一、理解一個(gè)概念
學(xué)習(xí)一元二次方程，首先要認(rèn)識(shí)一元二次方程，課本中給出的定義是：“在整式方程中，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程叫做一元二次方程”。其中包含三個(gè)方面的意思：一是方程中只含有一個(gè)未知數(shù)（未知數(shù)唯一），二是未知數(shù)的最大指數(shù)是2，二次項(xiàng)系數(shù)不等于0；三是一元二次方程的整式方程（而非分式方程）。此三者缺一不可，其一般形式為 （a≠0）。判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程，要將方程化為一般式。
例1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A.
B.
C.
D.
分析：方程（A）含有兩個(gè)未知數(shù)，方程（B）左邊是分式，方程（D）整理后是5x+7=0，是一元一次方程。（答案為C）
例2. 關(guān)于x的方程 是一元二次方程，則m的取值范圍是___________。
解：據(jù)一元二次方程定義可知
即 。
二、掌握四種解法
一元二次方程的解法是這一部分內(nèi)容的重點(diǎn)。一元二次方程有四種解法：即直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法，其基本思想是降次。四種解法又各有特點(diǎn)，只有準(zhǔn)確把握，解方程時(shí)才會(huì)得心應(yīng)手。
直接開(kāi)平方法適宜于解形如 的方程；配方法與公式法是通法，適合任何形式的一元二次方程，其中求根公式的條件是 。而因式分解法適合的方程是：
一邊為零而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的積的方程（其依據(jù)是若ab=0，則a=0，或b=0）。在遇到不同形式的方程時(shí)，要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼狻?br />
例3. 方程① ② ③ ④ 分別適宜于直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法。
三、牢記兩個(gè)關(guān)系
同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)中要切實(shí)把握一元二次方程中的兩個(gè)關(guān)系：一是一元二次方程根的判別式的值與方程的根的關(guān)系：二是一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。一元二次方程的判別式是 （用符號(hào) 表示），當(dāng) 時(shí)，方程的根依次是：有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；沒(méi)有實(shí)數(shù)根（在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解）；反過(guò)來(lái)也成立。
學(xué)習(xí)過(guò)程中同學(xué)們不僅要能根據(jù)判別式的值來(lái)確定方程的根的情況，也要學(xué)會(huì)根據(jù)方程的根的情況，結(jié)合判別式的值求方程中所含字母的值。
例4. 不解方程，判別方程 的根的情況。
解：把方程化為一般形式 ，由 知方程無(wú)實(shí)數(shù)根。
例5. 求證關(guān)于x的方程 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
分析：由題知，本題是根據(jù)方程根的情況來(lái)證明判別式的值恒大于0。
證明：∵ ，
又
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。
例6. k取何值時(shí)，方程 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。
分析：本題是根據(jù)方程根的情況，結(jié)合判別式值構(gòu)造含k的不等式。
解： ，∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴ ，∴ 。
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是：
若 （a≠0）的兩個(gè)根是 ；
那么 。
在此我們需要注意的是一元二次方程有實(shí)數(shù)根是存在以上關(guān)系的必要前提，否則不存在，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用廣泛。
①求參數(shù)值
例7. 已知方程 的一個(gè)根是2，求它的另一個(gè)根及k的值。
解：設(shè)方程另一個(gè)根為 ，則 ，
∴
例8. 已知方程 的兩個(gè)根的平方和是34，求m的值。
解：由根與系數(shù)的關(guān)系得，
；
∵
∴
②求含兩根的代數(shù)式的值。
例9. 利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程 的兩根的平方和。
解：設(shè)方程兩根為 ，
則 。
∴
③求作新方程
例10. a、b是方程 的兩根，不解方程，求作一個(gè)新方程，使其兩根為 。
解：由題知 ，
∴ ，
，
∴新方程為 。
例11. 已知兩數(shù)和為8，積為9，求這兩個(gè)數(shù)。
解：由題意得，這兩個(gè)數(shù)是方程
的兩根，解此方程即得。
四、學(xué)會(huì)兩個(gè)應(yīng)用
一元二次方程的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面：其一是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)用公式法分解二次三項(xiàng)式。
例12. 把 分解因式。
解：方程 。
∴
其二是通過(guò)列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題：
例13. 已知菱形的周長(zhǎng)是40，兩對(duì)角線比為3：4，求兩對(duì)角線的長(zhǎng)。
解：由題知菱形的兩對(duì)角線的一半的比也是3：4，設(shè)兩對(duì)角線的一半分別是3x，4x，
則
解得 （舍去）。
∴ 。
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