【—三角形的重心公式證明】重心是三角形三邊中線(xiàn)的交點(diǎn)，三線(xiàn)交一點(diǎn)可用燕尾定理來(lái)證明。

　　三角形的重心

　　已知：△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AC中點(diǎn)，AD與BE交于O，CO延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于F。求證：F為AB中點(diǎn)。

　　證明：根據(jù)燕尾定理，S(△AOB)=S(△AOC)，又S(△AOB)=S(△BOC)，∴S(△AOC)=S(△BOC)，再應(yīng)用燕尾定理即得AF=BF，命題得證。

　　重心的幾條性質(zhì)：

　　1.重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

　　2.重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

　　3.重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。

　　4.在平面直角坐標(biāo)系中，重心的坐標(biāo)是頂點(diǎn)坐標(biāo)的算術(shù)平均，即其坐標(biāo)為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空間直角坐標(biāo)系——橫坐標(biāo)：(X1+X2+X3)/3 縱坐標(biāo)：(Y1+Y2+Y3)/3 豎坐標(biāo)：(Z1+Z2+Z3)/3

　　5.重心是三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)。

　　如果用塞瓦定理證，則極易證三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)。

　　如圖，在△ABC中，AD、BE、CF是中線(xiàn)

　　則AF=FB，BD=DC，CE=EA

　　∵(AF/FB)*(BD/DC)*(CE/EA)=1

　　∴AD、BE、CF交于一點(diǎn)

　　即三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)

　　其實(shí)考試中不會(huì)單獨(dú)的出現(xiàn)關(guān)于三角形的重心問(wèn)題，而是綜合圖形知識(shí)要領(lǐng)，這就需要大家準(zhǔn)確的分析了。

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chuzhong/306667.html

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