從求根入手，求出根的有理表達式，利用整除求解；
從判別式手，運用判別式求出參數或解的取值范圍，或引入參數(設△= )，通過窮舉，逼近求解；
從韋達定理入手，從根與系數的關系式中消去參數，得到關于兩根的不定方程，借助因數分解、因式分解求解；
從變更主元入人，當方程中參數次數較低時，可考慮以參數為主元求解．
注：一元二次方程的整數根問題，既涉及方程的解法、判別式、韋達定理等與方程相關的知識，又與整除、奇數、偶數、質數、合數等整數知識密切相關．
【例題求解】
【例1】若關于 的方程 的解都是整數，則符合條件的整數是的值有 個．
思路點撥 用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定是的值才能全面而準確．
注： 系數含參數的方程問題，在沒有指明是二次方程時，要注意有可能是一次方程，根據問題的題設條件，看是否要分類討論．
【例2】 已知 、 為質數且是方程 的根，那么 的值是( )
A． B． C． D．
思路點撥 由韋達定理 、 的關系式，結合整數性質求出 、 、 的值．
【例3】 試確定一切有理數 ，使得關于 的方程 有根且只有整數根．
思路點撥 由于方 程的類型未確定，所以應分類 討論．當 時，由根與系數關系得到關于r的兩個等式，消去r，利用因式(數)分解先求出方程兩整數根．
【例4】當 為整數時，關于 的方程 是否有有理根?如果有，求出 的值；如果沒有，請說明理由．
思路點撥 整系數方程有有理根的條件是為完全平方數．
設△= ( 為整數)解不定方程，討論 的存在性．
注：一元二次方程 (a≠0)而言，方程的根為整數必為有理數，而△= 為完全平方數是方程的 根為有理數的充要條件．
【例5】 若關于 的方程 至少有一個整數根，求非負整數 的值．
思路點撥 因根的表示式復雜，從韋達定理得出的 的兩個關系式中消去 也較困難，又因 的次數低于 的次數，故可將原方程變形為關于 的一次方程．
學歷訓練
1．已知關于 的方程 的根都是整數，那么符合條件的整數 有 ．
2．已知方程 有兩個質數解，則m＝ ．
3．給出四個命題：①整系數方程 (a≠0)中，若△為一個完全平方數，則方程必有有理根；②整系數方程 (a≠0)中，若方程有有理數根，則△為完全平方數 ；③無理數系數方程 (a≠0)的根只能是無理數；④若 、 、 均 為奇數，則方程 沒有有理數根，其中真命題是 ．
4．已知關于 的一元二次方程 ( 為整數)的兩個實數根是 、 ，則 = ．
5．設rn為整數，且4< m<40，方程 有兩個整數根，求m的值及方程的根．(山西省競賽題)
6．已知方程 (a≠0)至少有一個整數根，求 的值．
7．求使關于 的方程 的根都是整數的 值．
8．當 為正 整數時，關于 的方程 的兩根均為質數，試解此方程．
9．設關于 的二次方程 的兩根都是整數，試求滿足條件的所有實數 的值．
10．試求所有這樣的正整數 ，使得方程 至少有一個整數解．
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chusan/54107.html
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