數 學
注意事項：
1. 本試卷共6頁。全卷滿分120分�？荚嚂r間為120分鐘。考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效。
2. 請認真核對監(jiān)考教師在答題卡上所黏貼條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符，再將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上。
3. 答必須用2B鉛筆將答題卡上對應的答案標號涂黑。如需改動，請用橡皮擦干凈后，
再選涂其他答案。答非必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位置，
在其他位置答題一律無效。
4. 作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，清楚。
一、 選擇題 (本大題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題所給出的四個選項中，恰
有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上)
1. 計算12?7?(?4)?8?(?2)的結果是
(A) ?24 (B) ?20 (C) 6 (D) 36
答案：D
解析：原式＝12＋28－4＝36，選D。
2. 計算a3．( 1 a )2的結果是
(A) a (B) a5 (C) a6 (D) a9
答案：A
解析：原式＝ ，選A。
3. 設邊長為3的正方形的對角線長為a，下列關于a的四種說法：? a是無理數；? a可以用數軸上的一個點來表示；? 3
答案：C
解析：由勾股定理，得： ，所以，③錯誤，其它都正確。
4. 如圖，圓O1、圓O2的圓心O1、O2在直線l上，圓O1的半徑為2 cm，圓O2的半徑為3 cm，O1O2=8 cm。圓O1以1 cm/s的速度沿直線l向右運動，7s后停止運動，在此過程中，圓O1與圓O2沒有出現的位置關系是
(A) 外切 (B) 相交 (C) 內切 (D) 內含
答案：D
解析：7s后兩圓剛好內切，所以，外切、相交、內切都有，沒有內含，選D。
5. 在同一直線坐標系中，若正比例函數y=k1x的圖像與反比例函數y= k2 x 的圖像沒有公共點，則
(A) k1?k2<0 (B) k1?k2>0 (C) k1k2<0 (D) k1k2>0
答案：C
解析：當k1>0，k2<0時，正比函數經過一、三象限，反比函數在二、四象限，沒有交點；當k1＜0，k2＞0時，正比函數經過二、四象限，反比函數在一、三象限，沒有交點；所以，選C。
6. 如圖，一個幾何體上半部為正四棱椎，下半部為立方體，且有一個面涂
有顏色，下列圖形中，是該幾何體的表面展開圖的是
答案：B
解析：涂有顏色的面在側面，而A、C還原后，有顏色的面在底面，故錯；D還原不回去，故錯，選B。
二、題 (本大題共10小題，每小題2分，共20分)
7. ?3的相反數是 ；?3的倒數是 。
答案：3；? 1 3
解析：負數的相反數為正數，絕對值相等，一個數的倒數是將原數分子與分母對換位置。
8. 計算 3 2 ? 1 2 的結果是 。
答案：2
解析：原式＝
9. 使式子1? 1 x?1 有意義的x的取值范圍是 。
答案：x?1
解析：當x＝1時，分母為0沒有意義，故x?1
10. 第二屆亞洲青年運動會將于2013年8月16日至24日在南京舉辦，在此期間約有13000
名青少年志愿者提供服務，將13000用科學記數法表示為 。
答案：1.3?104
解析：科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值＞1時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
13000＝1.3?104
11. 如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉到矩形A’B’C’D’的位置，
旋轉角為? (0?答案：20
解析： ，延長 交CD于E，則? =20?，? ED=160?，由四邊形的內角和為360?，可得??=20?
12. 如圖，將菱形紙片ABCD折迭，使點A恰好落在菱形的對稱中心O處，折痕為EF。若菱形ABCD的邊長為2 cm， ?A=120?，則EF= cm。
答案：3
解析：點A恰好落在菱形的對稱中心O處，如圖，P為AO中點，所以E為A職點，AE＝1，?EAO=60?，EP＝ ，所以，EF＝3
13. △OAB是以正多邊形相鄰的兩個頂點A、B與它的中心O為頂點的三角形。若△OAB的 一個內角為70?，則該正多邊形的邊數為 。
答案：9
解析：若∠OAB＝∠OBA＝70°，則∠BOA＝40°，邊數為： ＝9；
若∠BOA＝70°，則邊數為： 不可能，因此，邊數為9。
14. 已知如圖所示的圖形的面積為24，根據圖中的條件，可列出
方程： 。
答案：本題答案不唯一，如(x?1)2=25；
解析：把缺口補回去，得到一個面積25的正方形，邊長為x＋1。
15. 如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=DC，AC與BD相交
于點P。已知A(2, 3)，B(1, 1)，D(4, 3)，則點P的坐標為（ ， ）。
答案：3； 7 3
解析：如圖，由對稱性可知P的橫坐標為3，
，即 ，所以，PE＝ ， ＋1＝ 7 3
故P的坐標為（3， 7 3 ）。
16. 計算(1? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 )( 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 ? 1 6 )?(1? 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 ? 1 6 )( 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 )的結果是 。
答案： 1 6
解析：設x＝ 1 2 ? 1 3 ? 1 4 ? 1 5 ，則原式＝（1－x）（x＋ ）－（1－x－ ）x＝
三、解答題 (本大題共11小題，共88分。請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時應寫出文字
說明、證明過程或演算步驟)
17. (6分) 化簡( 1 a?b ? b a2?b2 )? a a?b 。
解析： 解：( 1 a?b ? b a2?b2 )? a a?b = (a?b)?b (a?b)(a?b) ． a?b a = a (a?b)(a?b) ． a?b a = 1 a?b 。
18. (6分) 解方程 2x x?2 =1? 1 2?x 。
解析：方程兩邊同乘x?2，得2x=x?2?1。解這個方程，得x= ?1。
檢驗：x= ?1時，x?2?0，x= ?1是原方程的解。 (6分)
19. (8分) 如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，對角線BD平分
?ABC，P是BD上一點，過點P作PM?AD，PN?CD，垂
足分別為M、N。
(1) 求證：?ADB=?CDB；
(2) 若?ADC=90?，求證：四邊形MPND是正方形。
解析：
證明：(1) ∵BD平分?ABC，∴?ABD=?CBD。又∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD ? △CBD�！�?ADB=?CDB。 (4分)
(2) ∵PM?AD，PN?CD，∴?PMD=?PND=90?。
又∵?ADC=90?，∴四邊形MPND是矩形。
∵?ADB=?CDB，PM?AD，PN?CD，∴PM=PN。
∴四邊形MPND是正方形。 (8分)
20. (8分)
(1) 一只不透明的袋子中裝有顏色分別為紅、黃、藍、白的球各一個，這些球除顏色外都相同。求下列事件的概率：
? 攪勻后從中任意摸出1個球，恰好是紅球；
? 攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，兩次都是紅球；
(2) 某次考試有6道選擇題，每道題所給出的4個選項中，恰有一項是正確的，如果小明從每道題的4個選項中隨機地選擇1個，那么他6道選擇題全部選擇正確的概率是
(A) 1 4 (B) ( 1 4 )6 (C) 1?( 1 4 )6 (D) 1?( 3 4 )6
解析： (1) 解：? 攪勻后從中任意摸出1個球，所有可能出現的結果有：紅、黃、藍、白，共有4種，它們出現的可能性相同。所有的結果中，滿足“恰好是紅球”(記為事件 A)的結果只有1種，所以P(A)= 1 4 。
? 攪勻后從中任意摸出1個球，記錄下顏色后放回袋子中并攪勻，再從中任意摸出1個球，所有可能出現的結果有：(紅，紅)、(紅，黃)、(紅，藍)、(紅，白)、
(黃，紅)、(黃，黃)、(黃，藍)、(黃，白)、(藍，紅)、(藍，黃)、(藍，藍)、(藍，
白)、(白，紅)、(白，黃)、(白，藍)、(白，白)，共有16種，它們出現的可能
性相同。所有的結果中，滿足“兩次都是紅球”(記為事件B)的結果只有1種，
所以P(B)= 1 16 。 (6分)
(2) B (8分)
21. (9分) 某校有2000名學生，為了解全校學生的上學方式，該校數學興趣小組在全校隨機
抽取了150名學生進行抽樣調查。整體樣本數據，得到下列圖表：
(1) 理解畫線語句的含義，回答問題：如果150名學生全部在同一個年級抽取，這樣的抽樣是否合理？請說明理由：
(2) 根據抽樣調查的結果，將估計出的全校2000名學生上學方式的情況繪制成條形統(tǒng)計
圖；
(3) 該校數學興趣小組結合調查獲取的信息，向學校提出了一些建議。如：騎車上學的學生數約占全校的34%，建議學校合理安排自行車停車場地。請你結合上述統(tǒng)計的全過程，再提出一條合理化建議： 。
解析：解：(1) 不合理。因為如果150名學生全部在同一個年級抽取，那么全校每個學生被抽到
的機會不相等，樣本不具有代表性。 (2分)
(3) 本題答案不唯一，下列解法供參考。
乘私家車上學的學生約400人，建議學校與交通部門協商安排停車區(qū)域。 (9分)
22. (8分) 已知不等臂蹺蹺板AB長4m。如圖?，當AB的一端碰到地面時，AB與地面的夾
角為?；如圖?，當AB的另一端B碰到地面時，AB與地面的夾角為?。求蹺蹺板AB的支撐點O到地面的高度OH。(用含?、?的式子表示)
解析：解：在Rt△AHO中，sin?= OH OA ，∴OA= OH sin? 。 在Rt△BHO中，sin?= OH OB ，∴OB= OH sin? 。
∵AB=4，∴OA?OB=4，即 OH sin? ? OH sin? =4。∴OH= 4sin?sin? sin??sin? (m)。 (8分)
23. (8分) 某商場促銷方案規(guī)定：商場內所有商品案標價的80%出售，同時，當顧客在商場內消費滿一定金額后，按下表獲得相應的返還金額。
消費金額(元)300~400400~500500~600600~700700~900…
返還金額(元)3060100130150…
注：300~400表示消費金額大于300元且小于或等于400元，其他類同。
根據上述促銷方案，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠。例如，若購買標價為400元的商品，則消費金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為400?(1?80%)?30=110(元)。
(1) 購買一件標價為1000元的商品，顧客獲得的優(yōu)惠額是多少？
(2) 如果顧客購買標價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)惠額不少于226元，那么該商品的標價至少為多少元？
解析：解：(1) 購買一件標價為1000元的商品，消費金額為800元，
顧客獲得的優(yōu)惠額為1000?(1?80%)?150=350(元)。 (2分)
(2) 設該商品的標價為x元。
當80%x?500，即x?625時，顧客獲得的優(yōu)惠額不超過625?(1?80%)?60=185<226；
當500<80%x?600，即625?x?750時，(1?80%)x?100?226。解得x?630。
所以630?x?750。
當600<80%x?800?80%，即750
綜上，顧客購買標價不超過800元的商品，要使獲得的優(yōu)或額不少于226元，
那么該商品的標價至少為630元。 (8分)
24. (8分) 小麗駕車從甲地到乙地。設她出發(fā)第x min時的速度為y km/h，圖中的折線表示她在整個駕車過程中y與x之間的函數關系。
(1) 小麗駕車的最高速度是 km/h；
(2) 當20?x?30時，求y與x之間的函數關系式，并求出小麗出發(fā)第22 min時的速度；
(3) 如果汽車每行駛100 km耗油10 L，那么小麗駕車從甲地到乙地共耗油多少升？
解析：解：(1) 60；(1分)
(2) 當20?x?30時，設y與x之間的函數關系式為y=kx?b。
根據題意，當x=20時，y=60；當x=30時，y=24。
所以60=20k?b24=30k?b，解得k= ?3.6b=132。所以，y與x之間的函數關系式為y= ?3.6x?132。
當x=22時，y= ?3.6?22?132=52.8。
所以，小麗出發(fā)第22min時的速度為52.8km/h。(5分)
(3) 小麗駕車從甲地到乙地行駛的路程為
0?12 2 ? 5 60 ? 12?60 2 ? 5 60 ?60? 10 60 ? 60?24 2 ? 10 60 ? 24?48 2 ? 5 60 ?48? 10 60 ? 48?0 2 ? 5 60
=33.5(km)。
所以，小麗駕車從甲地到乙地共耗油33.5? 10 100 =3.35(L) (8分)
25. (8分) 如圖，AD是圓O的切線，切點為A，AB是圓O
的弦。過點B作BC//AD，交圓O于點C，連接AC，過
點C作CD//AB，交AD于點D。連接AO并延長交BC
于點M，交過點C的直線于點P，且?BCP=?ACD。
(1) 判斷直線PC與圓O的位置關系，并說明理由：
(2) 若AB=9，BC=6，求PC的長。
解析： 解法一：(1) 直線PC與圓O相切。
如圖?，連接CO并延長，交圓O于點N，連接BN。
∵AB//CD，∴?BAC=?ACD。
∵?BAC=?BNC，∴?BNC=?ACD。
∵?BCP=?ACD，∴?BNC=?BCP。
∵CN是圓O的直徑，∴?CBN=90?。
∴?BNC??BCN=90?，∴?BCP??BCN=90?。
∴?PCO=90?，即PC?OC。
又點C在圓O上，∴直線PC與圓O相切。 (4分)
(2) ∵AD是圓O的切線，∴AD?OA，即?OAD=90?。
∵BC//AD，∴?OMC=180???OAD=90?，即OM?BC。
∴MC=MB�！郃B=AC。
在Rt△AMC中，?AMC=90?，AC=AB=9，MC= 1 2 BC=3，
由勾股定理，得AM=AC 2?MC 2 =92?32 =62 。
設圓O的半徑為r。
在Rt△OMC中，?OMC=90?，OM=AM?AO=62 ?r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2?MC 2=OC 2，即(62 ?r)2?32=r2。解得r= 27 8 2 。
在△OMC和△OCP中，
∵?OMC=?OCP，?MOC=?COP，
∴△OMC～△OCP。∴ OM OC = CM PC ，即 62 ? 27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。
∴PC= 27 7 。(8分)
解法二：(1) 直線PC與圓O相切。如圖?，連接OC。
∵AD是圓O的切線，∴AD?OA，
即?OAD=90?。
∵BC//AD，∴?OMC=180???OAD=90?，
即OM?BC。
∴MC=MB�！郃B=AC�！�?MAB=?MAC。
∴?BAC=2?MAC。又∵?MOC=2?MAC，∴?MOC=?BAC。
∵AB//CD，∴?BAC=?ACD。∴?MOC=?ACD。又∵?BCP=?ACD，
∴?MOC=?BCP�！�?MOC??OCM=90?，∴?BCP??OCM=90?。
∴?PCO=90?，即PC?OC。又∵點C在圓O上，∴直線PC與圓O相切。
(2) 在Rt△AMC中，?AMC=90?，AC=AB=9，MC= 1 2 BC=3，
由勾股定理，得AM=AC 2?MC 2 =92?32 =62 。
設圓O的半徑為r。
在Rt△OMC中，?OMC=90?，OM=AM?AO=62 ?r，MC=3，OC=r，
由勾股定理，得OM 2?MC 2=OC 2，即(62 ?r)2?32=r2。解得r= 27 8 2 。
在△OMC和△OCP中，∵?OMC=?OCP，?MOC=?COP，
∴△OMC～△OCP，∴ OM OC = CM PC ，即 62 ? 27 8 2 27 8 2 = 3 PC 。
∴PC= 27 7 。(8分)
26. (9分) 已知二次函數y=a(x?m)2?a(x?m) (a、m為常數，且a?0)。
(1) 求證：不論a與m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點；
(2) 設該函數的圖像的頂點為C，與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點D。
? 當△ABC的面積等于1時，求a的值：
? 當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，求m的值。
解析： (1) 證明：y=a(x?m)2?a(x?m)=ax2?(2am?a)x?am2?am。
因為當a?0時，[?(2am?a)]2?4a(am2?am)=a2>0。
所以，方程ax2?(2am?a)x?am2?am=0有兩個不相等的實數根。
所以，不論a與m為何值，該函數的圖像與x軸總有兩個公共點。(3分)
(2) 解：? y=a(x?m)2?a(x?m)=(x? 2m?1 2 )2? a 4 ，
所以，點C的坐標為( 2m?1 2 ,? a 4 )。
當y=0時，a(x?m)2?a(x?m)=0。解得x1=m，x2=m?1。所以AB=1。
當△ABC的面積等于1時， 1 2 ?1? ? a 4 =1。
所以 1 2 ?1?( ? a 4 )=1，或 1 2 ?1? a 4 =1。
所以a= ?8，或a=8。
? 當x=0時，y=am2?am，所以點D的坐標為(0, am2?am)。
當△ABC的面積與△ABD的面積相等時，
1 2 ?1? ? a 4 = 1 2 ?1? am2?am 。
所以 1 2 ?1?( ? a 4 )= 1 2 ?1?(am2?am)，或 1 2 ?1? a 4 = 1 2 ?1?(am2?am)。
所以m= ? 1 2 ，或m= ?1?2 2 ，或m= ?1?2 2 。 (9分)
27. (10分) 對于兩個相似三角形，如果沿周界按對應點順序環(huán)繞的方向相同，那么稱這兩個
三角形互為順相似；如果沿周界按對應點順序環(huán)繞的方向相反，那么稱這兩個三角形互為
逆相似。例如，如圖?，△ABC～△A’B’C’且沿周界ABCA與A’B’C’A’環(huán)繞的方向相同，
因此△ABC 與△A’B’C’互為順相似；如圖?，△ABC～△A’B’C’，且沿周界ABCA與
A’B’C’A’環(huán)繞的方向相反，因此△ABC 與△A’B’C’互為逆相似。
(1) 根據圖I、圖II和圖III滿足的條件，可得下列三對相似三角形：? △ADE與△ABC；
? △GHO與△KFO； ?△NQP與△NMQ。其中，互為順相似的是 ；互為逆相似的是 。(填寫所有符合要求的序號)
(2) 如圖?，在銳角△ABC中，?A 合)。過點P畫直線截△ABC，使截得的一個三角形與△ABC互為逆相似。請根據點P的不同位置，探索過點P的截線的情形，畫出圖形并說明截線滿足的條件，不必說明
理由。
解析：
(1) ??；? (4分)
(2) 解：根據點P在△ABC邊上的位置分為以下三種情況。
第一種情況：如圖?，點P在BC(不含點B、C)上，過點P只能畫出2條截線PQ1、
PQ2，分別使?CPQ1=?A，?BPQ2=?A，此時△PQ1C、△PBQ2都與△ABC互為逆相似。
第二種情況：如圖?，點P在AC(不含點A、C)上，過點B作?CBM=?A，BM交AC
于點M。
當點P在AM(不含點M)上時，過點P1只能畫出1條截線P1Q，使?AP1Q=?ABC，此
時△AP1Q與△ABC互為逆相似；
當點P在CM上時，過點P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使?AP2Q1=?ABC，
?CP2Q2=?ABC，此時△AP2Q1、△Q2P2C都與△ABC互為逆相似。
第三種情況：如圖?，點P在AB(不含點A、B)上，過點C作?BCD=?A，?ACE=?B，
CD、CE分別交AC于點D、E。
當點P在AD(不含點D)上時，過點P只能畫出1條截線P1Q，使?AP1Q=?ABC，此時
△AQP1與△ABC互為逆相似；
當點P在DE上時，過點P2只能畫出2條截線P2Q1、P2Q2，分別使?AP2Q1=?ACB，
?BP2Q2=?BCA，此時△AQ1P2、△Q2BP2都與△ABC互為逆相似；
當點P在BE(不含點E)上時，過點P3只能畫出1條截線P3Q’，使?BP3Q’=?BCA，
此時△Q’BP3與△ABC互為逆相似。 (10分)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/chusan/54371.html
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