10,0.26；200
三、

12．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；
（2）0.31；
（3）0.31；
（4）0.3

　　　
13．解：(1)計分方案如下表：
n(次)12345678
(分)87654321
(用公式或語言表述正確，同樣給分.)
(2) 根據(jù)以上方案計算得6局比賽，甲共得24分，乙共得分23分，所以甲在這次比賽中獲勝．
四、
14. 略

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chusan/43472.html

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