【例1】 如圖，已知AB=10，P是線段AB上任意一點，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作等邊△APC和等邊△BPD，則CD長度的最小值為 ．
思路點撥 如圖，作CC′⊥AB于C，DD′⊥AB于D′，DQ⊥CC′，CD2=DQ2+CQ2，DQ= AB一常數(shù)，當CQ越小，CD越小，本例也可設AP= ，則PB= ，從代數(shù)角度探求CD的最小值．
注：從特殊位 置與極端位置的研究中易得到啟示，常能找到解題突破口，特殊位置與極端位置是指：
(1)中點處、垂直位置關系等；
(2)端點處、臨界位置等．
【例2】 如圖，圓的半徑等于正三角形ABC的高，此圓在沿底邊AB滾動，切點為T，圓交AC、BC于M、N，則對于所有可能的圓的位置而言， MTN為的度數(shù)（ ）
A．從30°到60°變動 B ．從60°到90°變動
C．保持30°不變 D．保持60°不變
(湖北賽區(qū)選拔賽試題)；
思路點撥 先考慮當圓心在正三角形的頂點C時，其弧的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷．
注：幾何定值與最值問題，一般都是置于動態(tài)背景下，動與靜是相對的，我們可以研究問題中的變量，考慮當變化的元素運動到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時，研究的量取得定值與最值．
【例3】 如圖，已知平行四邊形ABCD，AB= ，BC= ( > )，P為AB邊上的一動點，
直線DP交CB的延長線于Q，求AP+BQ的最小值．
(永州市競賽題)
思路點撥 設AP= ，把AP、BQ分別用 的代數(shù)式表示，運用不等式 (當且僅當 時取等號)來求最小值．
【例4】 如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于圓，在劣弧AB上取異于A、B的點M，設直線AC與BM相交于K， 直線CB與AM相交于點N，證明：線段AK和BN的乘積與M點的選擇無關．
思路點撥 即要證AK?BN是一個定值，在圖形中△ABC的邊長是一個定值，說明AK?BN與AB有關，從圖知AB為△ABM與△ANB的公共邊，作一個大膽的猜想，AK?BN=AB2，從而我們的證明目標更加明確．
注：只要探求出定值，那么解題目標明確，定值問題就轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問題．
【例5】 已知△XYZ是直 角邊長為1的等腰直角三角形(∠Z=90°)，它的三個頂點分別在等腰Rt△ABC(∠C=90°)的三邊上，求△ABC直角邊長的最大可能值．
( “宇振杯”上海市初中數(shù)學競賽題)
思路點撥 頂點Z在斜邊上或直角邊CA(或CB)上，當頂點Z在斜邊AB上時，取xy的中點，通過幾何不等關系求出直角邊的最大值，當頂點Z在(AC或CB)上時，設CX= ，CZ= ，建立 ， 的關系式，運用代數(shù)的方法求直角邊的最大值．
注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問題，即適當?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、不等式等關系，再運用相應的代數(shù)知識方法求解．常見的解題途徑是：
(1)利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運用判別式求幾何最值；
(2)構造二次函數(shù)求幾何最值．
學力訓練
1．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點P為邊BC上任意一點（可與B點或C 點重合），分別過B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B′、C′、D′，則BB′+CC′+DD′的最大值為 ，最小值為 ．
(江蘇省競賽題)
2．如圖，∠AOB=45°，角內(nèi)有一點P，PO=10，在角的兩邊上有 兩點Q，R(均不同于點O)，則△PQR的周長的最小值為 ．
(湖北省黃岡市競賽題)
3．如圖，兩點A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運動，則 的最大值等于 ．
( “希望杯”邀請賽試題)
4．如圖，A點是半圓上一個三等分點，B點是弧AN的中點，P點是直徑MN上一動點，⊙O的半徑為1，則AP+BP的最小值為( )
A．1 B． C． D．
(湖北省荊州市中考題)
5．如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長為4的正方形，動點P從A點出發(fā)，沿看圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離是( )
A． B． C． D．
(貴陽市中考題)
6．如圖、已知矩形ABCD，R，P戶分別是DC、BC上的點，E，F(xiàn)分別是AP、RP的中點，當P在BC上從B向C移動而R不動時，那么下列結(jié)論成立的是( )
A．線段EF的長逐漸增大 B．線段EF的長逐漸減小
C．線段EF的長不改變 D．線段EF的長不能確定
(桂林市中考題)
7．如圖，點C是線段AB上的任意一點(C點不與A、B點重合)，分別以AC、BC為邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，AE與CD相交于點M，BD與CE相交于點N．
(1)求證：MN∥AB；
(2)若AB的長為l0cm，當點C在線段AB上移動時，是否存在這樣的一點C，使線段MN的長度最長?若存在，請確定C點的位置并求出MN的長；若不存在，請說明理由．
(2002年云南省中考題)
8．如圖，定長的弦ST在一個以AB為直徑的半圓上滑動，M是ST的中點，P是S對AB作垂線的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，∠SPM是一定角．
(加拿大數(shù)學奧林匹克試題)
9．已知△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BT為⊙O的切線，B為切點，P為直線AB上一點，過點P作BC的平行線交直線BT于點E，交直線AC于點F．
(1)當點P在線段AB上時(如圖)，求證：PA?PB=PE?PF；
(2)當點P為線段BA延長線上一點時，第(1)題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請證明，如果不成立，請說明理由．
10．如圖，已知；邊長為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一點P，使矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是( )
A．8 B．12 C． D．14
11．如圖，AB是半圓的直徑，線段CA上AB于 點A，線段DB上AB于點B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圓上的一個動點，則封閉圖形ACPDB的最大面積是( )
A． B． C． D．
12．如圖，在△ABC中，BC=5，AC=12，AB=13，在邊AB、AC上分別取點D、E，使線段DE將△ABC分成面積相等的兩部分，試求這 樣線段的最小長度．
(全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題)
13．如圖，ABCD是一個邊長為1的正方形，U、V分別是AB、CD上 的點，AV與DU相交于點P，BV與CU相交于點Q．求四邊形PUQV面積的最大值．
( “弘晟杯”上海市競賽題)
14．利用兩個相同的噴水器，修建一個矩形花壇，使花壇全部都能噴到水．已知每個噴水器的噴水區(qū)域是半徑為l0米的圓，問如何設計(求出兩噴水器之間的距離和矩形的長、寬)，才能使矩形花壇的面積最大?
(河南省競賽題)
15．某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個八邊形居民廣場(平面圖如圖所示)．其中，正方形MNPQ與四個相同矩形(圖中陰影部分)的面積的和為 800平方米．
(1)設矩形的邊AB= (米)，AM= (米)，用含 的代數(shù)式表示 為 ．
(2)現(xiàn)計劃在正方 形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價為2100元；在四個相同的矩形區(qū)域上鋪設花崗巖地坪，平均每平方米造價為105元；在四個三角形區(qū)域上鋪設草坪，平均每平方米造價為40元．
①設該工程的總造價為S(元)，求S關于工的函數(shù)關系式．
②若該工程的銀行貸款為235 000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設任務?若能，請列出設計方案；若不能，請說明理由．
③若該工程在銀行貸款的基礎上，又增加資金73000元，問能否完成該工程的建設任務?若能，請列出所有可能的設計方案；若不能，請說明理由．
(鎮(zhèn)江市中考題)
16．某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形”荒地ABCDE，邊長和方向如圖，欲在這塊地上建一座地基為長方形東西走向的公寓，請劃出這塊地基，并求地基的最大面積(精確到1m2)．
(北京市數(shù)學知識應用競賽試題)
本文來自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chusan/76412.html
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