第Ⅰ卷
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分）
1.設(shè)l、m、n均為直線，其中m、n在平面α內(nèi)，則“l(fā)⊥α”是“l(fā)⊥m且l⊥n”的 ( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
2．已知直線m、n和平面α、β滿足m⊥n，m⊥α，α⊥β，則 ( )
A．n⊥β B．n∥β，或n⊂β
C．n⊥α D．n∥α，或n⊂α
3..若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過(guò)B點(diǎn)的所有直線中 ( )
A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無(wú)數(shù)條與a平行的直線 D．存在唯一與a平行的直線
4.一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于( )
A.a2 B．2a2 C.a2 D.a2
5.如圖,若一個(gè)空間幾何體的三視圖中,正視圖和側(cè)視圖都是直角三角形,其直角邊均為1,則該幾何體的體積為（ �。�
A． B． C． D．1
6．一個(gè)三棱錐，如果它的底面是直角三角形，那么它的三個(gè)側(cè)面 （ ）
A．必定都不是直角三角形 B．至多有一個(gè)直角三角形
C．至多有兩個(gè)直角三角形 D．可能都是直角三角形
7．如右圖所示，正方體ABCD¬A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A．AC⊥BE
B．EF∥平面ABCD
C．三棱錐A¬BEF的體積為定值
D．△AEF的面積與△BEF的面積相等
8．已知矩形ABCD的面積為8，當(dāng)矩形ABCD周長(zhǎng)最小時(shí)，沿對(duì)角線AC把△ACD折起，則三棱錐D－ABC的外接球表面積等于 ( )
A．8π B．16π
C．48π D．不確定的實(shí)數(shù)
9．已知A、B、C、D為同一球面上的四點(diǎn)，且連接每點(diǎn)間的線段長(zhǎng)都等于2，則球心O到平面BCD的距離等于 （ ）
A． B． C． D．
10.三棱錐P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N 分別在BC和PO上，且CM＝x，PN＝2CM，則下面四個(gè)圖象中大致描繪了三棱錐N－AMC的體積V與x變化關(guān)系(x∈(0,3))是 ( )
第Ⅱ卷
二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）
11.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為 。
12. 在中, ,AB=8, ,PC平面ABC,PC=4,M是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PM的最小值為 .
13．長(zhǎng)方體中，，則一只小蟲(chóng)從A點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)的最短距離是 。
14．在棱長(zhǎng)為1的正方體AC1中，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，若動(dòng)點(diǎn)P始終滿足PE⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為_(kāi)_______．
15. 四面體ABCD中，有以下命題：
�、偃鬉C⊥BD，AB⊥CD，則AD⊥BC；
②若E、F、G分別是BC，AB，CD的中點(diǎn)，則∠EFG的大小等于異面直線AC與BD所成角的大��；
③若點(diǎn)O是四面體ABCD外接球的球心，則O在面ABD上的射影是△ABD的外心；
④若四個(gè)面是全等的三角形，則ABCD為正四面體．
其中正確命題序號(hào)是 ．
三、解答題：本大題共6個(gè)小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。
16.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC，點(diǎn)D是AB的中
中點(diǎn)。
�。�1）求證：BC1//平面CA1D；
�。�2）求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B。
17. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB//DC，ΔPAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4。
（1）設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱錐P-ABCD的體積。
18.在直三棱柱中，，，且異面直線與 所成的角等于，設(shè)．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求平面與平面所成的銳二面角的大�。�
19.如圖所示，已知PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)A作AE⊥PC于
點(diǎn)E，AF⊥PB于點(diǎn)F，求證：
(1)AE⊥平面PBC；
(2)平面PAC⊥平面PBC；
(3)PB⊥EF.
20.如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，側(cè)面PAD為正三角形，其所在
平面垂直于底面ABCD.
(1)求證：AD⊥PB.
(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．
21.三棱錐P-ABC中,PC、AC、BC兩兩垂直，BC=PC=1，AC=2，E、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)。
（1）證明：平面GFE//平面PCB；
（2）求二面角B-AP-C的正切值；
�。�3）求直線PF與平面PAB所成角的正弦值。
1~10 ADABA DDBBA
11~15 6πa2 2 ①③
16.解答：（1）連接AC1交A1C于E，連接DE，∵AA1C1C為矩形，則E為AC1的中點(diǎn)。
又CD平面CA1D，∴平面CA1D⊥平面平面AA1B1B。
又ΔPAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴PO=。
18.解:（1），
就是異面直線與所成的角，
即，……（2分）
連接，又，則
為等邊三角形，……………………………4分
由，，
；………5分
（2）取的中點(diǎn)，連接，過(guò)作于，
連接，,平面
又，所以平面，即，
所以就是平面與平面所成的銳二面角的平面角�！�7分在中，，，,
，…………………………11分
因此平面與平面所成的銳二面角的大小為�！�12分
說(shuō)明：取的中點(diǎn)，連接，…………同樣給分（也給12分）
19證明：(1)因?yàn)锳B是⊙O的直徑，
所以∠ACB＝90°，即AC⊥BC.
又因?yàn)镻A⊥⊙O所在平面，即PA⊥平面ABC.
又BC⊂平面ABC，所以BC⊥PA.
又因?yàn)锳C∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC.
因?yàn)锳E⊂平面PAC，所以BC⊥AE.
又已知AE⊥PC，PC∩BC＝C，
所以AE⊥平面PBC.
(2)因?yàn)锳E⊥平面PBC，且AE⊂平面PAC，
所以平面PAC⊥平面PBC.
(3)因?yàn)锳E⊥平面PBC，且PB⊂平面PBC，
所以AE⊥PB.
又AF⊥PB于點(diǎn)F，且AF∩AE＝A，
所以PB⊥平面AEF.
又因?yàn)镋F⊂平面AEF，所以PB⊥EF.
解析：(1)方法一，如圖，取AD中點(diǎn)G，連接PG，BG，BD.
∵△PAD為等邊三角形，∴PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD.
在△ABD中，∠A＝60°，AD＝AB，∴△ABD為等邊三角形，∴BG⊥AD，
∴AD⊥平面PBG，∴AD⊥PB.
方法二，如圖，取AD中點(diǎn)G
∵△PAD為正三角形，∴PG⊥AD
又易知△ABD為正三角形
∴AD⊥BG.
又BG，PG為平面PBG內(nèi)的兩條相交直線，
∴AD⊥平面PBG.
∴AD⊥PB.
(2)連接CG與DE相交于H點(diǎn)，
在△PGC中作HF∥PG，交PC于F點(diǎn)，
∴FH⊥平面ABCD，
∴平面DHF⊥平面ABCD，
∵H是CG的中點(diǎn)，∴F是PC的中點(diǎn)，
∴在PC上存在一點(diǎn)F，即為PC
的中點(diǎn)，使得平面DEF⊥平面ABCD.
21.解答：（1）因?yàn)镋、F、G分別是AB、AC、AP的中點(diǎn)，所以EF//BC，GF//CP。因?yàn)镋F，GF平面PCB，所以EF//平面PCB，GF//平面PCB。又EF∩GF=F，所以平面GFE//平面PCB。
�。�2）過(guò)點(diǎn)C在平面PAC內(nèi)作CH⊥PA，垂足為H，連接HB。因?yàn)锽C⊥PC，BC⊥AC，且PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC，所以HB⊥PA，所以∠BHC是二面角B-AP-C的平面角。依條件容易求出CH=，所以tan∠BHC=，所以二面角B-AP-C的正切值是。
�。�3）如圖，設(shè)PB的中點(diǎn)為K，連接KC，AK，因?yàn)棣CB為等腰直角三角形，所以KC⊥PB；又AC⊥PC，AC⊥BC，且PC∩BC=C，所以AC⊥平面PCB，所以AK⊥PB，又因?yàn)锳K∩KC=K，所以PB⊥平面AKC；又PB平面PAB，所以平面AKC⊥平面PAB。在平面AKC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥AK，垂足為M。因?yàn)槠矫鍭KC⊥平面PAB，所以FM⊥平面PAB，連接PM，則∠MPF是直線PF與平面PAB所成的角。容易求出PF=，F(xiàn)M=，所以sin∠MPF==.即直線PF與平面PAB所成的角的正弦值是
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