(1)若a>0，則當(dāng) 時， ；
(2)若a<0，則當(dāng) 時， ．
【例題求解】
【例1】 設(shè)a、b為實數(shù)，那么 的最小值是 ．
思路點撥 將原式整理成關(guān)于 的二次多項式從配方法入手；亦可引入?yún)?shù)設(shè) ，將等式整理成關(guān)于 的二次方程 ，利用判別式求最小值．
【例2】若 ，則 可取得的最小值為( )
A．3 B． C． D．6
思路點撥 設(shè) ，則 可用只含 的代數(shù)式表示，通過配方求最小值．
【例3】 設(shè) 、 是方程 的兩個實根，當(dāng) 為何值時， 有最小值，并求這個最小值．
思路點撥 由韋達(dá)定理知 是關(guān)于 的二次函數(shù)，是否是在拋物線的頂點處取得最小值，就要看自變量 的取值范圍，從判別式入手．
注：定義在某一區(qū)間的條件限制的二次函數(shù)最值問題，有下兩種情形：
(1)當(dāng)拋物線的頂點在該區(qū)間內(nèi)，頂點的縱坐標(biāo)就是函數(shù)的最值；
(2)當(dāng)拋物線的頂點不在該區(qū)間內(nèi)，二次函數(shù)的最值在區(qū)間內(nèi)兩端點處取得．
【例4】 甲、乙兩個蔬菜基地，分別向A、B、C三個農(nóng)貿(mào)市場提供同品種蔬菜，按簽訂的合同規(guī)定向A提供45噸，向B提供75噸，向C提供40噸．甲基地可安排60噸，乙基地可安排100噸．甲、乙與A、 B、C的距離千米數(shù)如表，設(shè)運費為1元／(千米?噸)．問如何安排使總運費最低?求出最小的總運費值．
思路點撥 設(shè)乙基地向A提供 噸，向B提供 噸，這樣總運費就可用含 ， 的代數(shù)式表示；因為 0， ，所以問題轉(zhuǎn)化為在約束條件下求多元函數(shù)的最值．
ABC
甲10 56
乙4815
【例5】 某單位花50萬元買回一臺高科技設(shè)備，根據(jù)對這種型號設(shè)備的跟蹤調(diào)查顯示，該設(shè)備投入使用后，若將養(yǎng)護和維修的費用均攤到每一天，則有結(jié)論：第 天應(yīng)付的養(yǎng)護與維修費為元．
(1)如果將該設(shè)備從開始投入使用到報廢共付的養(yǎng)護與維修費及購買該設(shè)備費用的和均攤到每一天，叫做每天的平均損耗，請你將每天的平均損耗 (元)表示為使用天數(shù) (天)的函數(shù)； (2)按照此行業(yè)的技術(shù)和安全管理要求，當(dāng)此設(shè)備的平均損耗達(dá)到最小值時，就應(yīng)當(dāng)報廢，問該設(shè)備投入使用多少天應(yīng)當(dāng)報廢?
思路點撥 在解本題時可能要用到以下數(shù)學(xué)知識點：對于確定的正常數(shù) 、 以及在正實數(shù)范圍內(nèi)取值的變量 ，一定有 ，即當(dāng)且僅當(dāng) 時， 有最小值 ．
注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：
(1) ； (2) ；（3）若 ， ，則 ； (4)若 ， ， ，則 ．
以上各式等號當(dāng)且僅當(dāng) (或 )時成立．
學(xué)歷訓(xùn)練
1．當(dāng) 變化時，分式 的最小值為 ．
2．如圖，用12米長的木方，做一個有一條橫檔的矩形窗子，為使透進的光線最多，選擇窗子的長、寬各為 、 米．
3．已知實數(shù) 、 、 滿足 ， ，則 的最大值為 ．
4．已知 、 、 為三個非負(fù)實數(shù)，且滿足 ， ，若 ，則 的最大值與最小值的和為( )
A． B． C．1 D．36
5．已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，若S△AOB=4，S△COD=9，則四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD的最小值為( )
A．2l B．25 C．26 D．36
6．正實數(shù) 、 滿足 ，那么 的最小值為( )
A． B． C．1 D． E．
7．啟明公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本是3元，售價是4元，年銷售量為10萬件．為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告．根據(jù)經(jīng)驗，每年投入的廣告費是 (萬元)時，產(chǎn)品的年銷售量將是原銷售量的 倍，且 ，如果把利潤看作是銷售總額減去成本費和廣告費：
(1)試寫出年利潤S (萬元)與廣告費 (萬元)的函數(shù)關(guān)系式，并計算廣告費是多少萬元時，公司獲得的年利潤最大，最大年利潤是多少萬元?
(2)把(1)中的最大利潤留出3萬元作廣告，其余的資金投資新項目，現(xiàn)有6個項目可供選擇，各項目每股投資金額和預(yù)計年收益如下表：
項目ABCDEF
每股(萬元)526468
收益(萬元)0．550．40．60．50．9l
如果每個項目只能投一股，且 要求所有投資項目的，收益總額不得低于1．6萬元，問有幾種符合要求的投資方式?寫出每種投資方式所選的項目．
8．某市20位下崗職工在近郊承包50畝土地辦農(nóng)場，這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，種這幾種農(nóng)作物每畝地 所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測如下表：
作物品種每畝地所需職工數(shù)每畝地預(yù)計產(chǎn)值
蔬菜 1100元
煙葉 750元
小麥 600元
請你設(shè)計一個種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物，20位職工 都有工作，且使農(nóng)作物預(yù)計總產(chǎn)值最多．
9．如圖，有長為24m的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長度 為l0m)，圍成中間隔有一道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬為xm，面積為sm2．
(1)求s與x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)如果要圍成面積為45m2的花圃，AB的長是多少米?
(3)能圍成面積比45m2更大的花圃嗎?如果能，請求出最大面積，并說明圍法；如果不能，請說明理由．
10．設(shè) 、 是關(guān)于 的一元二次方程 的兩個實數(shù)根，則 的最大值為 ．
11．若拋物線 與 軸的交點為A、B，頂點為C，則△ABC的面積最小值為
12．已知實數(shù) 、 滿足 ，且 ，則 的最大值為 ，最小值為 ．
13．如圖，B船在A船的西偏北45°處， 兩船相距10 km，若A船向西航行，B船同時向南航行，且B船的速度為A船速度2倍，那么A、B兩船的最近距離為 km．
14．銷售某種商品，如果單價上漲m％，則售出的數(shù)量就將減少 ，為了使該商品的銷售金額最大，那么 的值應(yīng)該確定為 ．
15．某租賃公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租金為3000元時，可全部租出；當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增 加一輛．租出的車每輛每 月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．
(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時，能租出 輛車(直接填寫答案)；
(2)設(shè)每輛車的月租金 為x(x≥3000)元，用含 的代數(shù)式：
未租出的車輛數(shù)租出的車輛數(shù)
所有未租出的車
輛每月的維護費租出的車每
輛的月收益
(3)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少元?
16．甲、乙兩種商品，經(jīng)營銷售這兩種商品所能獲得的利潤依次是 (萬元)和 (萬元)，它們與投入資金 (萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式 ， ．
今有3萬元資金投入經(jīng)營甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤，對甲、乙兩種商品的資金 投入分別應(yīng)為多少?能獲得多大的利潤?
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