用命題形式給出一個(gè)數(shù)學(xué)問題,要判斷它是錯(cuò)誤的，只要列舉一個(gè)滿足命題的條件，但結(jié)論不成立的例子，就足以否定這個(gè)命題，這樣的例子就是通常意義下的反例。
在初中教學(xué)中，反例的構(gòu)建是教學(xué)中一種非常重要的教學(xué)手段和方式，反例教學(xué)有其極其重要的作用，它可以培養(yǎng)學(xué)生的思維的縝密性、提高思維的全面性、培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性以及思維的創(chuàng)新性等等。
一、實(shí)施反例教學(xué)要注意的問題
(一)注意反例教學(xué)的引入
根據(jù)學(xué)生年齡、生理及心理特征，以及所學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的不完整性，有時(shí)還不具備獨(dú)立系統(tǒng)地推理論證的能力，思維受到一定的局限，考慮問題可能還會(huì)不夠全面，在教學(xué)過程中要注意反例教學(xué)引入的合理性和可行性。
(二)注意反例教學(xué)的構(gòu)建
教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)，不但要適當(dāng)?shù)厥褂梅蠢�，更重要的是要善于引�?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，這實(shí)際上是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種探索情景，又由于在通常情況下，許多反例的構(gòu)建不是惟一的，這就需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有深刻、透徹的理解，并調(diào)動(dòng)他們?nèi)康臄?shù)學(xué)功底，充分展開想象，因此，構(gòu)建反例的過程也是學(xué)生思維發(fā)揮和訓(xùn)練過程。
例如在講授《實(shí)數(shù)》一節(jié)時(shí)，我曾安排了這樣一個(gè)思考題:兩個(gè)無理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？學(xué)生們馬上舉出幾個(gè)反例如 與- ；它們的和都等于零是有理數(shù)。這些反例的共同特征是:互為相反數(shù)的兩無理數(shù)和為有理數(shù)。
在此問題的基礎(chǔ)上，教師可以進(jìn)一步地追問：兩個(gè)無理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？兩個(gè)有理數(shù)的和或者積是否一定是有理數(shù)？一個(gè)無理數(shù)與一個(gè)有理數(shù)的和是否一定是無理數(shù)？一個(gè)無理數(shù)與一個(gè)有理數(shù)的積是否一定是無理數(shù)？
通過對(duì)這些問題作更多更深入的一些研究，這不僅可以培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性，還可以加深對(duì)有理數(shù)、無理數(shù)概念的理解，弄清有理數(shù)和無理數(shù)之間的關(guān)系。
這一事例說明教師在日常教學(xué)中，可經(jīng)常選擇一些典型的數(shù)學(xué)知識(shí)或問題，通過創(chuàng)設(shè)問題情景，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，引導(dǎo)學(xué)生敢于和善于發(fā)現(xiàn)問題或提出問題，愛護(hù)、支持和鼓勵(lì)學(xué)生中的一切含有創(chuàng)造因素的思想和活動(dòng)，從而提高學(xué)生的思維能力。
(三)注意反例教學(xué)的逐層深入性
在教學(xué)時(shí)，反例的構(gòu)建要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)逐層深入地進(jìn)行，把某些難度較大的問題分解為一些小的梯度題。
二、反例教學(xué)的重要作用
數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，解決數(shù)學(xué)問題的思維過程應(yīng)是縝密的。教師可以把以往學(xué)生易犯的錯(cuò)誤設(shè)置成反例，有針對(duì)性地培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。
判斷：對(duì)于任意的自然數(shù)n，n2-n+11一定是質(zhì)數(shù)。
對(duì)于反例的列舉，學(xué)生最容易想到的辦法的就是代入幾個(gè)特殊的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。對(duì)于這一題，假如從第一個(gè)自然數(shù)0開始代入驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)結(jié)論是正確的，以后繼續(xù)代入，一直到10結(jié)論也都是正確的。學(xué)生往往還沒有代到10就已認(rèn)為結(jié)論是正確的了。因?yàn)閷?duì)于代值驗(yàn)證的問題，我們通常能代入3、5個(gè)值驗(yàn)證都已經(jīng)很不錯(cuò)了。這一題反例的構(gòu)建需要從式子本生的角度去思考，通過對(duì)式子的觀察，大部分學(xué)生不難得出n=11時(shí)，n2-n+11就已經(jīng)不是質(zhì)數(shù)了。
在此，常用的構(gòu)造反例的特殊值法卻行不通了，因此反例構(gòu)建的過程其實(shí)也是學(xué)生多角度思考問題的一個(gè)過程，注重反例教學(xué)的適當(dāng)?shù)囊氩坏苁箤W(xué)生發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤和漏洞，而且還可以修補(bǔ)相關(guān)知識(shí)，學(xué)會(huì)多角度考慮問題，從而提高思維的全面性。
反例構(gòu)建是猜想、試驗(yàn)、推理等多重并舉的一項(xiàng)綜合性、創(chuàng)造性活動(dòng)，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神、誘發(fā)學(xué)生創(chuàng)造力的一種很好的載體。
判斷：底面是正三角形，側(cè)面均為等腰三角形的棱錐是正三棱錐。
這個(gè)命題看起來，條件比較苛刻，似乎正確性不容懷疑，但是條件“側(cè)面是等腰三角形”并不等同于條件“側(cè)面是全等的等腰三角形”.如圖4，底面ABC是正三角形，DA垂直于平面ABC，并且DA=AB，這樣側(cè)面 ABD， ACD均是等腰直角三角形， DBC是等腰三角形，符合題設(shè)諸條件.顯然此棱錐不是正三棱錐。
在上述反例的探索過程中，學(xué)生在新的問題情景中，能享受到創(chuàng)造的樂趣，從而能激發(fā)起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和刻苦鉆研數(shù)學(xué)問題的熱情和毅力，培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)新性。
反例教學(xué)還是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的很好的一種教學(xué)方式。
在學(xué)完正多邊形以后，學(xué)生們都知道了正多邊形的一些性質(zhì)，例如:正多邊形的所有的邊都相等，所有的內(nèi)角都相等。為了加深對(duì)這一性質(zhì)的理解，教師可以從反面進(jìn)行鞏固。
判斷：(1)所有邊都相等的多邊形一定是正多邊形，(2)所有角都相等的多邊形一定是正多邊形。
(1)和(2)都是錯(cuò)誤的，例如菱形和矩形。這兩個(gè)反例學(xué)生都比較容易能想到。但是，除此之外，還有沒有其余的反例呢？教師還可以做進(jìn)一步的提問。顯然這時(shí)難度就增加了。其實(shí)，所有邊都相等的多邊形都是正多邊形的反例有無數(shù)多個(gè)，例如我們可以先做一個(gè)正多邊形(不是正三角形)，利用這些正多邊形具有的不穩(wěn)定性，它們的內(nèi)角在變化的過程中就會(huì)出現(xiàn)邊都保持相等，但是角度卻會(huì)出現(xiàn)不等的情形。對(duì)于所有角都相等的多邊形是正多邊形的反例，其實(shí)也是有無數(shù)個(gè)。
在這個(gè)問題中，后面的反例的列舉難度顯然增加了，然而學(xué)生卻可以通過此題更加加深對(duì)多邊形性質(zhì)正反兩方面的理解，另外列舉反例的過程也是學(xué)生發(fā)散性思維充分發(fā)揮和展示的一個(gè)過程。
總之，數(shù)學(xué)反例是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個(gè)調(diào)節(jié)器，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)地引進(jìn)一些反例或適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，幫助他們鞏固和掌握定理、公式和法則,培養(yǎng)他們思維的縝密性、靈活性、發(fā)散性、深刻性、創(chuàng)新性和全面性。
山西省霍州市第三中學(xué) 張小茹
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