2013年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、（下列各題A、B、C、D四個選項中，有且僅有一個十正確的，每小題3分，共24分）
1．（3分）（2013?黃岡）?（?3）2=（ �。�
A．?3B．3C．?9D．9
考點：有理數(shù)的乘方．
分析：根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義解答．
解答：解：?（?3）2=?9．
故選C．
點評：本題考查了有理數(shù)的乘方的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）（2013?黃岡）隨著人們生活水平的提高，我國擁有汽車的居民家庭也越來越多，下列汽車標(biāo)志中，是中心對稱圖形的是（ �。�
A． B． C． D．
考點：中心對稱圖形．
分析：根據(jù)中心對稱圖形的定義，結(jié)合選項所給圖形進(jìn)行判斷即可．
解答：解：A、是中心對稱圖形，故本選項正確；
B、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
C、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
D、不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；
故選A．
點評：本題考查了中心對稱圖形的知識，判斷中心對稱圖形是要尋找對稱中心，圖形旋轉(zhuǎn)180度后與原圖形重合．
3．（3分）（2013?黃岡）如圖，AB∥CD∥EF，AC∥DF，若∠BAC=120°，則∠CDF=（ �。�
A．60°B．120°C．150°D．180°
考點：平行線的性質(zhì)．
專題：．
分析：根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補由AB∥CD得到∠BAC+∠ACD=180°，可計算出∠ACD=60°，然后由AC∥DF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ACD=∠CDF=60°．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠BAC=120°，
∴∠ACD=180°?120°=60°，
∵AC∥DF，
∴∠ACD=∠CDF，
∴∠CDF=60°．
故選A．
點評：本題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．
4．（3分）（2013?黃岡）下列計算正確的是（ �。�
A．x4?x4=x16B．（a3）2?a4=a9C．（ab2）3÷（?ab）2=?ab4D．（a6）2÷（a4）3=1
考點：同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的；冪的乘方與積的乘方．
分析：根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法則及冪的乘方法則，結(jié)合各選項進(jìn)行判斷即可．
解答：解：A、x4×x4=x8，原式計算錯誤，故本選項錯誤；
B、（a3）2?a4=a10，原式計算錯誤，故本選項錯誤；
C、（ab2）3÷（?ab）2=ab4，原式計算錯誤，故本選項錯誤；
D、（a6）2÷（a4）3=1，計算正確，故本選項正確；
故選D．
點評：本題考查了同底數(shù)冪的乘除、冪的乘方與積的乘方的知識，解答本題的關(guān)鍵是掌握各部分的運算法則．
5．（3分）（2013?黃岡） 已知一個正棱柱的俯視圖和左視圖如圖，則其主視圖為（ ）
A． B． C． D．
考點：由三視圖判斷幾何體；簡單組合體的三視圖．
分析：首先根據(jù)俯視圖和左視圖判斷該幾何體，然后確定其主視圖即可；
解答：解：根據(jù)此正棱柱的俯視圖和左視圖得到該幾何體是正五棱柱，
其主視圖應(yīng)該是矩形，而且有看到兩條棱，背面的棱用虛線表示，
故選D．
點評：本題考查了幾何體的三種視圖，掌握定義是關(guān)鍵．主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．
6．（3分）（2013?黃岡）已知一元二次方程x2?6x+C=0有一個根為2，則另一根為（ �。�
A．2B．3C．4D．8
考點：根與系數(shù)的關(guān)系．
分析：利用根與系數(shù)的關(guān)系來求方程的另一根．
解答：解：設(shè)方程的另一根為α，則α+2=6，
解得α=4．
故選C．
點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．若二次項系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=?p，x1x2=q，反過來可得p=?（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．
7．（3分）（2013?黃岡） 已知一個圓柱的側(cè)面展開圖為如圖所示的矩形，則其底面圓的面積為（ �。�
A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π
考點：幾何體的展開圖．
分析：分底面周長為4π和2π兩種情況討論，先求得底面半徑，再根據(jù)圓的面積公式即可求解．
解答：解：①底面周長為4π時，半徑為4π÷π÷2=2，底面圓的面積為π×22=4π；
②底面周長為2π時，半徑為2π÷π÷2=1，底面圓的面積為π×12=π．
故選C．
點評：考查了圓柱的側(cè)面展開圖，注意分長為底面周長和寬為底面周長兩種情況討論求解．
8．（3分）（2013?黃岡）一列快車從甲地駛往乙地，一列特快車從乙地駛往甲地，快車的速度為100千米/小時，特快車的速度為150千米/小時，甲乙兩地之間的距離為1000千米，兩車同時出發(fā)，則圖中折線大致表示兩車之間的距離y（千米）與快車行駛時間（小時）之間的函數(shù)圖象是（ �。�
A． B． C． D．
考點：函數(shù)的圖象．
分析：分三段討論，①兩車從開始到相遇，這段時間兩車距迅速減小，②相遇后向相反方向行駛至特快到達(dá)甲地，這段時間兩車距迅速增加，③特快到達(dá)甲地至快車到達(dá)乙地，這段時間兩車距緩慢增大，結(jié)合實際選符合的圖象即可．
解答：解：①兩車從開始到相遇，這段時間兩車距迅速減��；
②相遇后向相反方向行駛至特快到達(dá)甲地，這段時間兩車距迅速增加；
③特快到達(dá)甲地至快車到達(dá)乙地，這段時間兩車距緩慢增大；
結(jié)合圖象可得C選項符合題意．
故選C．
點評：本題考查了函數(shù)的圖象，解答本題關(guān)鍵是分段討論，要結(jié)合實際解答，明白每條直線所代表的實際含義及拐點的含義．
二、題（每小題3分，滿分21分）
9．（3分）（2013?黃岡）計算： = ? （或 ） ．
考點：分式的加減法．
專題：．
分析：分母相同，直接將分子相減再約分即可．
解答：解：原式= = =? ，（或 ）．
點評：本題考查了分式的加減，分式的加減運算中，如果是同分母分式，那么分母不變，把分子直接相加減即可．
10．（3分）（2013?黃岡）分解因式：ab2?4a= a（b?2）（b+2）�。�
考點：提公因式法與公式法的綜合運用．
分析：先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．
解答：解：ab2?4a
=a（b2?4）
=a（b?2）（b+2）．
故答案為：a（b?2）（b+2）．
點評：本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解，一個多項式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法進(jìn)行因式分解，同時因式分解要徹底，直到不能分解為止．
11．（3分）（2013?黃岡）已知△ABC為等邊三角形，BD為中線，延長BC至E，使CE=CD=1，連接DE，則DE= �。�
考點：等邊三角形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．
分析：根據(jù)等腰三角形和三角形外角性質(zhì)求出BD=DE，求出BC，在Rt△△BDC中，由勾股定理求出BD即可．
解答：解：∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∵BD為中線，
∴∠DBC= ∠ABC=30°，
∵CD=CE，
∴∠E=∠CDE，
∵∠E+∠CDE=∠ACB，
∴∠E=30°=∠DBC，
∴BD=DE，
∵BD是AC中線，CD=1，
∴AD=DC=1，
∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC=1+1=2，BD⊥AC，
在Rt△△BDC中，由勾股定理得：BD= = ，
即DE=BD= ，
故答案為： ．
點評：本題考查了等邊三角形性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識點的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出DE=BD和求出BD的長．
12．（3分）（2013?黃岡）已知反比例函數(shù) 在第一象限的圖象如圖所示，點A在其圖象上，點B為x軸正半軸上一點，連接AO、AB，且AO=AB，則S△AOB= 6�。�
考點：反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義；等腰三角形的性質(zhì)．
分析：根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出CO=BC，再利用反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得出S△AOB即可．
解答：解：過點A作AC⊥OB于點C，
∵AO=AB，
∴CO=BC，
∵點A在其圖象上，
∴ AC×CO=3，
∴ AC×BC=3，
∴S△AOB=6．
故答案為：6．
點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，正確分割△AOB是解題關(guān)鍵．
13．（3分）（2013?黃岡）如圖，M是CD的中點，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，則 所在圓的半徑為 �。�
考點：垂徑定理；勾股定理．
專題：探究型．
分析：首先連接OC，由M是CD的中點，EM⊥CD，可得EM過⊙O的圓心點O，然后設(shè)半徑為x，由勾股定理即可求得：（8?x）2+22=x2，解此方程即可求得答案．
解答：解：連接OC，
∵M(jìn)是CD的中點，EM⊥CD，
∴EM過⊙O的圓心點O，
設(shè)半徑為x，
∵CD=4，EM=8，
∴CM= CD=2，OM=8?OE=8?x，
在Rt△OEM中，OM2+CM2=OC2，
即（8?x）2+22=x2，
解得：x= ．
∴ 所在圓的半徑為： ．
故答案為： ．
點評：此題考查了垂徑定理以及勾股定理．此題難度不大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．
14．（3分）（2013?黃岡）釣魚島自古就是中國領(lǐng)土，中國政府已對釣魚島開展常態(tài)化巡邏．某天，為按計劃準(zhǔn)點到達(dá)指定海域，某巡邏艇凌晨1：00出發(fā)，勻速行駛一段時間后，因中途出現(xiàn)故障耽擱了一段時間，故障排除后，該艇加快速度仍勻速前進(jìn)，結(jié)果恰好準(zhǔn)點到達(dá)．如圖是該艇行駛的路程y（海里）與所用時間t（小時）的函數(shù)圖象，則該巡邏艇原計劃準(zhǔn)點到達(dá)的時刻是 7：00�。�
考點：一次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：根據(jù)函數(shù)圖象和題意可以求出開始的速度為80海里/時，故障排除后的速度是100海里/時，設(shè)計劃行駛的路程是a海里，就可以由時間之間的關(guān)系建立方程求出路程，再由路程除以速度就可以求出計劃到達(dá)時間．
解答：解：由圖象及題意，得
故障前的速度為：80÷1=80海里/時，
故障后的速度為：（180?80）÷1=100海里/時．
設(shè)航行額全程由a海里，由題意，得
，
解得：a=480，
則原計劃行駛的時間為：480÷80=6小時，
故計劃準(zhǔn)點到達(dá)的時刻為：7：00．
故答案為：7：00．
點評：本題考查了運用函數(shù)圖象的意義解答行程問題的運用，行程問題的數(shù)量關(guān)系路程=速度×?xí)r間的運用，解答時先根據(jù)圖象求出速度是關(guān)鍵，再建立方程求出距離是難點．
15．（3分）（2013?黃岡）如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l作無滑動翻滾，當(dāng)點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經(jīng)過的路線長為 6π�。�
考點：弧長的計算；矩形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．
專題：規(guī)律型．
分析：如圖根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，點A經(jīng)過的路線長是三段：①以90°為圓心角，AD長為半徑的扇形的弧長；②以90°為圓心角，AB長為半徑的扇形的弧長；③90°為圓心角，矩形ABCD對角線長為半徑的扇形的弧長．
解答：解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，
∴BC=AD=3，∠ADC=90°，對角線AC（BD）=5．
∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，
∴點A第一次翻滾到點A′位置時，則點A′經(jīng)過的路線長為： = ．
同理，點A′第一次翻滾到點A″位置時，則點A′經(jīng)過的路線長為： =2π．
點″第一次翻滾到點A1位置時，則點A″經(jīng)過的路線長為： = ．
則當(dāng)點A第一次翻滾到點A1位置時，則點A經(jīng)過的路線長為： +2π+ =6π．
故答案是：6π．
點評：本題考查了弧長的計算、矩形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)題意畫出點A運動軌跡，是突破解題難點的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共10個小題，共86分．每小題給出必要的演算過程或推理步驟．）
16．（6分）（2013?黃岡）解方程組： ．
考點：解二元一次方程組．
專題：計算題．
分析：把方程組整理成一般形式，然后利用代入消元法其求即可．
解答：解：方程組可化為 ，
由②得，x=5y?3③，
③代入①得，5（5y?3）?11y=?1，
解得y=1，
把y=1代入③得，x=5?3=2，
所以，原方程組的解是 ．
點評：本題考查的是二元一次方程組的解法，方程組中未知數(shù)的系數(shù)較小時可用代入法，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)時用加減消元法較簡單．
17．（6分）（2013?黃岡）如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC、BD相交于點O，DH⊥AB于H，連接OH，求證：∠DHO=∠DCO．
考點：菱形的性質(zhì)．
專題：證明題．
分析：根據(jù)菱形的對角線互相平分可得OD=OB，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OH=OB，然后根據(jù)等邊對等角求出∠OHB=∠OBH，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠OBH=∠ODC，然后根據(jù)等角的余角相等證明即可．
解答：證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴OD=OB，∠COD=90°，
∵DH⊥AB，
∴OH=OB，
∴∠OHB=∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH=∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO=90°，
在Rt△GHB中，∠DHO+∠OHB=90°，
∴∠DHO=∠DCO．
點評：本題考查了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，以及等角的余角相等，熟記各性質(zhì)并理清圖中角度的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
18．（7分）（2013?黃岡）為了倡導(dǎo)“節(jié)約用水，從我做起”，黃岡市政府決定對市直機(jī)關(guān)500戶家庭的用水情況作一次調(diào)查，市政府調(diào)查小組隨機(jī)抽查了其中100戶家庭一年的月平均用水量（單位：噸）．并將調(diào)查結(jié)果制成了如圖所示的條形統(tǒng)計圖．
（1）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（2）求這100個樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)；
（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計黃岡市直機(jī)關(guān)500戶家庭中月平均用水量不超過12噸的約有多少戶？
考點：條形統(tǒng)計圖；用樣本估計總體；加權(quán)平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)．
分析：（1）根據(jù)條形圖中數(shù)據(jù)得出平均用水11噸的戶數(shù)，進(jìn)而畫出條形圖即可；
（2）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾的定義分別求法即可；
（3）根據(jù)樣本估計總體得出答案即可．
解答：解：（1）根據(jù)條形圖可得出：
平均用水11噸的用戶為：100?20?10?20?10=40（戶），
如圖所示：
（2）平均數(shù)為： （20×10+40×11+12×10+13×20+10×14）=11.6（噸），
根據(jù)11出現(xiàn)次數(shù)最多，故眾數(shù)為：11，
根據(jù)100個數(shù)據(jù)的最中間為第50和第51個數(shù)據(jù)，
按大小排列后第50，51個數(shù)據(jù)是11，故中位數(shù)為：11；
（3）樣本中不超過12噸的有20+40+10=70（戶），
∴黃岡市直機(jī)關(guān)500戶家庭中月平均用水量不超過12噸的約有：500× =350（戶）．
點評：此題主要考查了平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的統(tǒng)計意義．找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個；平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個數(shù)．
19．（6分）（2013?黃岡）如圖，有四張背面相同的紙牌A，B，C，D，其正面分別是紅桃、方塊、黑桃、梅花，其中紅桃、方塊為紅色，黑桃、梅花為黑色．小明將這4張紙牌背面朝上洗勻后，摸出一張，將剩余3張再摸出一張．
（1）用樹狀圖（或列表法）表示兩次摸牌所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（紙牌用A，B，C，D表示）；
（2）求摸出的兩張牌同為紅色的概率．
考點：列表法與樹狀圖法．
分析：（1）畫出樹狀圖即可；
（2）根據(jù)樹狀圖可以直觀的得到共有12種情況，都是紅色情況有2種，進(jìn)而得到概率．
解答：解：（1）如圖所示：
（2）根據(jù)樹狀圖可得共有12種情況，都是紅色情況有2種，
概率為 = ．
點評：本題考查概率公式，即如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）= ．
20．（7分）（2013?黃岡）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．
（1）求證：DC為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長．
考點：切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．
分析：（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點；
（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．
解答：（1）證明：連接OC
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠DAB
∴∠DAC=∠OAC
∴∠DAC=∠OCA
∴OC∥AD
∵AD⊥CD∴OC⊥CD
∴直線CD與⊙O相切于點C；
（2）解：連接BC，則∠ACB=90°．
∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴ ，
∴AC2=AD?AB，
∵⊙O的半徑為3，AD=4，
∴AB=6，
∴AC=2 ．
點評：此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問題．
21．（8分）（2013?黃岡）為支援四川雅安地震災(zāi)區(qū)，某市民政局組織募捐了240噸救災(zāi)物資，現(xiàn)準(zhǔn)備租用甲、乙兩種貨車，將這批救災(zāi)物資一次性全部運往災(zāi)區(qū)，它們的載貨量和租金如下表：
甲種貨車乙種貨車
載貨量（噸/輛）4530
租金（元/輛）400300
如果計劃租用6輛貨車，且租車的總費用不超過2300元，求最省錢的租車方案．
考點：一元一次不等式組的應(yīng)用．
分析：根據(jù)設(shè)租用甲種貨車x輛，則租用乙種6?x輛，利用某市民政局組織募捐了240噸救災(zāi)物資，以及每輛貨車的載重量得出不等式求出即可，進(jìn)而根據(jù)每輛車的運費求出最省錢方案．
解答：解：設(shè)租用甲種貨車x輛，則租用乙種6?x輛，
根據(jù)題意得出：
45x+30（6?x）≥240，
解得：x≥4，
則租車方案為：甲4輛，乙2輛；甲5輛，乙1輛；甲6輛，乙0輛；
租車的總費用分別為：4×400+2×300=2200（元），5×400+1×300=2300（元），
6×400=2400（元）＞2300（不合題意舍去），
故最省錢的租車方案是租用甲貨車4輛，乙貨車2輛．
點評：此題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)已知得出不等式求出所有方案是解題關(guān)鍵．
22．（8分）（2013?黃岡）如圖，小山頂上有一信號塔AB，山坡BC的傾角為30°，現(xiàn)為了測量塔高AB，測量人員選擇山腳C處為一測量點，測得塔頂仰角為45°，然后順山坡向上行走100米到達(dá)E處，再測得塔頂仰角為60°，求塔高AB（結(jié)果保留整數(shù)， ≈1.73， ≈1.41）
考點：解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．
專題：．
分析：先判斷△ACE為等腰三角形，在Rt△AEF中表示出EF、AF，在Rt△BEF中求出BF，根據(jù)AB=AF?BF即可得出答案．
解答：解：依題意可得：∠AEB=30°，∠ACE=15°，
又∵∠AEB=∠ACE+∠CAE
∴∠CAE=15°，
即△ACE為等腰三角形，
∴AE=CE=100m，
在Rt△AEF中，∠AEF=60°，
∴EF=AEcos60°=50m，AF=AEsin60°=50 m，
在Rt△BEF中，∠BEF=30°，
∴BF=EFtan30°=50× = m，
∴AB=AF?BF=50 ? = ≈58（米）．
答：塔高AB大約為58米．
點評：本題考查了解直角三角形的知識，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)表示出相關(guān)線段的長度，難度一般．
23．（12分）（2013?黃岡）某公司生產(chǎn)的一種健身產(chǎn)品在市場上受到普遍歡迎，每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完．該公司的年產(chǎn)量為6千件，若在國內(nèi)市場銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤y1（元）與國內(nèi)銷售量x（千件）的關(guān)系為：
y1=
若在國外銷售，平均每件產(chǎn)品的利潤y2（元）與國外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系為
y2=
（1）用x的代數(shù)式表示t為：t= 6?x��；當(dāng)0＜x≤4時，y2與x的函數(shù)關(guān)系為：y2= 5x+80��；當(dāng) 4 ＜x＜ 6 時，y2=100；
（2）求每年該公司銷售這種健身產(chǎn)品的總利潤w（千元）與國內(nèi)銷售數(shù)量x（千件）的函數(shù)關(guān)系式，并指出x的取值范圍；
（3）該公司每年國內(nèi)、國外的銷售量各為多少時，可使公司每年的總利潤最大？最大值為多少？
考點：二次函數(shù)的應(yīng)用．
分析：（1）由該公司的年產(chǎn)量為6千件，每年可在國內(nèi)、國外市場上全部售完，可得國內(nèi)銷售量+國外銷售量=6千件，即x+t=6，變形即為t=6?x；
根據(jù)平均每件產(chǎn)品的利潤y2（元）與國外的銷售數(shù)量t（千件）的關(guān)系 及t=6?x即可求出y2與x的函數(shù)關(guān)系：當(dāng)0＜x≤4時，y2=5x+80；當(dāng)4≤x＜6時，y2=100；
（2）根據(jù)總利潤=國內(nèi)銷售的利潤+國外銷售的利潤，結(jié)合函數(shù)解析式，分三種情況討論：①0＜x≤2；②2＜x≤4；③4＜x＜6；
（3）先利用配方法將各解析式寫成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出三種情況下的最大值，再比較即可．
解答：解：（1）由題意，得x+t=6，
∴t=6?x；
∵ ，
∴當(dāng)0＜x≤4時，2≤6?x＜6，即2≤t＜6，
此時y2與x的函數(shù)關(guān)系為：y2=?5（6?x）+110=5x+80；
當(dāng)4≤x＜6時，0≤6?x＜2，即0≤t＜2，
此時y2=100．
故答案為6?x；5x+80；4，6；
（2）分三種情況：
①當(dāng)0＜x≤2時，w=（15x+90）x+（5x+80）（6?x）=10x2+40x+480；
②當(dāng)2＜x≤4時，w=（?5x+130）x+（5x+80）（6?x）=?10x2+80x+480；
③當(dāng)4＜x＜6時，w=（?5x+130）x+100（6?x）=?5x2+30x+600；
綜上可知，w= ；
（3）當(dāng)0＜x≤2時，w=10x2+40x+480=10（x+2）2+440，此時x=2時，w最大=600；
當(dāng)2＜x≤4時，w=?10x2+80x+480=?10（x?4）2+640，此時x=4時，w最大=640；
當(dāng)4＜x＜6時，w=?5x2+30x+600=?5（x?3）2+645，4＜x＜6時，w＜640；
∴x=4時，w最大=640．
故該公司每年國內(nèi)、國外的銷售量各為4千件、2千件，可使公司每年的總利潤最大，最大值為64萬元．
點評：本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，有一定難度．涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)，分段函數(shù)等知識，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．
24．（15分）（2013?黃岡）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是梯形，其中A（6，0），B（3， ），C（1， ），動點P從點O以每秒2個單位的速度向點A運動，動點Q也同時從點B沿B→C→O的線路以每秒1個單位的速度向點O運動，當(dāng)點P到達(dá)A點時，點Q也隨之停止，設(shè)點P，Q運動的時間為t（秒）．
（1）求經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的解析式；
（2）當(dāng)點Q在CO邊上運動時，求△OPQ的面積S與時間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）以O(shè)，P，Q頂點的三角形能構(gòu)成直角三角形嗎？若能，請求出t的值；若不能，請說明理由；
（4）經(jīng)過A，B，C三點的拋物線的對稱軸、直線OB和PQ能夠交于一點嗎？若能，請求出此時t的值（或范圍），若不能，請說明理由）．
考點：二次函數(shù)綜合題．
分析：（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)已知得出△OPQ的高，進(jìn)而利用三角形面積公式求出即可；
（3）根據(jù)題意得出：0≤t≤3，當(dāng)0≤t≤2時，Q在BC邊上運動，得出若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，當(dāng)2＜t≤3時，Q在OC邊上運動，得出△OPQ不可能為直角三角形；
（4）首先求出拋物線對稱軸以及OB直線解析式和PM的解析式，得出 （1?t）× =3?t?2t，恒成立，即0≤t≤2時，P，M，Q總在一條直線上，再利用2＜t≤3時，求出t的值，根據(jù)t的取值范圍得出答案．
解答：解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，把A（6，0），B（3， ），C（1， ）三點坐標(biāo)代入得：
，
解得： ，
即所求拋物線解析式為：y=? x2+ x+ ；
（2）如圖1，依據(jù)題意得出：OC=CB=2，∠COA=60°，
∴當(dāng)動點Q運動到OC邊時，OQ=4?t，
∴△OPQ的高為：OQ×sin60°=（4?t）× ，
又∵OP=2t，
∴S= ×2t×（4?t）× =? （t2?4t）（2≤t≤3）；
（3）根據(jù)題意得出：0≤t≤3，
當(dāng)0≤t≤2時，Q在BC邊上運動，此時OP=2t，OQ= ，
PQ= = ，
∵∠POQ＜∠POC=60°，
∴若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OPQ=90°，如圖2，則OP2+PQ2=QO2，即4t2+3+（3t?3）2=3+（3?t）2，
解得：t1=1，t2=0（舍去），
若△OPQ為直角三角形，只能是∠OPQ=90°或∠OQP=90°，
若∠OQP=90°，如圖，3，則OQ2+PQ2=PO2，即（3?t）2+6+（3t?3）2=4t2，
解得：t=2，
當(dāng)2＜t≤3時，Q在OC邊上運動，此時QP=2t＞4，
∠POQ=∠COP=60°，
OQ＜OC=2，
故△OPQ不可能為直角三角形，
綜上所述，當(dāng)t=1或t=2時，△OPQ為直角三角形；
（4）由（1）可知，拋物線y=? x2+ x+ =? （x?2）2+ ，
其對稱軸為x=2，
又∵OB的直線方程為y= x，
∴拋物線對稱軸與OB交點為M（2， ），
又∵P（2t，0）
設(shè)過P，M的直線解析式為：y=kx+b，
∴ ，
解得： ，
即直線PM的解析式為：y= x? ，
即 （1?t）y=x?2t，
又0≤t≤2時，Q（3?t， ），代入上式，得：
（1?t）× =3?t?2t，恒成立，
即0≤t≤2時，P，M，Q總在一條直線上，
即M在直線PQ上；
當(dāng)2＜t≤3時，OQ=4?t，∠QOP=60°，
∴Q（ ， ），
代入上式得： × （1?t）= ?2t，
解得：t=2或t= （均不合題意，舍去）．
∴綜上所述，可知過點A、B、C三點的拋物線的對稱軸OB和PQ能夠交于一點，此時0≤t≤2．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識，利用分類討論思想得出t的值是解題關(guān)鍵．
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