2013年山東青島市初級中學(xué)學(xué)業(yè)水平考試
數(shù)學(xué)試題
一、
1、－6的相反數(shù)是（ ）
A、—6 B、6 C、 D、
答案：B
解析：－6的相反數(shù)為6，簡單題。
2、下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（ ）
A B C D
答案：D
解析：A、B、C都是軸對稱圖形，只有D為中心對稱圖形。
3、如圖所示的幾何體的俯視圖是（ ）
A B C D
答案：B
解析：該幾何體上面是圓錐，下面為圓 柱，圓錐的俯視圖是一個圓和圓心，圓錐頂點(diǎn)投影為一個點(diǎn)（圓心）。
4、“十二五”以來，我國積極推進(jìn)國家創(chuàng)新體系建設(shè)，國家統(tǒng)計局《2014年國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展統(tǒng)計公報》指出，截止2014年底，國內(nèi)有效專利達(dá)8750000件，將8750000件用科學(xué)計數(shù)法表示為（ ）件
A、 B、 C、 D、
答案：C
解析：科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．
8750000＝
5、一個不透明的口袋里裝有除顏色都相同的5個白球和若干個紅球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，小亮為了估計其中的紅球數(shù)，采用如下方法，先將口袋中的球搖勻，再從口袋里隨機(jī)摸出一球，記下顏色，然后把它放回口袋中，不斷重復(fù)上述過程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估計口袋中的紅球大約有（ ）個
A、45 B、48 C、50 D、55
答案：A
解析：摸到白球的概率為P＝ ，設(shè)口袋里共有n個球，則
，得n＝50，所以，紅球數(shù)為：50－5＝45，選A。
6、已知矩形的面積為36cm2，相鄰的兩條邊長為 和 ，則 與 之間的函數(shù)圖像大致是（ ）
A B C D
答案：A
解析：因為xy＝36，即 ，是一個反比例函數(shù)，故選A。
7、直線 與半徑 的圓O相交，且點(diǎn)O到直線 的距離為6，則 的取值范圍是（ ）
A、 B、 C、 D、
答案：C
解析：當(dāng)圓心到直線的距離小于半徑時，直線與圓相交，所以選C。
8、如圖，△ABO縮小后變?yōu)?，其中A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為 ， 均在圖中格點(diǎn)上，若線段AB上有一點(diǎn) ，則點(diǎn) 在 上的對應(yīng)點(diǎn) 的 坐標(biāo)為（ ）
A、 B、
C、 D、
答案：D
解析 ：因為AB＝2 ， ，所以， ，所以點(diǎn)P（m，n）經(jīng)過縮小變換后點(diǎn) 的坐標(biāo)為
二、題
9、計算：
答案：
解析：原式＝ ＝
10、某校對甲、乙兩名跳高運(yùn)動員的近期跳高成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，結(jié)果如下： ， ， ， ，則這兩名運(yùn)動員中的________的成績更穩(wěn)定。
答案：甲
解析：數(shù)據(jù)的方差小的運(yùn)動員比較穩(wěn)定，因為甲的方差小于乙，所以，甲穩(wěn)定。
11、某企業(yè)2010年底繳稅40萬元，2014年底繳稅48.4萬元，設(shè)這兩年該企業(yè)繳稅的年平均增長率為 ，根據(jù)題意，可得方程___________
答案：40（1＋x）2＝48.4
解析：2010年為40，在年增長率為x的情況下，2014年應(yīng)為40（1＋x），
2014年為40（1＋x）2，所以，40（1＋x）2＝48.4
12、如圖，一個正比例函數(shù)圖像與一次函數(shù) 的圖像相交于點(diǎn)P，則這個正比例函數(shù)的表達(dá)式是____________
答案：y＝－2x
解析：交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y＝2，代入一次函數(shù)解析式：2 ＝－x＋1，所以，x＝－1
即P（－1,2），代入正比例函數(shù)，y＝kx，得k－2，所以，y＝－2x
13、如圖，AB是圓0直徑，弦AC=2，∠ABC=30°，則圖中陰影部分的面積是_____________
答 案：
解析：連結(jié)OC，則∠BOC＝120°，AB＝4，所以，R＝2，
扇形BOC的面積為S扇形＝
三角形BOC的面積為：
所以，陰影部分面積為：
14、要把一個正方體分割成8個小正方體，至少需要切3刀，因為這8個小正方體都只有三個面現(xiàn)成 的，其它三個面必須用刀切3次才能切出來，那么，要把一個正方體分割成27個小正方體，至少需要要刀切__________次，分割成64個小正方體，至少需要用刀切_________次。
答案：6，9
解析：
27=3*3*3 ，2刀可切3段，從前，上，側(cè)三個方向切每面2刀 所以需要2*3=6刀
64=4*4*4 ，3刀可切4段，從前，上，側(cè)三個方向切每面3刀 所以需要3*3=9刀
三、作圖題
15、已知，如圖，直線AB與直線BC相交于點(diǎn)B，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)
求作：點(diǎn)E，使直線DE∥AB，且點(diǎn)E到B、D兩點(diǎn)的距離相等
（在題目的原圖中完成作圖）
結(jié)論：
解析：因為點(diǎn)E到B、D兩點(diǎn)的距離相等，所以，點(diǎn)E一定在線段BD的垂直平分線上，
首先以D為頂點(diǎn)，DC為邊作一個角等于∠ABC，再作出DB的垂直平分線，即可找到點(diǎn)E．
點(diǎn)E即為所求．
四、解答題
16、（1）解方程組： （2）化簡：
解析：（1）兩式相加，得：x＝1，把x＝1代入第2式，得y＝1 ，
所以原方程組 的解：
（2）原式＝
17、請根據(jù)所給信息，幫助小穎同學(xué)完成她的調(diào)查報告
2013年4月光明中學(xué)八年級學(xué)生每天干家務(wù)活平均時間的調(diào)查報告
調(diào)查目的了解八年級學(xué)生每天干家務(wù)活的平均時間
調(diào)查內(nèi)容光明中學(xué)八年級學(xué)生每天干家務(wù)活的平均時間
調(diào)查方式抽樣調(diào)查
調(diào)查步驟1、數(shù)據(jù)的收集：
（1）在光明中學(xué)八年級每班隨機(jī)調(diào)查5名學(xué)生；
（2）統(tǒng)計這些學(xué)生2013年4月每天干家務(wù)活的平均時間（單位：min），結(jié)果如下（其中A表示10min；B表示20min；C表示30min）；
BAABBBBACBBABBC
ABAACABBCBABBAC
2、數(shù)據(jù)的處理：
以頻數(shù)分布直方圖的形式呈現(xiàn)上述統(tǒng)計結(jié)果請補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖
3、數(shù)據(jù)的分析
列式計算所隨機(jī)調(diào)查學(xué)生每天干家務(wù)活平均時間的平均數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）
調(diào)查結(jié)論光明中學(xué)八年級共有240名學(xué)生，其中大約有__________名學(xué)生每天干家務(wù)活的平均時間是20min
……
解析：
從圖表中可以看出C的學(xué)生數(shù)是5人，
如圖：
每天干家務(wù)活平均時間是：（10×10+15×20+5×30）÷30≈18（min）；
根據(jù)題意得：240× =120（人），
光明中學(xué)八年級共有240名學(xué)生，其中大約有120名學(xué)生每天干家務(wù)活的平均時間是20min；
故答案為：120．
18、小明和小剛做紙牌游戲，如圖，兩組相同的紙牌，每組兩張，牌面數(shù)字分別是2和3，將兩組牌背面朝上，洗勻后從每組牌中各抽取一張，稱為一次游戲。當(dāng)兩張牌的牌面數(shù)字之和為奇數(shù)，小明得2分，否則小剛得1分，這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由
解析：
19、某校學(xué)生捐款支援地震災(zāi)區(qū)，第一次捐款總額為6600元，第二次捐款總額為7260元，第二次捐款人數(shù)比第一次多30人，而且兩次人均捐款額恰好相等，求第一次的捐款人數(shù)
解析：
設(shè)第一次的捐款人數(shù)是x人，根據(jù)題意得：
解得：x=300，
經(jīng)檢驗x=300是原方程的解，
答：第一次的捐款人數(shù)是300人．
20、如圖，馬路的兩邊CF、DE互相平行，線段CD為人行橫道，馬路兩側(cè)的A、B兩點(diǎn)分別表示車站和超市。CD與AB所在直線互相平行，且都與馬路兩邊垂直，馬路寬20米，A，B相距62米，∠A=67°，∠B=37°
（1）求CD與AB之間的距離；
（2）某人從車站A出發(fā)，沿折線A→D→C→B去超市B，求他沿折線A→D→C→B到達(dá)超市比直接橫穿馬路多走多少米
（參考數(shù)據(jù)： ， ， ，
， ， ）
解析：
21、已知：如圖，在矩形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是線段BM、CM的中點(diǎn)
（1）求證：△ABM≌△DCM
（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結(jié)論；
（3）當(dāng)AD：AB=____________時，四邊形MENF是正方形（只寫結(jié)論，不需證明）
解析：
（1 ）因為四邊形ABCD是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，又MA＝MD，
所以，△ABM≌△DCM
（2）四邊形MENF是菱形；
理由：因為CE＝EM，CN＝NB，
所以，F(xiàn)N∥MB，同理可得：EN∥MC，
所以，四邊形MENF為平行四邊形，
又△ABM≌△DCM
（3）2：1
22、某商場要經(jīng)營一種新上市的文具，進(jìn)價為20元，試營銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價是25元時，每天的銷售量為250件，銷售單價每上漲1元，每天的銷售量就減少10件
（1）寫出商場銷售這種文具，每天所得的銷售利潤 （元）與銷售單價 （元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求銷售單價為多少元時，該文具每天的銷售利潤最大；
（3）商場的營銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營銷方案
方案A：該文具的銷售單價高于進(jìn)價且不超過30元；
方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤至少為25元
請比較哪種方案的最大利潤更高，并說明理由
解析：（1）w＝（x－20）（250－10x＋250）＝－10x2＋700x－10000
（2）w＝－10x2＋700x－10000＝－10（x－35）2＋2250
所以，當(dāng)x＝35時，w有最大 值2250，
即銷售單價為35元時，該文具每天的銷售利潤最大
（3）方案A：由題可得＜x≤30，
因為a＝－10＜0，對稱軸為x＝35，
拋物線開口向下，在對稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，
所以，當(dāng)x＝30時，w取最大值為2000元，
方案B：由題意得 ，解得： ，
在對稱軸右側(cè)，w隨x的增大而減小，
所以，當(dāng)x＝45時，w取最大值為1250元，
因為2000元＞1250元，
所以選擇方案A。
23、在前面的學(xué)習(xí)中，我們通過對同一面積的不同表達(dá)和比較，根據(jù)圖①和圖②發(fā)現(xiàn)并驗證了平方差公式和完全平方公式
這種利用面積關(guān)系解決問題的方法，使抽象的數(shù)量關(guān)系因集合直觀而形象化。
【研究速算】
提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數(shù)字相同，且個位數(shù)字之和是10的兩個兩位數(shù)相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？
幾何建模：
用矩形的面積表示兩個正數(shù)的乘積，以47×43為例：
（ 1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個47×43的
矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面。
（2）分析：原矩形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式，47×43
的矩形面積或（40＋7＋3）×40的矩形與右上角3×7的矩形
面積之和，即47×43＝（40＋10）×40＋3×7＝5×4×100＋
3×7＝2021
用文字表述47×43的速算方法是：十位數(shù)字4加1的和與4相乘，
再乘以100，加上個位數(shù)字3與7的積，構(gòu)成運(yùn)算結(jié)果
歸納提煉：
兩個十位數(shù)字相同，并且個位數(shù)字之和是10的兩位數(shù)相乘的速算方法是（用文字表述）
_____________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________
【研究方程】
提出問題：怎么圖解一元二次方程
幾何建模：
（1）變形：
（2）畫四個長為 ，寬為 的矩形，構(gòu)造圖④
（3）分析：圖中的大正方形面積可以有兩種不同的表達(dá)方式， 或四個長 ，寬 的矩形之和，加上中間邊長為2的小正方形面積
即：
∵
歸納提煉：求關(guān)于 的一元二次方程 的解
要求參照上述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長）
【研究不等關(guān)系】
提出問題：怎么運(yùn)用矩形面積表示 與 的大小關(guān)系（其中 ）？
幾何建模：
（1）畫長 ，寬 的矩形，按圖⑤方式分割
（2）變形：
（ 3）分析：圖⑤中大矩形的面積可以表示為
；陰影部分面積可以表示為 ，
畫點(diǎn)部分的面積可表示為 ，由圖形的部分與整體
的關(guān)系可知： ＞ ，即
＞
歸納提煉：
當(dāng) ， 時，表示 與 的大小關(guān)系
根據(jù)題意，設(shè) ， ，要求參照上 述研究方法，畫出示意圖，并寫出幾何建模步驟（用鋼筆或圓珠筆畫圖，并標(biāo)注相關(guān)線段的長）
解析：
24、已知，如圖，□ABCD中，AD=3cm，CD=1cm，∠B=45°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AD方向勻速運(yùn)動，速度為3cm/s；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CD方向勻速運(yùn)動，速度為1cm/s，連接并延長QP交BA的延長線于點(diǎn)M，過M作MN⊥BC，垂足是N，設(shè)運(yùn)動時間為t（s）（0＜t＜1），解答下列問題：
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形AQDM是平行四邊形？
（2）設(shè)四邊形ANPM的面積為 （cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3） 是否存在某一時刻t，使四邊形ANPM的面積是□ABCD面積的一半，若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在，說明理由
（4）連接AC，是否存在某一時刻t，使NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成 的兩部分？若存在，求出相應(yīng)的t值，若不存在，說明理由
解析：
解得：t＝ ，
當(dāng)AE：EC＝1： 時，
同理可得： ，即 ，解得：t＝ ，
答：當(dāng)t＝ 或t＝ 時，NP與AC的交點(diǎn)把線段AC分成 的兩部分


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