阿貝爾的有些發(fā)現，比如說同橢圓函數和橢圓積分有關的發(fā)現，講起來很困難，因為要想把他的成果的基本要點闡述得明白準確，需要的定義和概念實在太多了。下面，我們只概略地講一講阿貝爾證明一般的高于四次的代數方程用根式求解的不可能性的有關發(fā)現。

設給定一個高于四次的一般的代數方程：

a0xn+a1xn-1+...+an=0, n>4 （34）

正如18-19世紀著名的德國數學家高斯（1777——1855）所指出的那樣，這個方程有n 個根，這些根可能是實數根，也可能是復數根，可能相同，也可能不同。

假定方程（34）的根是不相同的，我們應該認為方程的系數是任意的。

我們把具有下面性質的數集P 稱為域：1）如果 a∈P，b∈P，則a+b∈P，ab∈P；2）如果 a∈P，則-a∈P，a-1∈P（當a≠0時）。

設P是某個域。算得這個域中所有數的平方根，把所有這些根歸入這個域，從這樣擴充了的集合中順次利用加，減，乘，除（去掉除以0 ）的運算得到的所有的數也同樣歸入這個域。

所得的新的域稱為域P 的根式擴充域。同理，如果取立方根（根式），四次方根（根式）等等，也可以得到根式擴充域。

我們研究方程（34），它的系數屬于域P .假定這個方程有一個用根式表示的根，這意味著，這個根屬于由域P 得到的根式擴充域序列中的一個域，而且這個序列中的每一個后面的擴充域是由前一個擴充域得到的。研究這些域會發(fā)現，它們和近世代數中諸如群，群的正規(guī)子群，商群這樣一些很重要的概念有聯系。

設有一個任意性質的元素a，b，c…… 構成的集合Ω，其中某一個元素同按一定順序選取的每一對元素a，b相對應，這個元素稱為元素a，b的積，記為ab，一般情況下ab≠ba .當且僅當以下四個條件成立集合Ω稱為群：1.集合Ω的兩個元素的積也屬于這個集合：ab=c∈Ω。

2.滿足結合律：（ab）c=a（bc）。

3.群的單位元素即元素e是該集合中的一個元素，對于集合中的每一個元素a 滿足等式ae=a.

本文來自：逍遙右腦記憶 http://www.yy-art.cn/gaoer/115431.html

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