例1 設(shè)m是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù),求m的值。
分析 我們不妨先求出三個(gè)互不相等的合數(shù)之和,即4+6+8=18,所以容易想到17是不能表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和的最大整數(shù)。
解:由于4+6+8=18,故下面我們就來(lái)證明m的最大整數(shù)是17。
當(dāng)m>18時(shí),若,則m>9
即任意大于18的整數(shù)均可以表示為三個(gè)互不相等的合數(shù)之和,故m=17
此題容易入手,逆向去考慮,采取極端性想法使問(wèn)題得以解決。
例2 求滿足等式的正整數(shù)x、y。
分析 此問(wèn)題容易想到因式分解,再加之問(wèn)題里有數(shù)2003,因?yàn)?003是質(zhì)數(shù),這也是一個(gè)信息。
解:觀察式子特點(diǎn)不難得出
故所求的正整數(shù)對(duì)(x,y)=(1,2003),(2003,1)
此問(wèn)題考察的重點(diǎn)在于因式分解。
例3 如果對(duì)于不小于8的自然數(shù)n,當(dāng)3n+1是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí),n+1都能表示成k個(gè)完全平方數(shù)的和,那么k的最小值是________。
分析 我們采取分析法,因?yàn)槭且粋(gè)完全平方數(shù),所以設(shè),再去推導(dǎo)n和a的關(guān)系,使問(wèn)題不斷得到解決。
解:由已知是一個(gè)完全平方數(shù),所以我們就設(shè),顯然不是3的倍數(shù),于是,從而
即,所以k的最小值是3
此是解決數(shù)論問(wèn)題的一個(gè)常用的,也是基本的一個(gè)。
例4 設(shè)為完全平方數(shù),且N不超過(guò)2392。求滿足上述條件的一切正整數(shù)對(duì)(x,y)共有________對(duì)。
分析此題與例3有相似之處,但是要難一些。首先用到了性質(zhì)8,然后再結(jié)合不等式解決此問(wèn)題。
解:,且23為素?cái)?shù),N為不超過(guò)2392的完全平方數(shù)
所以共有(1,19),(2,15),(3,11),(4,7),(5,3)以及(1,88),(2,84),…,(22,4)
故滿足條件的(x,y)共有5+22=27對(duì)
此問(wèn)題用到了數(shù)論里常用的方法��不等式法。把一個(gè)整數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題,就會(huì)求出上(下)界,從而限定出所求數(shù)的范圍,同時(shí)又是整數(shù),故而使問(wèn)題得以解決。
例5 已知方程的根都是整數(shù),求整數(shù)n的值。
分析 已知方程的根是整數(shù),所以先把根求出來(lái),所以根號(hào)下的數(shù)就應(yīng)該是完全平方數(shù),故此問(wèn)題得以解決。
解:由求根公式解得
因?yàn)榉匠痰母际钦麛?shù)
所以是完全平方數(shù)
設(shè),則有
所以,分別解得整數(shù)n的值為10,0,-18,-8
此題的難點(diǎn)在于知道是完全平方數(shù)之后,如何分解它,實(shí)際上是在解一個(gè)不定方程問(wèn)題。
例6設(shè)四位數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù),且,求這個(gè)四位數(shù)。
解:設(shè)
由于67是質(zhì)數(shù),故與中至少有一個(gè)是67的倍數(shù)
此問(wèn)題值得注意的是我們?cè)谠O(shè)未知數(shù)的時(shí)候,采取整體代換,即把看成整體,從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。
例7 一個(gè)自然數(shù)減去45及加上44都仍是完全平方數(shù),求此數(shù)。
分析 此類型問(wèn)題在考試中出現(xiàn)多次,它的方法基本上是設(shè)出之后做差,然后運(yùn)用平方差公式分解,最后去解不定方程。
解:設(shè)此自然數(shù)為x,依題意可得
但89為質(zhì)數(shù),它的正因子只能是1與89,于是
解之,得n=45。代入(2)得。故所求的自然數(shù)是1981。
此問(wèn)題是比較典型的,兩個(gè)式子三個(gè)未知數(shù),感覺(jué)沒(méi)有辦法解決,但是一做差就是柳岸花明又一村,所以在一些問(wèn)題中我們經(jīng)常把幾個(gè)式子做差或者做和,來(lái)發(fā)現(xiàn)其中的奧妙。
在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),我們要以不變(知識(shí))去應(yīng)萬(wàn)變(問(wèn)法),不斷去探索,有時(shí)候我們可以用特值去驗(yàn)證結(jié)論,這樣就會(huì)有一個(gè)大致的方向,再通過(guò)不斷的把問(wèn)題轉(zhuǎn)化,從而解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。
本文來(lái)自:逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chuzhong/54509.html
相關(guān)閱讀:初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié):概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用