巧旋轉(zhuǎn)妙解題

編輯: 逍遙路 關(guān)鍵詞: 初中數(shù)學(xué) 來源: 高中學(xué)習(xí)網(wǎng)

一個(gè)圖形圍繞某一點(diǎn)由一個(gè)位置轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置的運(yùn)動(dòng)叫旋轉(zhuǎn),這個(gè)點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心。確定圖形旋轉(zhuǎn)的三個(gè)要素是:旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度。圖形旋轉(zhuǎn)的主要特征是:圖形中每一點(diǎn)都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度,對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對應(yīng)線段相等,對應(yīng)角相等,圖形的形狀與大小沒有發(fā)生變化。
我們在解題中運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)的主要目的是:把給定的圖形(或其中的一部分)繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后,圖形會(huì)發(fā)生新的組合,重組后的圖形能把題目中的條件相對集中,從而使問題得到解決。下面舉例說明運(yùn)用圖形旋轉(zhuǎn)法解題的常用技巧。
一、三角形中的旋轉(zhuǎn)技巧
1. 當(dāng)條件中出現(xiàn)三角形某邊的中點(diǎn)時(shí),可將某圖形繞此中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°。
例1. 如圖1,在△ABC中,D是AB的中點(diǎn),E、F分別是BC、AC上的點(diǎn)。
求證:

圖1
分析:由于△ADF與△BDE不在一起,因此,我們只需將△ADF繞中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△BDG,使其與△BDE組成一個(gè)四邊形BEDG,從而使問題得到解決。
證明:把△ADF繞中點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°得到△BDG,其中B與A、G與F分別是對應(yīng)點(diǎn),則△BDG≌△ADF。于是

∵D是AB的中點(diǎn)
∴D也是GF的中點(diǎn),故


2. 當(dāng)條件中的三角形是等腰三角形時(shí),可將含有該等腰三角形一腰的圖形,繞著等腰三角形的頂角頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),使得兩腰重合。
例2. 如圖2,在△ABC中,AB=AC,D是三角形內(nèi)一點(diǎn),DC>DB。
求證:∠ADB>∠ADC

圖2
分析:由于已知兩邊的大小關(guān)系,與要證的兩角的大小關(guān)系沒太大聯(lián)系,因此我們需要將圖形進(jìn)行適當(dāng)旋轉(zhuǎn),使圖形發(fā)生重組,然后再探究它們的內(nèi)在聯(lián)系。
證明:把△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠BAC,得△ACE,連DE
則AE=AD,EC=BD
∠AED=∠ADE,∠AEC=∠ADB
在△DEC中,∵EC=BD
∴DC>EC
∴∠DEC>∠EDC
∴∠AEC>∠ADC,故∠ADB>∠ADC
3. 當(dāng)條件中的三角形是等邊三角形時(shí),可將含有該等邊三角形一邊的圖形,繞著等邊三角形的頂點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),使其與另一邊重合。
例3. 如圖3,等邊△ABC中,O為其內(nèi)一點(diǎn),且OA=3,OB=5,OC=4,求∠AOC的度數(shù)。

圖3
分析:直接求∠AOC的度數(shù)顯然很困難。注意到條件中的三邊長恰是一組勾股數(shù),因此考慮把這三邊集中到一個(gè)三角形內(nèi),可以構(gòu)造出一個(gè)直角三角形,然后再求角度。我們只要把△ABO繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60°即可。
解:將△ABO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△ACD,連結(jié)OD,則
AD=AO=3,DC=OB=5,∠CAD=∠BAO
∴∠DAO=∠CAB=60°
△AOD為等邊三角形
∴∠AOD=60°,OD=3,在△ODC中,
∵OD=3,OC=4,DC=5
∴∠COD=90°
∴∠AOC=∠AOD+∠COD=150°
二、多邊形中的旋轉(zhuǎn)技巧
一般而言,當(dāng)題目給出的圖形是多邊形時(shí),我們常先把其分割成(特殊)三角形,再應(yīng)用三角形的旋轉(zhuǎn)技巧進(jìn)行解決。
1. 當(dāng)條件中的多邊形有兩相等的鄰邊時(shí),常把含其中一邊的三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn),使其與另一等邊重合。
例4. 如圖4,五邊形ABCDE中,AB=AE,,∠BAE=∠BCD=120°,∠ABC+∠AED=180°,連結(jié)AD。
求證:AD平分∠CDE

圖4
分析:注意到,但BC、DE兩條線段不在同一直線上,這是本題的關(guān)鍵。由于AB=AE,如果連結(jié)AC,我們把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),可以使BC、DE移到一起,從而把問題解決。
證明:連結(jié)AC,把△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得到△AEF,則
∠AEF=∠ABC,EF=BC,AF=AC

∴D、E、F三點(diǎn)共線

∴△ADF≌△ADC
∴∠ADF=∠ADC,即AD平分∠CDE
2. 當(dāng)條件中的多邊形有直角時(shí),常先構(gòu)造直角三角形,再把這個(gè)三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。
例5. 如圖5,在四邊形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,DP⊥AB于P,若四邊形ABCD的面積為18,求DP的長。

圖5
分析:注意到△ADP為直角三角形
而AD=CD,因此可把△ADP繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),把原圖形進(jìn)行分割重組,使問題得到解決。
解:將△ADP繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDE,則△CDE≌△ADP

∴B、C、E三點(diǎn)共線
又∵DP=DE
∠DPB=∠ABC=∠CED=90°
∴四邊形PBED是正方形


3. 當(dāng)條件圖形中出現(xiàn)正方形時(shí),常把含有正方形一邊的直角三角形,繞正方形頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°,使該邊與另一邊重合。(可以看成是前兩種類型的特例)
例6. 如圖6,正方形ABCD的邊長為1,AB、AD上各有一點(diǎn)P、Q,如果△APQ的周長為2,求∠PCQ。

圖6
分析:注意到正方形的特征:四邊相等,四個(gè)內(nèi)角為直角。我們可以把△DCQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使圖形發(fā)生重組,利于應(yīng)用△APQ的周長為2這個(gè)條件。
解:將△DCQ繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△BCE
則△DCQ≌△BCE,BE=DQ,CE=CQ,∠ECQ=90°

∴△QCP≌△ECP

通過以上幾例的分析,相信大家對圖形的旋轉(zhuǎn)技巧有了一定的了解,希望同學(xué)們能在理解的基礎(chǔ)上熟練應(yīng)用。當(dāng)然關(guān)于圖形的旋轉(zhuǎn)技巧不止以上幾種,這需要大家在中去發(fā)現(xiàn)、去總結(jié)。


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