阿貝爾的有些發(fā)現(xiàn)，比如說(shuō)同橢圓函數(shù)和橢圓積分有關(guān)的發(fā)現(xiàn)，講起來(lái)很困難，因?yàn)橐氚阉某晒幕疽c(diǎn)闡述得明白準(zhǔn)確，需要的定義和概念實(shí)在太多了。下面，我們只概略地講一講阿貝爾證明一般的高于四次的代數(shù)方程用根式求解的不可能性的有關(guān)發(fā)現(xiàn)。
設(shè)給定一個(gè)高于四次的一般的代數(shù)方程：
a0xn+a1xn-1+...+an=0, n>4 （34）
正如18-19世紀(jì)著名的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯（1777——1855）所指出的那樣，這個(gè)方程有n 個(gè)根，這些根可能是實(shí)數(shù)根，也可能是復(fù)數(shù)根，可能相同，也可能不同。
假定方程（34）的根是不相同的，我們應(yīng)該認(rèn)為方程的系數(shù)是任意的。
我們把具有下面性質(zhì)的數(shù)集P 稱為域：1）如果 a∈P，b∈P，則a+b∈P，ab∈P；2）如果 a∈P，則-a∈P，a-1∈P（當(dāng)a≠0時(shí)）。
設(shè)P是某個(gè)域。算得這個(gè)域中所有數(shù)的平方根，把所有這些根歸入這個(gè)域，從這樣擴(kuò)充了的集合中順次利用加，減，乘，除（去掉除以0 ）的運(yùn)算得到的所有的數(shù)也同樣歸入這個(gè)域。
所得的新的域稱為域P 的根式擴(kuò)充域。同理，如果取立方根（根式），四次方根（根式）等等，也可以得到根式擴(kuò)充域。
我們研究方程（34），它的系數(shù)屬于域P .假定這個(gè)方程有一個(gè)用根式表示的根，這意味著，這個(gè)根屬于由域P 得到的根式擴(kuò)充域序列中的一個(gè)域，而且這個(gè)序列中的每一個(gè)后面的擴(kuò)充域是由前一個(gè)擴(kuò)充域得到的。研究這些域會(huì)發(fā)現(xiàn)，它們和近世代數(shù)中諸如群，群的正規(guī)子群，商群這樣一些很重要的概念有聯(lián)系。
設(shè)有一個(gè)任意性質(zhì)的元素a，b，c…… 構(gòu)成的集合Ω，其中某一個(gè)元素同按一定順序選取的每一對(duì)元素a，b相對(duì)應(yīng)，這個(gè)元素稱為元素a，b的積，記為ab，一般情況下ab≠ba .當(dāng)且僅當(dāng)以下四個(gè)條件成立集合Ω稱為群：1.集合Ω的兩個(gè)元素的積也屬于這個(gè)集合：ab=c∈Ω。
2.滿足結(jié)合律：（ab）c=a（bc）。
3.群的單位元素即元素e是該集合中的一個(gè)元素，對(duì)于集合中的每一個(gè)元素a 滿足等式ae=a.
本文來(lái)自：逍遙右腦記憶 http://yy-art.cn/gaoer/115431.html
相關(guān)閱讀：高二數(shù)學(xué)如何提高