第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個小題，每小題5分，共50分）
1.設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的 (　 　)
　　A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件
　　C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．已知直線m、n和平面α、β滿足m⊥n，m⊥α，α⊥β，則 ( 　　)
　　A．n⊥β B．n∥β，或n⊂β
　　C．n⊥α D．n∥α，或n⊂α
3..若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中 (　　)
　　A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線
　　C．存在無數(shù)條與a平行的直線 D．存在唯一與a平行的直線
4.一個平面四邊形的斜二測畫法的直觀圖是一個邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于(　 　)
　　A.a2　　　 B．2a2　　 C.a2　　 　D.a2
5.如圖,若一個空間幾何體的三視圖中,正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形,其直角邊均為1,則該幾何體的體積為（　 �。�

A． B． C． D．1
6．一個三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個側(cè)面 （ ）
　　A．必定都不是直角三角形 B．至多有一個直角三角形
　　　C．至多有兩個直角三角形 D．可能都是直角三角形
7．如右圖所示，正方體ABCD¬A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F(xiàn)，且EF＝，則下列結(jié)論中錯誤的是(　 　)
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱錐A¬BEF的體積為定值
D．△AEF的面積與△BEF的面積相等

8．已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形ABCD周長最小時，沿對角線AC把△ACD折起，則三棱錐D－ABC的外接球表面積等于 (　　)
　　　A．8π B．16π
　　　C．48π D．不確定的實數(shù)
9．已知A、B、C、D為同一球面上的四點，且連接每點間的線段長都等于2，則球心O到平面BCD的距離等于 （ ）
　　A． B． C． D．
10.三棱錐P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N 分別在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，則下面四個圖象中大致描繪了三棱錐N－AMC的體積V與x變化關(guān)系(x∈(0,3))是 ( )
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11.設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為 。
12. 在中, ,AB=8, ,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一個動點,則PM的最小值為 .
13．長方體中，，則一只小蟲從A點沿長方體的表面爬到點的最短距離是 。
14．在棱長為1的正方體AC1中，E為AB的中點，點P為側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動點(含邊界)，若動點P始終滿足PE⊥BD1，則動點P的軌跡的長度為________．
15. 四面體ABCD中，有以下命題：
　�、偃鬉C⊥BD，AB⊥CD，則AD⊥BC；
②若E、F、G分別是BC，AB，CD的中點，則∠EFG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大��；
③若點O是四面體ABCD外接球的球心，則O在面ABD上的射影是△ABD的外心；
　�、苋羲膫�面是全等的三角形，則ABCD為正四面體．
　　其中正確命題序號是 ．
三、解答題：本大題共6個小題，共75分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
16.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，點D是AB的中

中點。
　�。�1）求證：BC1//平面CA1D；
　�。�2）求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B。
　　　
17. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。
（1）設(shè)M是PC上的一點，證明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱錐P-ABCD的體積。
18.在直三棱柱中，，，且異面直線與 所成的角等于，設(shè)．
（Ⅰ）求的值；
　�。á颍┣笃矫媾c平面所成的銳二面角的大�。�
19.如圖所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上任意一點，過A作AE⊥PC于
點E，AF⊥PB于點F，求證：
　　(1)AE⊥平面PBC；
　　(2)平面PAC⊥平面PBC；
　　(3)PB⊥EF.
20.如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在
平面垂直于底面ABCD.
　　(1)求證：AD⊥PB.
　　(2)若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．

21.三棱錐P-ABC中,PC、AC、BC兩兩垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點。
（1）證明：平面GFE//平面PCB；
　�。�2）求二面角B-AP-C的正切值；
　�。�3）求直線PF與平面PAB所成角的正弦值。

　　1~10 ADABA DDBBA
　　11~15 6πa2 2 ①③
16.解答：（1）連接AC1交A1C于E，連接DE，∵AA1C1C為矩形，則E為AC1的中點。
　　　
　　　
　　　又CD平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B。
　　　又ΔPAD是邊長為4的等邊三角形，∴PO=。
　　　
18.解:（1），
就是異面直線與所成的角，
即，……（2分）
連接，又，則
為等邊三角形，……………………………4分
由，，
；………5分
（2）取的中點，連接，過作于，
連接，,平面
又，所以平面，即，
所以就是平面與平面所成的銳二面角的平面角�！�………7分在中，，，,
，…………………………11分
因此平面與平面所成的銳二面角的大小為�！�………12分
說明：取的中點，連接，…………同樣給分（也給12分）
19證明：(1)因為AB是⊙O的直徑，
　　　所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
　　　又因為PA⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC.
　　　又BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.
　　　又因為AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
　　　因為AE⊂平面PAC，所以BC⊥AE.
　　　又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，
　　　所以AE⊥平面PBC.
　　　(2)因為AE⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，
　　　所以平面PAC⊥平面PBC.
　　　(3)因為AE⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，
　　　所以AE⊥PB.
　　　又AF⊥PB于點F，且AF∩AE＝A，
　　　所以PB⊥平面AEF.
　　　又因為EF⊂平面AEF，所以PB⊥EF.
　　　
　　　解析：(1)方法一，如圖，取AD中點G，連接PG，BG，BD.
　　　
　　　∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD，
　　　又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.
　　　在△ABD中，∠A＝60°，AD＝AB，∴△ABD為等邊三角形，∴BG⊥AD，
　　　∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.
　　　方法二，如圖，取AD中點G
　　　∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD
　　　又易知△ABD為正三角形
　　　∴AD⊥BG.
　　　又BG，PG為平面PBG內(nèi)的兩條相交直線，
　　　∴AD⊥平面PBG.
　　　∴AD⊥PB.
　　　(2)連接CG與DE相交于H點，
　　　在△PGC中作HF∥PG，交PC于F點，
　　　∴FH⊥平面ABCD，
　　　∴平面DHF⊥平面ABCD，
　　　∵H是CG的中點，∴F是PC的中點，
　　　∴在PC上存在一點F，即為PC

的中點，使得平面DEF⊥平面ABCD.
21.解答：（1）因為E、F、G分別是AB、AC、AP的中點，所以EF//BC，GF//CP。因為EF，GF平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。
　　�。�2）過點C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA，垂足為H，連接HB。因為BC⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依條件容易求出CH=，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。
　　�。�3）如圖，設(shè)PB的中點為K，連接KC，AK，因為ΔPCB為等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因為AK∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC內(nèi)，過點F作FM⊥AK，垂足為M。因為平面AKC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，連接PM，則∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角。容易求出PF=，F(xiàn)M=，所以sin∠MPF==.即直線PF與平面PAB所成的角的正弦值是

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