【—自然數(shù)的總結(jié)】自然數(shù)是人們認(rèn)識的所有數(shù)中最基本的一類，也是我們從小學(xué)就開始掌握的一門數(shù)學(xué)知識。

　　自然數(shù)

　　自然數(shù)是能夠表示同一屬性事物的程度及其有序規(guī)律的一種符號，并具備表示事物屬性、量的程度、有序規(guī)律這三種功能。

　　自然數(shù)集是全體非負(fù)整數(shù)(在過去的教科書中，零一般被認(rèn)為不是自然數(shù))組成的集合，常用 N 來表示。自然數(shù)有無窮多個。

　　嚴(yán)格定義

　　自然數(shù)不僅是表示量的程度的符號，同時也是表示這個量的有序規(guī)律的一種符號。就是說：自然數(shù)是能夠表示同一屬性事物的程度及其有序規(guī)律的一種符號，并具備表示事物屬性、量的程度、有序規(guī)律這三種功能。摘自自然數(shù)原本數(shù)數(shù)論。

　　為了使數(shù)的系統(tǒng)有嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)，19世紀(jì)的數(shù)學(xué)家建立了自然數(shù)的兩種等價的理論:自然數(shù)的序數(shù)理論和基數(shù)理論，使自然數(shù)的概念、運(yùn)算和有關(guān)性質(zhì)得到嚴(yán)格的論述。

　　序數(shù)理論是意大利數(shù)學(xué)家G.皮亞諾提出來的。他總結(jié)了自然數(shù)的性質(zhì)，用公理法給出自然數(shù)的如下定義。

　　自然數(shù)集N是指滿足以下條件的集合：①N中有一個元素，記作0。②N中每一個元素都能在 N 中找到一個元素作為它的后繼者。③ 0不是任何元素的后繼者。④ 不同元素有不同的后繼者。⑤(歸納公理)N的任一子集M，如果0∈M，并且只要x在M中就能推出x的后繼者也在M中，那么M=N。

　　基數(shù)理論則把自然數(shù)定義為有限集的基數(shù)，這種理論提出，兩個可以在元素之間建立一一對應(yīng)關(guān)系的有限集具有共同的數(shù)量特征，這一特征叫做基數(shù) 。這樣 ，所有單元素集{x}，{y}，{a}，等具有同一基數(shù)(用集合的形式表示) ， 記作1 。類似，凡能與兩個手指頭建立一一對應(yīng)的集合，它們的基數(shù)相同，記作2，等等 。自然數(shù)的加法 、乘法運(yùn)算可以在序數(shù)或基數(shù)理論中給出定義，并且兩種理論下的運(yùn)算是一致的。

　　總結(jié)而言，自然數(shù)知識不僅是表示量的程度的符號，同時也是表示這個量的有序規(guī)律的一種符號。

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