【—三角形垂心的基礎(chǔ)公式】三角形的三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心，基本上全部的銳角三角形垂心都在在三角形內(nèi)部。

　　三角形垂心

　　設(shè)△ABC的三條高為AD、BE、CF，其中D、E、F為垂足，垂心為H，角A、B、

　　C的對(duì)邊分別為a、b、c，p=(a+b+c)/2.

　　1、銳角三角形的垂心在三角形內(nèi);直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上;鈍角三角形的垂心在三角形外.

　　2、三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心;或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心;

　　3、 垂心H關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上。

　　4、 △ABC中，有六組四點(diǎn)共圓，有三組(每組四個(gè))相似的直角三角形，且AH·HD=BH·HE=CH·HF。

　　5、 H、A、B、C四點(diǎn)中任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的垂心(并稱這樣的四點(diǎn)為一—垂心組)。

　　6、 △ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓。

　　7、 在非直角三角形中，過(guò)H的直線交AB、AC所在直線分別于P、Q，則 AB/AP·tanB+AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

　　8、 設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

　　9、 銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。

　　10、 銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心;銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短(施瓦爾茲三角形，最早在古希臘時(shí)期由海倫發(fā)現(xiàn))。

　　11、西姆松定理(西姆松線)：從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。

　　12、 設(shè)銳角△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，那么P是垂心的充分必要條件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

　　13、設(shè)H為非直角三角形的垂心，且D、E、F分別為H在BC 初中學(xué)習(xí)方法，CA，AB上的射影，H1，H2，H3分別為△AEF，△BDF，△CDE的垂心，則△DEF≌△H1H2H3。

　　14、三角形垂心H的垂足三角形的三邊，分別平行于原三角形外接圓在各頂點(diǎn)的切線。

　　其實(shí)直角三角形垂心在三角形直角頂點(diǎn)，鈍角三角形垂心在三角形外部。

本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/chuzhong/95878.html

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