《人教版九年級上冊全書教案》
第二十一 二次根式
教材內(nèi)容
1．本單元教學的主要內(nèi)容：
二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式．
2．本單元在教材中的地位和作用：
二次根式是在學完了八年級下冊第十七《反比例正函數(shù)》、第十八《勾股定理及其應用》等內(nèi)容的基礎(chǔ)之上繼續(xù)學習的，它也是今后學習其他數(shù)學知識的基礎(chǔ)．
教學目標
1．知識與技能
（1）理解二次根式的概念．
（2）理解 （a≥0）是一個非負數(shù)，（ ）2=a（a≥0）， =a（a≥0）．
（3）掌握 • ＝ （a≥0，b≥0）， = • ；
= （a≥0，b>0）， = （a≥0，b>0）．
（4）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減．
2．過程與方法
（1）先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，得出概念．再對概念的內(nèi)涵進行分析，得出幾個重要結(jié)論，并運用這些重要結(jié)論進行二次根式的計算和化簡．
（2）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運用規(guī)定進行計算．
（3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運用它進行化簡．
（4）通過分析前面的計算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念．利用最簡二次根式的概念，對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的．
3．情感、態(tài)度與價值觀
通過本單元的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力．
教學重點
1．二次根式 （a≥0）的內(nèi)涵． （a≥0）是一個非負數(shù)；（ ）2＝a（a≥0）； =a（a≥0）及其運用．
2．二次根式乘除法的規(guī)定及其運用．
3．最簡二次根式的概念．
4．二次根式的加減運算．
教學難點
1．對 （a≥0）是一個非負數(shù)的理解；對等式（ ）2＝a（a≥0）及 =a（a≥0）的理解及應用．
2．二次根式的乘法、除法的條限制．
3．利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式．
教學關(guān)鍵
1．潛移默化地培養(yǎng)學生從具體到一般的推理能力，突出重點，突破難點．
2．培養(yǎng)學生利用二次根式的規(guī)定和重要結(jié)論進行準確計算的能力，培養(yǎng)學生一絲不茍的科學精神．
單元時劃分
本單元教學時間約需11時，具體分配如下：
21．1 二次根式 3時
21．2 二次根式的乘法 3時
21．3 二次根式的加減 3時
教學活動、習題、小結(jié) 2時
21．1 二次根式
第一時
教學內(nèi)容
二次根式的概念及其運用
教學目標
理解二次根式的概念，并利用 （a≥0）的意義解答具體題目．
提出問題，根據(jù)問題給出概念，應用概念解決實際問題．
教學重難點關(guān)鍵
1．重點：形如 （a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．難點與關(guān)鍵：利用“ （a≥0）”解決具體問題．
教學過程
一、復習引入
（學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題：
問題1：已知反比例函數(shù)y= ，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是___________．
問題2：如圖，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB邊的長是__________．
問題3：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是S2，那么S=_________．
老師點評：
問題1：橫、縱坐標相等，即x=y，所以x2=3．因為點在第一象限，所以x= ，所以所求點的坐標（ ， ）．
問題2：由勾股定理得AB=
問題3：由方差的概念得S= .
二、探索新知
很明顯 、 、 ，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根．像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式．因此，一般地，我們把形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號．
（學生活動）議一議：
1．-1有算術(shù)平方根嗎？
2．0的算術(shù)平方根是多少？
3．當a<0， 有意義嗎？
老師點評:（略）
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、 、 、 （x>0）、 、 、- 、 、 （x≥0，y≥0）．
分析：二次根式應滿足兩個條：第一，有二次根號“ ”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0．
解：二次根式有： 、 （x>0）、 、- 、 （x≥0，y≥0）；不是二次根式的有： 、 、 、 ．
例2．當x是多少時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？
分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意義．
解：由3x-1≥0，得：x≥
當x≥ 時， 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．
三、鞏固練習
教材P練習1、2、3．
四、應用拓展
例3．當x是多少時， + 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？
分析：要使 + 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時滿足 中的≥0和 中的x+1≠0．
解：依題意，得
由①得：x≥-
由②得：x≠-1
當x≥- 且x≠-1時， + 在實數(shù)范圍內(nèi)有意義．
例4(1)已知y= + +5，求 的值．(答案:2)
(2)若 + =0，求a2004+b2004的值．(答案: )
五、歸納小結(jié)（學生活動，老師點評）
本節(jié)要掌握：
1．形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，“ ”稱為二次根號．
2．要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù)．
六、布置作業(yè)
1．教材P8復習鞏固1、綜合應用5．
2．選用時作業(yè)設(shè)計．
3.后作業(yè):《同步訓練》
第一時作業(yè)設(shè)計
一、選擇題 1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．- B． C． D．x
2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知一個正方形的面積是5，那么它的邊長是（ ）
A．5 B． C． D．以上皆不對
二、填空題
1．形如________的式子叫做二次根式．
2．面積為a的正方形的邊長為________．
3．負數(shù)________平方根．
三、綜合提高題
1．某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計需要，底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少？
2．當x是多少時， +x2在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？
3．若 + 有意義，則 =_______．
4.使式子 有意義的未知數(shù)x有（ ）個．
A．0 B．1 C．2 D．無數(shù)
5.已知a、b為實數(shù)，且 +2 =b+4，求a、b的值．
第一時作業(yè)設(shè)計答案:
一、1．A 2．D 3．B
二、1． （a≥0） 2． 3．沒有
三、1．設(shè)底面邊長為x，則0.2x2=1，解答：x= ．
2．依題意得： ，
∴當x>- 且x≠0時， ＋x2在實數(shù)范圍內(nèi)沒有意義．
3.
4．B
5．a(chǎn)=5，b=-4
21.1 二次根式(2)
第二時
教學內(nèi)容
1． （a≥0）是一個非負數(shù)；
2．（ ）2=a（a≥0）．
教學目標
理解 （a≥0）是一個非負數(shù)和（ ）2=a（a≥0），并利用它們進行計算和化簡．
通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出 （a≥0）是一個非負數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導出（ ）2=a（a≥0）；最后運用結(jié)論嚴謹解題．
教學重難點關(guān)鍵新標第一網(wǎng)
1．重點： （a≥0）是一個非負數(shù)；（ ）2=a（a≥0）及其運用．
2．難點、關(guān)鍵：用分類思想的方法導出 （a≥0）是一個非負數(shù)；用探究的方法導出（ ）2=a（a≥0）．
教學過程
一、復習引入
（學生活動）口答
1．什么叫二次根式？
2．當a≥0時， 叫什么？當a<0時， 有意義嗎？
老師點評（略）．
二、探究新知
議一議：（學生分組討論，提問解答）
（a≥0）是一個什么數(shù)呢？
老師點評：根據(jù)學生討論和上面的練習，我們可以得出
（a≥0）是一個非負數(shù)．
做一做：根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空：
（ ）2=_______；（ ）2=_______；（ ）2=______；（ ）2=_______；
（ ）2=______；（ ）2=_______；（ ）2=_______．
老師點評： 是4的算術(shù)平方根，根據(jù)算術(shù)平方根的意義， 是一個平方等于4的非負數(shù)，因此有（ ）2=4．
同理可得：（ ）2=2，（ ）2=9，（ ）2=3，（ ）2= ，（ ）2= ，（ ）2=0，所以
（ ）2=a（a≥0）
例1 計算
1．（ ）2 2．（3 ）2 3．（ ）2 4．（ ）2
分析：我們可以直接利用（ ）2=a（a≥0）的結(jié)論解題．
解：（ ）2 = ，（3 ）2 =32•（ ）2=32•5=45，
（ ）2= ，（ ）2= ．
三、鞏固練習
計算下列各式的值：Xk b 1 . co m
（ ）2 （ ）2 （ ）2 （ ）2 （4 ）2
四、應用拓展
例2 計算
1．（ ）2（x≥0） 2．（ ）2 3．（ ）2
4．（ ）2
分析：（1）因為x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；
（4）4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2≥0．
所以上面的4題都可以運用（ ）2=a（a≥0）的重要結(jié)論解題．
解：（1）因為x≥0，所以x+1>0
（ ）2=x+1
（2）∵a2≥0，∴（ ）2=a2
（3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 ，∴ =a2+2a+1
（4）∵4x2-12x+9=（2x）2-2•2x•3+32=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0，∴（ ）2=4x2-12x+9
例3在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3
分析：(略)
五、歸納小結(jié)
本節(jié)應掌握：
1． （a≥0）是一個非負數(shù)；
2．（ ）2=a（a≥0）;反之:a=（ ）2（a≥0）．
六、布置作業(yè)
1．教材P8 復習鞏固2．（1）、（2） P9 7．
2．選用時作業(yè)設(shè)計．
3.后作業(yè):《同步訓練》
第二時作業(yè)設(shè)計
一、選擇題
1．下列各式中 、 、 、 、 、 ，二次根式的個數(shù)是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．數(shù)a沒有算術(shù)平方根，則a的取值范圍是（ ）．
A．a(chǎn)>0 B．a(chǎn)≥0 C．a(chǎn)<0 D．a(chǎn)=0
二、填空題
1．（- ）2=________．
2．已知 有意義，那么是一個_______數(shù)．
三、綜合提高題
1．計算
（1）（ ）2 （2）-（ ）2 （3）（ ）2 （4）（-3 ）2
(5)
2．把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3） （4）x（x≥0）
3．已知 + =0，求xy的值．
4．在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:
（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
第二時作業(yè)設(shè)計答案:
一、1．B 2．C
二、1．3 2．非負數(shù)
三、1．（1）（ ）2=9 （2）-（ ）2=-3 （3）（ ）2= ×6=
（4）（-3 ）2=9× =6 (5)-6
2．（1）5=（ ）2 （2）3.4=（ ）2
（3） =（ ）2 （4）x=（ ）2（x≥0）
3． xy=34=81
4.（1）x2-2=（x+ ）（x- ）
（2）x4-9=（x2+3）（x2-3）=（x2+3）（x+ ）（x- ）
(3)略
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chusan/52996.html
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