兩千多年前，哲學(xué)家們找到了測量地球半徑的方法，只需量一下影子的長度就可以計(jì)算出地球的半徑。不知讀者朋友們能否在一間鄰海的房子里只借助一只表和一把皮尺測量地球半徑呢？
假如你正在海邊度假，住在一家臨海旅館四層的一個(gè)房間里，房間視野很開闊。有一個(gè)人懸賞說，明天天亮以前，誰要能想出一個(gè)相當(dāng)準(zhǔn)確的方法來測量地球半徑，將獲得一筆獎(jiǎng)金，條件是除了借助一只表和一把皮尺外，不能使用特別的儀器。你能做到嗎？
你可以測一下房間的窗臺(tái)離地面有多高，當(dāng)然也可以問旅館老板：我們假設(shè)為10米。黃昏時(shí)分，你趴在旅館前的海灘上，請(qǐng)你的朋友坐在你房間里把下巴倚在窗臺(tái)上。為了不使問題過于復(fù)雜化，我們可以這樣設(shè)想，趴著時(shí)你的眼睛處在地平面上。當(dāng)太陽的上邊或者說最后一個(gè)亮點(diǎn)消失在海平面上時(shí)，你按下秒表開始記時(shí)。此時(shí)，從你朋友那里看，太陽還有一點(diǎn)仍處在海平面上，當(dāng)太陽消失的一瞬間，讓你的朋友喊聲停！，你就讓秒表停下。你可能會(huì)覺得奇怪，不過這中間確實(shí)要經(jīng)過24秒多（準(zhǔn)確的結(jié)果應(yīng)該是24.366秒）。
現(xiàn)在，你需要一點(diǎn)三角函數(shù)知識(shí)來推導(dǎo)出地球半徑。對(duì)于趴在海灘上的人來說，太陽的上邊沒入海平面時(shí)，太陽發(fā)出的光線與地球相切于他趴著的地方，如圖上線段AB所示。處于高處的人看到太陽落山時(shí)的最后一縷光線，與地球相切的那條線是線段CE。設(shè)高處的觀察者所在的高度為h，地球的半徑為 R。三角形ODE是直角三角形。根據(jù)余弦定理，直邊OD=R與斜邊OE=R+h的關(guān)系式為R=（R+h）cos，其中cos是角的余弦。另外，我們知道，地球轉(zhuǎn)過這個(gè)角需要24.366秒（如果不出偏差）；因?yàn)檗D(zhuǎn)一周要用24小時(shí)，這樣可以得出：/360=24.366/（243600），結(jié)果=0.101525。用一個(gè)小計(jì)算器可以算出的余弦等于0.99999843；代入上面的三角公式，其中h=10米，這樣得出 R6370公里，正好是地球半徑。不用三角函數(shù)知識(shí)，也可以計(jì)算出同樣的結(jié)果，只不過需要比較復(fù)雜的幾何推理。
當(dāng)然，事情不可能像描述得那么理想，會(huì)有各種誤差。比如，你的眼睛不可能恰好處在地面上，而且你找的人頭腦反應(yīng)快慢的問題等等，這樣得到的數(shù)據(jù)可能會(huì)有5%左右的偏差。如果你的房間在11層，或者最好你的朋友在海邊一個(gè)巨大的峭壁上，而你在峭壁的底部，通過手機(jī)接收他發(fā)出的停止指令，這樣偏差就會(huì)小些。在意大利的拉齊奧（Lazio）就有一個(gè)好去處：在海邊有一座高600米的山，從高處到水平面大約有3分鐘的延遲，偏差幾乎為零。如果沒有人幫忙，你可以自己試一下，沿著臺(tái)階跑上去，但愿時(shí)間來得及。你還可以通過測量你趴在地上和站直身體時(shí)看到太陽落山的時(shí)間間隔進(jìn)行計(jì)算。既然上面用到的幾何關(guān)系式表明間隔與兩個(gè)觀察點(diǎn)的高度差成正比，那么如果你站直身體時(shí)眼睛的高度為1.70米，時(shí)間間隔就應(yīng)該是10秒，不同的是高度差太小，時(shí)間太短而已。令人感到意外的是，雖然古人知道地球是圓的，而且早在公元前，畢達(dá)哥拉斯和亞里士多德就明確地指出了這一點(diǎn)，但據(jù)我們所知，古人從來沒有用過這么簡單的方法來估算地球的半徑。這其中的原因也許是那個(gè)時(shí)代人們很難準(zhǔn)確地測量時(shí)間。
井中的太陽
公元前3世紀(jì)，他看到太陽光直射入一口井里，并計(jì)算駱駝的腳程，最終埃拉托斯特尼測量出地球半徑
歷史上第一個(gè)做此種嘗試的是希臘天文學(xué)家埃拉托斯特尼（Eratosthenes，公元前280～前190年），他的試驗(yàn)比較復(fù)雜。埃拉托斯特尼認(rèn)為，在賽伊尼（Syene），即位于今天的亞歷山大以南的阿斯旺（Assuan），在夏至日的正午，太陽差不多經(jīng)過天頂：他知道窄窄的井底被照亮。而在亞歷山大，情況就不一樣了，影子不可能消失，即太陽總是斜射的。他觀察了日晷指針（或一根竿子）的影子，而且他還知道太陽射到地球上的光線是平行的，通過計(jì)算影子和指針的長度關(guān)系，他得出結(jié)論：正午時(shí)分，在亞歷山大，太陽光會(huì)與地面的垂直線有一個(gè)7.2的夾角，相當(dāng)于地球圓周角的 1/50。
如圖所示，因?yàn)檫@個(gè)角度與賽伊尼和亞歷山大之間的經(jīng)線弧度相等，于是只需確定這段距離的長度，再乘以50即可。然而在當(dāng)時(shí)，測量這兩地之間的距離也非易事。
根據(jù)一個(gè)駝隊(duì)走完這段距離平均所花的時(shí)間，埃拉托斯特尼得出這段弧長為5000斯塔迪亞（1斯塔迪亞約為178米），那么經(jīng)圈的周長為5000 50=250000斯塔迪亞，得出半徑長為7080公里，大約多出10%。不過，能根據(jù)駱駝的腳程計(jì)算出這樣一個(gè)數(shù)來已經(jīng)不錯(cuò)了。
公元前1世紀(jì)，希臘哲學(xué)家波塞多尼奧斯（Poseidonius）做了進(jìn)一步努力：這是第一次利用天文方法進(jìn)行測量，得出的值比埃拉托斯特尼的數(shù)值略低。波塞多尼奧斯利用的是洛迪（Rodi）和亞歷山大之間的經(jīng)線，他根據(jù)船航行兩地用的平均時(shí)間，并且根據(jù)老人星（Canopus）在同一時(shí)刻處在兩座城市上的不同位置確定中心角。事實(shí)上，這顆星在洛迪處在地平線上時(shí)，它的光線則以7.5的斜角照到亞歷山大。在事隔900年后，阿拉伯人開始嘗試再一次測量地球半徑。他們也是在天文觀測的基礎(chǔ)進(jìn)行的，不過任務(wù)更艱巨。他們?cè)诘厣�，�?zhǔn)確地說就在巴格達(dá)附近的平原上，選取了兩個(gè)參照點(diǎn)豎起木竿。他們得到的結(jié)果更加精確，只有3.6%的誤差。
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