單元檢測七 圓
(時間：120分鐘 總分：120分)
一、(每小題3分，共30分)
1．如圖，量角器外緣邊上有A，P，Q三點(diǎn)，它們所表示的讀數(shù)分別是180°，70°，30°，則∠PAQ的大小為( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．圖中圓與圓之間不同的位置關(guān)系有( )
A．2種 B．3種 C．4種 D．5種
3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝4 c，以點(diǎn)C為圓心，以2 c的長為半徑作圓， 則⊙C與AB的位置關(guān)系是( )
A．相離 B．相切 C．相交 D．相切或相交
4．如圖，⊙O1，⊙O2，⊙O3兩兩相外切，⊙O1的半徑r1＝1，⊙O2的半徑r2＝2，⊙O3的半徑r3＝3，則△O1O2O3是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．銳角三角形或鈍角三角形
5．如圖，PA，PB是⊙O的切線，AC是⊙O的直徑，∠P＝40°，則∠BAC的度數(shù)是( )
A．40° B ．30° C．20° D．10°
6．已知圓錐的底面半徑為1 c，母線長為3 c，則圓錐的側(cè)面積是( )
A．6 c2 B．3π c2 C．6π c2 D．3π2 c2
7．如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，已知弦心距O＝3，則此正六邊形的邊長為( )
A．3 B．4 C．5 D．6
8．在Rt△ABC中，斜邊AB＝4，∠B＝60°，將△ABC繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，頂點(diǎn)C運(yùn)動的路線長是( )
A．π3 B．2π3 C．π D．4π3
9．如圖是一個有蓋子的圓柱體水杯，底面周長為6π c，高為18 c，若蓋子與杯體的重合部分忽略不計，則制作10個這樣的水杯至少需要的材料是( )
A．108π c2 B．1 080π c2C．126π c2 D．1 260π c2
10．如圖，在直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為正方形，頂點(diǎn)A，C在坐標(biāo)軸上，以邊AB為弦的⊙與x軸相切，若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8)，則圓心的坐標(biāo)為( )
A．(4,5) B．(－5,4)C．(－4,6) D．(－4,5)
二、題(每小題3分，共24分)
11．如圖，從⊙O外一點(diǎn)A引圓的切線AB，切點(diǎn)為B，連接AO并延長交圓于點(diǎn)C，連接BC．若∠A＝26°，則∠ACB的度數(shù)為__________．
12．如圖，寬為2 c的刻度尺在圓上移動，當(dāng)刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓的兩個交點(diǎn)處的讀數(shù)恰好為“2”和“8”(單位：c)，則該圓的半徑為__________c.
13．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D都在⊙O上，連接CA，CB，DC，DB．已知∠D＝30°，BC＝3，則AB的長是__________．
14．如圖，⊙O1，⊙O2的直徑分別為2 c和4 c，現(xiàn)將⊙O1向⊙O2平移，當(dāng)O1O2＝__________ c時，⊙O1與⊙O2相切．
15．某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高AO＝8米，母線AB與底面半徑OB的夾角為α，tan α＝43，則圓錐的底面積是__________平方米(結(jié)果保留π)．
16．如圖，在半徑為5，圓心角等于45°的扇形AOB內(nèi)部作一個正方形CDEF，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D，E在OB上，點(diǎn)F在 上，則陰影部分的面積為__________(結(jié)果保留π)．
17．如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊，以AC中點(diǎn)O為圓心，12AC長為半徑作⊙O，交BC于E，過點(diǎn)O作OD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，DC．若∠DAO＝65°，則∠B＋∠BAD＝____________.
18．如圖，正方形ABCD中，E是BC邊上一點(diǎn)，以E為圓心，EC為半徑的半圓與以A為圓心，AB為半徑的圓弧外切，則S四邊形ADCE∶S正方形ABCD的值為__________．
三、解答題(共66分)
19．(6分)如圖，A，P，B，C是半徑為8的⊙O上的四點(diǎn)，且滿足∠BAC＝∠APC＝60°.
(1)求證：△ABC是等邊 三角形；
(2)求圓心O到BC的距離OD．
20．(6分)如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，連接BC，AC，過點(diǎn)C作直線CD⊥AB于D，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，直線CE交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，與直線CD交于點(diǎn)G.求證：BC2 ＝BG•BF.
21．(8分)已知在△ABC中，以AC邊為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，在劣弧 上取一點(diǎn)E使∠EBC＝∠DEC，延長BE依次交AC于點(diǎn)G，交⊙O于點(diǎn)H.
(1)求證：AC⊥BH；
(2)若∠ABC＝45°，⊙O的直徑等于10，BD＝8，求CE的長．
22．(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 c，BC＝8 c，P為BC的中點(diǎn)，動點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)，沿射線PC方向以2 c/s的速度運(yùn)動，以P為圓心，PQ的長為半徑作圓．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動的時間為t s.
(1)當(dāng)t＝1.2時，判斷直線AB與⊙P的位置關(guān)系，并說明理由；
(2)已知⊙O為△ABC的外接圓，若⊙P與⊙O相切，求t的值．
23. (9分)如圖，C是以AB為直徑的⊙O上一點(diǎn)，AD和過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為點(diǎn)D．
(1)求證：AC平分∠BAD；
(2)過點(diǎn)O作線段AC的垂線OE，垂足為點(diǎn)E(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)；
(3)若CD＝4，AC＝45，求垂線段OE的長．
24. (9分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，DA=DB，∠C=∠DBC，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是⊙O上的點(diǎn)，且 .
(1)求證：BC是⊙O的切線；
(2)若sin C＝ 35，AE＝32，求sin F的值和AF的長．
25．(10分)如圖，點(diǎn)D在⊙O的直徑AB的延長線上，點(diǎn)C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°.
(1)求證：CD是⊙O的切線；
(2)若⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．
26．(10分)如圖，BD為⊙O的直徑，AB＝AC，AD交BC于點(diǎn)E，AE＝2，ED＝4.
(1)求證：△ABE∽△ADB；
(2)求AB的長；
(3)延長DB到F，使得BF＝BO，連接FA，試判斷直線FA與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由．
參考答案
一、1.B 如圖，由圓周角與圓心角的關(guān)系，可得∠BAP＝35°，∠BAQ＝15°，
∴∠PAQ＝20°.故選B.
2．A
3．B 如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D.
∵∠B＝30°，BC＝4 c，
∴CD＝2 c，
即點(diǎn)C到AB的距離等于⊙C的半徑．
故⊙C與AB相切，故選B.
4．B 由題意，可得O1O2＝3，O2O3＝5，O1O3＝4.
∵32＋42＝52，∴△O1O2O3是直角三角形．故選B.
5．C ∵PA，PB是⊙O的切線，∴PA＝PB，OA⊥PA.
∴∠PAB＝∠PBA＝12(180°－∠P)＝70°，∠PAC＝90°.
∴∠BAC＝∠PAC－∠PAB＝20°.
6．B 7.D 8.B 9.D 10.D
二、11.32°
12.134 如圖，EF＝8－2＝6(c)，DC＝2 c，
設(shè)OF＝R，則OD＝R－2.
在Rt△ODF中，OD2＋DF2＝OF2，
∴(R－2)2＋622＝R2，∴R＝134.
13．6 14.1或3
15．36π 由題意可知△AOB為直角三角形，tan α＝AOOB，即43＝8OB，解得OB＝6，
所以底面⊙O的面積為πR2＝π•62＝36π.
16.58π－32 如圖，連接OF，
∵∠AOB＝45°，∠CDO＝90°，
∴OD＝CD.
又∵四邊形CDEF是正方形，
∴CD＝EF＝DE.
設(shè)正方形的邊長為x，
則OE＝2x，EF＝x，在Rt△OEF中，OE2＋EF2＝OF2，(2x)2＋x2＝(5)2，
則x＝1，
∴S陰影＝S扇形AOB－S△COD－S正方形CDEF＝45360π(5)2－12×1×1－12＝58π－32.
17．65° 18.58
三、19.(1)證明：在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等邊三角形．
(2)解：如圖，連接OB，則OB＝8，∠OBD＝30°.
又∵OD⊥BC于D，∴OD＝12OB＝4.
20．證明：∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.
又CD⊥AB，∴∠BCD＝∠A.
又∠A＝∠F，∴∠BCG＝∠F.
又∠CBG＝∠FBC，∴△BCG∽△BFC.
∴BCBG＝BFBC.∴BC2＝BG•BF.
21．解：(1)證明：連接AD(如圖)，
∵∠DAC＝∠DEC，∠EBC＝∠DEC，
∴∠DAC＝∠EBC.
又∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC＝90°.
∴∠DCA＋∠DAC＝90°.∴∠EBC＋∠DCA＝90°.
∴∠BGC＝180°－(∠EBC＋∠DCA)＝180°－90°＝90°.
∴AC⊥B H.
(2)∵∠BDA＝180°－∠ADC＝90°，∠ABC＝45 °，
∴∠BAD＝45°.∴BD＝AD.∵BD＝8，∴AD＝8.
又∵∠ADC ＝90°，AC＝10，
∴DC＝AC2－AD2＝102－82＝6.
∴BC＝BD＋DC＝8＋6＝14.
又∵∠BGC＝∠ADC＝90°，∠BCG＝∠ACD，
∴△BCG∽△ACD.∴CGDC＝BCAC.
∴CG6＝1410.∴CG＝425.
連接AE.
∵AC是直徑，∴∠AEC＝90°.
又∵EG⊥AC，∴△CEG∽△CAE.
∴CEAC＝CGCE.∴CE2＝AC•CG＝425×10 ＝84.
∴CE＝84＝221.
22．解：(1)直線AB與⊙P相切．
如圖，過P作PD⊥AB，垂足為D.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵AC＝6 c，BC＝8 c，
∴AB＝AC2＋BC2＝10 c.
∵P為BC中點(diǎn)，∴PB＝4 c.
∵∠PDB＝∠ACB＝90°，∠PBD＝∠ABC，
∴△PBD∽△ABC.
∴PDAC＝PBAB，即PD6＝410.
∴PD＝2.4(c)．
當(dāng)t＝1.2時，PQ＝2t＝2.4(c)．
∴PD＝PQ，即圓心P到直線AB的距離等于⊙P的半徑．∴直線AB與⊙P相切．
(2)∵∠ACB＝90°，
∴AB為△ABC的外接圓的直徑．
∴OB＝12AB＝5 c.連接OP，如圖．
∵P為BC中點(diǎn)，
∴OP＝12AC＝3 c.
∵點(diǎn)P在⊙O內(nèi)部，
∴⊙P與⊙O只能內(nèi)切．
∴5－2t＝3或2t－5＝3.
∴t＝1或4.
∴⊙P與⊙O相切時，t的值為1或4.
23．解：(1)證明：連接OC，∵CD切⊙O于點(diǎn)C，∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，∴OC∥AD.
∴∠OCA＝∠DAC.
∵OC＝OA，∴ ∠OCA＝∠OAC.∴∠OAC＝∠DAC.
∴AC平分∠DAB.
(2)如圖所示．
(3)在Rt△ACD中，CD＝4，AC＝45，
∴AD＝AC2－CD2＝(45)2－42＝8.
∵OE⊥AC，OA＝OC，∴AE＝12AC＝25.
∵∠OAE＝∠CAD，∠AEO＝∠ADC，∴△AEO∽△ADC.
∴OECD＝AEAD.
∴OE＝AEAD×CD＝258×4＝5，
即垂線段OE的長為5.
24．(1)證明：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA.
又∵∠C＝∠DBC，
∴∠DBA＋∠DBC＝12×180°＝ 90°.
∴AB⊥BC.
又∵AB是⊙O的直徑，
∴BC是⊙O的切線．
(2)解：如圖，連接BE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°.
∴∠EBC+∠C=90°.
∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠EBC=90°.
∴∠C=∠ABE.
又∵∠AFE=∠ABE，
∴∠AFE=∠C.
∴sin∠AFE=sin∠ABE=sin C.
∴sin∠AFE=35 .
連接BF，
∴∠AFB=90°.
在Rt△ABE中，AB=AEsin∠ABE=52.
∵ = ，
∴AF=BF=5.
25．(1)證明：連接OC.
∵AC＝CD，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠D＝30°.
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A＝30°.
∴∠OCD＝∠ACD－∠ACO＝90°.
∴CD是⊙O的切線．
(2)解：∵∠A＝30°，
∴∠COD＝2∠A＝60°.
∴S扇形OBC＝60π×22360＝23π.
在Rt△OCD中，CD＝OC•tan 60°＝23.
∴SRt△OCD＝12OC•CD＝12 ×2×23＝23.
∴圖中陰影部分的面積為23－23π.
26．解：(1)證明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C.
∵∠C＝∠D，∴∠ABC＝∠D.
又∵∠BAE＝∠EAB，
∴△ABE∽△ADB.
(2)∵△ABE∽△ADB，∴ABAD＝AEAB，
∴AB2＝AD•AE＝(AE＋ED)•AE＝(2＋4)×2＝12，
∴AB＝23.
(3)直線FA與⊙O相切，理由如下：
連接OA，∵BD為⊙O的直徑，∴∠BAD＝90°，
∴BD＝AB2＋AD2＝12＋(2＋4)2＝43，
BF＝BO＝12BD＝23.
∵AB＝23，∴BF＝BO＝AB，可證∠OAF＝90°，
∴直線FA與⊙O相切．
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