由數(shù)和表示數(shù)的字母經(jīng)有限次加、減、乘、除、乘方和開方等代數(shù)運(yùn)算所得的式子，或含有字母的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為代數(shù)式。
單獨(dú)一個數(shù)和字母也是代數(shù)式。
例如：ax+2b，－2/3，b^2/26，√a+√2等。
代數(shù)式的性質(zhì)：
(1)單獨(dú)一個數(shù)或一個字母也是代數(shù)式，如-3，a.
(2)代數(shù)式中只能有運(yùn)算符號，不應(yīng)含有等于號（=、≡）、不等號（≠、≤、≥、<、>、≮、≯）、約等號≈，也就是說，等式或不等式不是代數(shù)式，但代數(shù)式中可以含有括號�？梢杂薪^對值。例如：|x|，|-2.25| 等。
(3)代數(shù)式中的字母表示的數(shù)必須使這個代數(shù)式有意義，即在實(shí)際問題中，字母表示的數(shù)要符合實(shí)際問題。
代數(shù)式的分類：
在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),代數(shù)式分為有理式和無理式。
一、有理式
有理式包括整式(除數(shù)中沒有字母的有理式)和分式(除數(shù)中有字母且除數(shù)不為0的有理式)。
這種代數(shù)式中對于字母只進(jìn)行有限次加、減、乘、除和整數(shù)次乘方這些運(yùn)算.
整式有包括單項式(數(shù)字或字母的乘積或單獨(dú)的一個數(shù)字或字母)和多項式(若干個單項式的和).
1.單項式
沒有加減運(yùn)算的整式叫做單項式。
單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項式(或字母因數(shù))的數(shù)字系數(shù)，簡稱系數(shù)
單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個單項式的次數(shù)
2.多項式
個單項式的代數(shù)和叫做多項式；多項式中每個單項式叫做多項式的項。不含字母的項叫做常數(shù)項。
多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這個多項式的次數(shù)。
齊次多項式：各項次數(shù)相同的多項式叫做齊次多項式。
不可約多項式：次數(shù)大于零的有理系數(shù)的多項式，不能分解為兩個次數(shù)大于零的有理數(shù)系數(shù)多項式的乘積時，稱為有理數(shù)范圍內(nèi)不可約多項式。
實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不可約多項式是一次或某些二次多項式，復(fù)數(shù)范同內(nèi)不可約多項式是一次多項式。
對稱多項式：在多元多項式中，如果任意兩個元互相交換所得的結(jié)果都和原式相同，則稱此多項式是關(guān)于這些元的對稱多項式。
同類項：多項式中含有相同的字母，并且相同字母的指數(shù)也分別相同的項叫做同類項。
二、無理式
含有字母的根式或字母的非整數(shù)次乘方的代數(shù)式叫做無理式。
代數(shù)式的書寫：
(1)兩字母相乘、數(shù)字與字母相乘、字母與括號相乘以及括號與括號相乘時，乘號都可以省略不寫.如：“x與y的積”可以寫成“xy”；“a與2的積”應(yīng)寫成“2a”，“m、n的和的2倍”應(yīng)寫成“2(m+n)”。
(2)字母與數(shù)字相乘或數(shù)字與括號相乘時，乘號可省略不寫，但數(shù)字必須寫在前面.例如“x×2”要寫成”2x”，不能寫成“x2”；“長、寬分別為a、b的長方形的周長”要寫成“2(a+b)”，不能寫成“(a+b)2”。
(3)代數(shù)式中不能出現(xiàn)除號，相除關(guān)系要寫成分?jǐn)?shù)的形式
(4)數(shù)字與數(shù)字相乘時，乘號(也可以寫作 · )仍應(yīng)保留不能省略，或直接計算出結(jié)果.例如“3×7xy”不能寫成“37xy”，最好寫成“21xy”。
代數(shù)式的產(chǎn)生：
產(chǎn)生在古代，當(dāng)算術(shù)里積累了大量的，關(guān)于各種數(shù)量問題的解法后，為了尋求有系統(tǒng)的、更普遍的方法，以解決各種數(shù)量關(guān)系的問題，就產(chǎn)生了以解方程的原理為中心問題的初等代數(shù)。
代數(shù)是由算術(shù)演變來的，這是毫無疑問的。至于什么年代產(chǎn)生的代數(shù)學(xué)這門學(xué)科，就很不容易說清楚了。比如，如果你認(rèn)為“代數(shù)學(xué)”是指解bx+k=0這類用符號表示的方程的技巧。那么，這種“代數(shù)學(xué)”是在十六世紀(jì)才發(fā)展起來的。
如果我們對代數(shù)符號不是要求象現(xiàn)在這樣簡練，那么，代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生可上溯到更早的年代。西方人將公元前三世紀(jì)古希臘數(shù)學(xué)家刁藩都看作是代數(shù)學(xué)的鼻祖。而在中國，用文字來表達(dá)的代數(shù)問題出現(xiàn)的就更早了。
“代數(shù)”作為一個數(shù)學(xué)專有名詞、代表一門數(shù)學(xué)分支在我國正式使用，最早是在1859年。那年，清代數(shù)學(xué)家里李善蘭和英國人韋列亞力共同翻譯了英國人棣么甘所寫的一本書，譯本的名稱就叫做《代數(shù)學(xué)》。當(dāng)然，代數(shù)的內(nèi)容和方法，我國古代早就產(chǎn)生了，比如《九章算術(shù)》中就有方程問題。
初等代數(shù)的中心內(nèi)容是解方程，因而長期以來都把代數(shù)學(xué)理解成方程的科學(xué)，數(shù)學(xué)家們也把主要精力集中在方程的研究上。它的研究方法是高度計算性的。
要討論方程，首先遇到的一個問題是如何把實(shí)際中的數(shù)量關(guān)系組成代數(shù)式，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程。所以初等代數(shù)的一個重要內(nèi)容就是代數(shù)式。由于事物中的數(shù)量關(guān)系的不同，大體上初等代數(shù)形成了整式、分式和根式這三大類代數(shù)式。代數(shù)式是數(shù)的化身，因而在代數(shù)中，它們都可以進(jìn)行四則運(yùn)算，服從基本運(yùn)算定律，而且還可以進(jìn)行乘方和開方兩種新的運(yùn)算。通常把這六種運(yùn)算叫做代數(shù)運(yùn)算，以區(qū)別于只包含四種運(yùn)算的算術(shù)運(yùn)算。
在初等代數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展的過程中，通過解方程的研究，也促進(jìn)了數(shù)的概念的進(jìn)一步發(fā)展，將算術(shù)中討論的整數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念擴(kuò)充到有理數(shù)的范圍，使數(shù)包括正負(fù)整數(shù)、正負(fù)分?jǐn)?shù)和零。這是初等代數(shù)的又一重要內(nèi)容，就是數(shù)的概念的擴(kuò)充。
有了有理數(shù)，初等代數(shù)能解決的問題就大大的擴(kuò)充了。但是，有些方程在有理數(shù)范圍內(nèi)仍然沒有解。于是，數(shù)的概念在一次擴(kuò)充到了實(shí)數(shù)，進(jìn)而又進(jìn)一步擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)。
那么到了復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是不是仍然有方程沒有解，還必須把復(fù)數(shù)再進(jìn)行擴(kuò)展呢？數(shù)學(xué)家們說：不用了。這就是代數(shù)里的一個著名的定理—代數(shù)基本定理。這個定理簡單地說就是n次方程有n個根。1742年12月15日瑞士數(shù)學(xué)家歐拉曾在一封信中明確地做了陳述，后來另一個數(shù)學(xué)家、德國的高斯在1799年給出了嚴(yán)格的證明。
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