人類智慧攀升和有效的認知活動是經(jīng)驗和理性的螺旋循環(huán)。學習數(shù)學也不例外，然而數(shù)學教學活動中經(jīng)驗歸納與理性思維既互相支持又矛盾對立，況且初中學生正處于經(jīng)驗型思維向邏輯型思維過渡的階段，以致在具體教學中較難正確把握兩者的權(quán)重量綱，容易產(chǎn)生偏頗做法。因而充分認識經(jīng)驗歸納與理性思維的關系，是完全必要的。也只有把握了它們之間的辯證統(tǒng)一關系，才能避免和糾正片面追求的行為。
一、經(jīng)驗歸納教學的作用
在初中數(shù)學教學中，引導學生對生活實際或動手操作進行有意義有目的的分析、探索，進而提煉數(shù)學中的一般性規(guī)律，即用經(jīng)驗歸納的方法尋求數(shù)學的事實性結(jié)論。主要有下述教育意義：
1、學生體驗了經(jīng)驗世界中數(shù)學知識的形成過程，根據(jù)建構(gòu)主義的認知觀點，是學生對知識進行意義建構(gòu)的有效途徑。不過這樣建構(gòu)的知識，僅具實證性，還不深刻，是淺層次的。
2、使學生得到歸納方法的學習。歸納方法被譽為發(fā)現(xiàn)的“邏輯”，廣泛地應用于自然科學研究，科學史上許多重大的發(fā)現(xiàn)和發(fā)明主要依賴于歸納方法。例如，開普勒在研究太陽系行星運動時，對十年觀察和計算的數(shù)據(jù)進行歸納，得到天體運動第三定律。
3、通過對數(shù)學知識形成的“情境”性體驗，使得對抽象的數(shù)學概念有樸素的理解，為進一步進行數(shù)學抽象思維提供依托和支持。在數(shù)學學習的問題解決中，經(jīng)常對某問題的具體個別情形進行考察、歸納，尋求解決問題的策略和一般方法。
4、增強數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，由此增進數(shù)學價值的認識，增進數(shù)學應用的意識和能力，提高用數(shù)學的眼光觀察世界的能力。
5、經(jīng)驗歸納將數(shù)學與生活融洽，有利于增進學生學習數(shù)學的興趣。興趣是促進自覺能動的動力，特別是通過歸納得到發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造時，使人的心靈深處倍感快慰，將產(chǎn)生濃厚的興趣，有可能達到雖為其“勞苦”而感到樂的境界——樂此不疲。
正基于上述理由，當前初中數(shù)學教學中凸顯經(jīng)驗歸納教學，其意義是不言而喻的。但是，也應該清楚地認識到歸納有很大的局限性，不僅數(shù)學知識不可能全由歸納得到，而且就其本身而言，缺乏深刻，以及得到的結(jié)論不一定正確。
二、歸納的正確性需要邏輯支持
在數(shù)學王國里，雖然數(shù)學的某些結(jié)論可由直覺和歸納得到，但要確定結(jié)論的正確與否，歸納幾乎無用武之地。歸納證明有效的命題極其少量，并且還需要邏輯支持。（可用歸納方法證明的主要是代數(shù)恒等式，但借助了代數(shù)基本定理的邏輯支持。至于用機器證明幾何命題，那是對證代數(shù)恒等式的一種應用）。通常把直覺和歸納得到的命題不視為真，原因是直覺和歸納往往會出錯。例如：
1、判斷全體正自然數(shù)的個數(shù)多呢還是全體正偶數(shù)的個數(shù)多？從直觀意義上考慮，把全體正自然數(shù)從小到大依次排列，任意取出相鄰的兩個，自然數(shù)有2個，偶數(shù)只有1個，于是得到正自然數(shù)的個數(shù)是正偶數(shù)個數(shù)的2倍；從歸納的意義上看，在100以內(nèi)進行考察，自然數(shù)99個，正偶數(shù)49個，個數(shù)的比值：99/49≈2。在1000以內(nèi)考察，兩者個數(shù)的比值：999/499≈2。在10000以內(nèi)，在100000以內(nèi)考察……，可得兩者個數(shù)比值的極限是2,與直觀同樣的結(jié)論。凡涉足過超窮數(shù)理論的人都知道上述結(jié)論是錯誤的。事實上，只要構(gòu)造函數(shù)M=2n,顯然值域與定義域有一一對應的關系，便知歸納所得結(jié)論錯誤。
2、“北師大教材八上1.1《勾股定理》中：根據(jù)下面圖形的各條邊的關系，請你探索出直角三角形的三邊的關系，結(jié)果大部分學生根據(jù)32=4+5、52=12+13，繼而得出錯誤的結(jié)論：a2=b+c，即較長直角邊與斜邊的和等于較短直角邊的平方�！盵1]
并且更多的事實猶如觀測水中的一根直棍，獲得的感知是彎曲的一樣。為此，大天文學家開普勒指出：“當知識通過感官被直接提供給心靈時，是模糊、混亂和矛盾的，從而也就不可靠的�！彼詫�(jīng)驗得到的東西總要問個為什么？總要有理性的思考。哲學家叔本華說：“經(jīng)驗從總體來講，是要從這種形而上學得到解釋的。”東漢哲學家王充說：“是非者，不徒耳目，必開心意”。確定事物的本質(zhì)不能僅憑感覺，一定要有理性思考。特別地經(jīng)驗得到的數(shù)學命題必須有理論的證明。
實際上，人類在處理數(shù)學上理由不充足的結(jié)論時，總是小心謹慎的。像哥德巴赫猜想，盡管千萬次驗證都是正確的，但由于沒有得到理論上的證明，人們還是叫它猜想而不叫定理。有時即使得到事實性的結(jié)論，如果理論有缺陷，也會用懷疑的眼光去看待它。如微積分在創(chuàng)立之初，由于理論不完善，人們紛紛質(zhì)疑無窮小量的處理不合理，就連當時思想界的巨頭紅衣主教貝克萊、馬克思主義學說的創(chuàng)立者之一馬克思都參與質(zhì)疑。（微積分從初創(chuàng)到理論完善經(jīng)歷了一百年）。無數(shù)事例充分地反映了人類對數(shù)學嚴謹性所持態(tài)度是嚴肅、認真的。
三、經(jīng)驗歸納教學中的偏差現(xiàn)象
數(shù)學產(chǎn)生的早期源于實際，經(jīng)人們的抽象與實際分離。在抽象基礎上再抽象得到的概念雖然在生活中存在原型，但往往復雜的居多，有些在教學中采用把握不好會使教學效果適得其反。如有理數(shù)乘法運算中負數(shù)乘以負數(shù)的法則提煉，盡管我們老師作出大的努力，舉了盡可能簡潔的例子，可是教學實際情況是不少學生感到繁瑣、復雜，難以理解。由此學生可能產(chǎn)生畏難情緒而導致厭學。與其是如此，還不如“沒有”的好。
考察目前初中數(shù)學教學的情況，有些老師近乎緣木求魚，在教學中不論什么內(nèi)容，一律都采用經(jīng)驗歸納的方式進行教學，把好多主觀生造、牽強，甚至嚴重脫離教學實際的東西搬進課堂，把教學的目標轉(zhuǎn)向為純粹創(chuàng)設生活情景的教學，使學生得不到真正意義上的數(shù)學學習。好比是阿拉伯諺語所說的：“磨坊的聲音我確實聽到了，但面粉卻沒有看到�！彼裕蒙罱�(jīng)驗歸納的方法進行數(shù)學教學，要根據(jù)學生的實際情況和教學的具體內(nèi)容進科學辯證的方法分析而定，以簡潔、自然、貼切為宜，不應每每如此。
事實上，數(shù)學“它有自身發(fā)展的內(nèi)在‘情景’，按照這種內(nèi)在聯(lián)系來學習，掌握的知識牢靠，應用起來得心應手�！盵2]“一個好的數(shù)學情境，能融數(shù)學的教與學為一體，具有數(shù)學教學活動的內(nèi)驅(qū)力，并使數(shù)學課堂具有自我生長的立體環(huán)境。”[3]比如，三角函數(shù)概念的導出，該問題的焦點在于比值的大小只與角的大小有關，而與角終邊上的位置選擇無關。用已知的數(shù)學事實相似三角形性質(zhì)來說明，自然、簡潔明了，并具普遍意義。若用生活經(jīng)驗或動手操作進行歸納，想必是一件復雜繁瑣的工作，未必有益于教學。因而，數(shù)學教學也要注重運用抽象思維，拿已知的數(shù)學事實，精中求簡地去解釋新概念、新知識。
我們知道，要學好數(shù)學需要理解記憶，也就是要明了數(shù)學知識的形成過程。當前數(shù)學教學中普遍存在著僅把經(jīng)驗歸納作為知識的形成過程，忽略理論推導的過程。歸納是感的“進路”，理論推導是思的“進路”。數(shù)學對象的抽象性決定了學習數(shù)學離不開思，一旦離開了思，將造成不求甚解，只求記住若干“處方”，不僅茲長和強化模仿記憶和機械記憶之惰性，也給進一步學習數(shù)學知識帶來大的困難。
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