九年級(jí)數(shù)學(xué)競賽圓冪定理教案

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 九年級(jí) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題求解】
【例1】 如圖,PT切⊙O于點(diǎn)T,PA交⊙O于A、B兩點(diǎn),且與直徑CT交于點(diǎn)D,CD=2,AD=3,BD=6,則PB= .
(成都市 中考題)
思路點(diǎn)撥 綜合運(yùn)用圓冪定理、勾股定理求PB長.

注:比例線段是幾何之中一個(gè)重要問題,比例線段的學(xué)習(xí)是一個(gè)由一般到特殊、不斷深化的過程,大致經(jīng)歷了四個(gè)階段:
(1)平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例;
(2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例;
(3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡捷地表示出來;
(4)圓中的比例線段通過圓冪定理明快地反映出來.

【例2】 如圖,在平行四邊形ABCD中,過A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于點(diǎn)E,且與CD相切, 若AB=4,BE=5,則DE的長為( )
A.3 B.4 C. D.
(全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)
思路點(diǎn)撥 連AC,CE,由條件可得許多等線段,為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件.

注:圓中線段的算,常常需要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識(shí),通過代數(shù)化獲解,加強(qiáng)對(duì)圖形的分解,注重信息的重組與整合是解圓中線段計(jì)算問題的關(guān)鍵.

【例3】 如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB是∠O的直徑,PA是過A點(diǎn)的直線,∠PAC=∠B.
(1)求證:PA是⊙O的切線;
(2)如果弦CD交AB于E,CD的延長線交PA于F,AC=8,CE:ED=6:5,,AE:BE=2:3,求AB的長和∠ECB的正切值.
(北京市海淀區(qū)中考題)
思路點(diǎn)撥 直徑、切線對(duì)應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識(shí).(1)問的證明為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件;引入?yún)?shù)x、k處理(2)問中的比例式,把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示,并尋找x與k的關(guān)系,建立x或k的方程.

【例4】 如圖,P是平行四邊形AB的邊AB的延長線上一點(diǎn),DP與AC、BC分別交于點(diǎn)E、E,EG是過B、F、P三點(diǎn)圓的切線,G為切點(diǎn),求證:EG=DE
(四川省競賽題)
思路點(diǎn)撥 由切割線定理得EG2=EF?EP,要證明EG=D E,只需證明DE2=EF?EP,這樣通過圓冪定理把線段相等問題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證明.

注:圓中的許多問題,若圖形中有適用圓冪定理的條件,則能化解問題的難度,而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問題的橋梁.
需要注意的是,圓冪定理的運(yùn)用不僅局限于計(jì)算及比例線段的證明,可拓展到平面幾何各 種類型的問題中.
【例5】 如圖,以正方形ABCD的AB邊為直徑,在正方形內(nèi)部作半圓,圓心為O,DF切半圓于點(diǎn)E,交AB的延長線于點(diǎn)F,BF=4.
求:(1)cos∠F的值;(2)BE的長.
(成都市中考題)
思路點(diǎn)撥 解決本例的基礎(chǔ)是:熟悉圓中常用輔助線的添法(連OE,AE);熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法.對(duì)于(1),先求出EF,F(xiàn)O值;對(duì)于(2),從△BE F∽△EAF,Rt△A EB入手.

注:當(dāng)直線形與圓結(jié)合時(shí)就產(chǎn)生錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形,善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵,分析圖形可從以下方面入手:
(1)多視點(diǎn)觀察圖形.如本例從D點(diǎn)看可用切線長定理,從F點(diǎn)看可用切割線定理.
(2)多元素分析圖形.圖中有沒有特殊點(diǎn)、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形.
(3)將以上分析組合,尋找聯(lián)系.

學(xué)力訓(xùn)練
1.如圖,PT是⊙O的切線,T為切點(diǎn),PB是⊙O的割線,交⊙O于A、B兩點(diǎn),交弦CD于點(diǎn)M,已知CM=10,MD=2,PA=MB=4,則PT的長為 .
(紹興市中考題)
2.如圖,PAB、PCD為⊙O的 兩條割線,若PA=5,AB=7,CD=11,則AC:BD= .
3.如圖,AB是⊙O的直徑,C是AB延長線上的一點(diǎn),CD是⊙O的切線,D為切點(diǎn),過點(diǎn)B作⊙O的切線交CD于點(diǎn)F,若AB=C D=2,則CE= .
(天津市中考題)

4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=6,以AC為直徑作圓與斜邊交于點(diǎn)P,則BP的長為( )
A.6.4 B.3.2 C .3.6 D.8
(蘇州市中考題)

5.如圖,⊙O的弦AB平分半徑OC,交OC于P點(diǎn),已知PA、PB的長分別為方程 的兩根,則此圓的直徑為( )
A. B. C. D.
(昆明市中考題)

6.如圖,⊙O的直徑Ab垂直于弦CD,垂足為H,點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合),連結(jié)PC、PD、PA、AD,點(diǎn)E在AP的延長線上,PD與AB交于點(diǎn)F,給出下列四個(gè)結(jié)論:①CH2=AH?BH;②AD=AC:③AD2=DF?DP;④∠EPC=∠APD,其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(福州市中考題)
7.如圖,BC是半圓的直徑,O為圓心,P是BC延長線上一點(diǎn),PA切半圓于點(diǎn)A,AD⊥BC于點(diǎn)D.
(1)若∠B =30°,問AB與AP是否相等?請(qǐng)說明理由;
(2)求證:PD?PO=PC?PB;
(3)若BD:DC=4:l,且BC=10,求PC的長.
(紹興市中考題)
8.如圖,已知PA切⊙O于點(diǎn)A,割線PBC交⊙O于點(diǎn)B、C,PD⊥AB于點(diǎn)D,PD、AO的延長線相交于點(diǎn)E,連CE并延長交⊙O于點(diǎn)F,連AF.
(1)求證:△PBD∽△PEC;
(2)若AB=12,tan∠EAF= ,求⊙O的半徑的長.
(北京市崇文區(qū)中考題)
9.如圖,已知AB是⊙O的直徑,PB切⊙O于點(diǎn)B,PA交⊙O于點(diǎn)C,PF分別交 AB、BC于E、D,交⊙O于F、G,且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程 (其中 為實(shí)數(shù))的兩根.
(1)求證:BE=BD;(2)若GE?EF= ,求∠A的度數(shù).
(山西省中考題)

10.如圖,△ABC中,∠C=90°,O為AB上一點(diǎn),以O(shè)為圓心,OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)E,與AC相切于點(diǎn)D,已知AD=2,AE=1,那么BC= .
(山東省臨沂市中考題)

11.如圖,已知A、B、C、D在同一個(gè)圓上,BC=CD,AC與BD交于E,若AC=8,CD=4,且線段BE、ED為正整數(shù),則BD= .

12.如圖,P是半圓O的直徑BC延長線上一點(diǎn),PA切半圓于點(diǎn)A,AH⊥BC于H,若PA=1,PB+PC= ( >2),則PH=( )
A. B. C. D.
13.如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形,弦EF經(jīng)過BC的中點(diǎn)D,且EF∥AB,若AB=2,則DE的長為( )
A. B. C. D.1
14.如圖,已知AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點(diǎn),延長BC至D,使CD=BC,CE⊥AD于E,B
E交⊙O于F,AF交CE于P,求證:PE=PC.
(太原市競賽題)

15.已知:如 圖,ABCD為正方形,以D點(diǎn)為圓心,AD為半徑 的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點(diǎn),連結(jié)AC、AP、CP,并延長CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點(diǎn),連結(jié)OF.
(1)求證:△AEP∽△CEA;(2)判斷線段AB與OF的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(3)求BH:HC (四川省中考題)
16.如圖,PA、PB是⊙O的兩條切線,PEC是一條割線,D是AB與PC的交點(diǎn),若PE=2,CD=1,求DE的 長.
(國家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題)


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