“華安、連城、永安、漳平一中、龍海二中、泉港一中”六校聯(lián)考2013-2014學(xué)年下學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)（理科）試題（考試時(shí)間：120分鐘 總分：150分）★友情提示：要把所有答案都寫在答題卷上，寫在試卷上的答案無效。一、選擇題（本題共10個(gè)小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限（ ） 3. 在區(qū)間內(nèi)不是增函數(shù)的是（　�。〢. B. C. D. 4. 函數(shù)的圖上一點(diǎn)（ ）A． B． C． D．5．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為（ ）A．B．C．D．.等于（ ）A． B．2C．D．7．已知復(fù)數(shù)且，則的最小值是（ ）A． B． C． D．8．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可以是（ ） A. B. C. D. 9. 六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體。如，在平行四邊形中，有，那么在圖（2）的平行六面體中有等于( )10.對(duì)于三次函數(shù)，定義是的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，可以證明，任何三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對(duì)稱中心，請(qǐng)你根據(jù)這一結(jié)論判斷下列命題：①任意三次函數(shù)都關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：②存在三次函數(shù), 若有實(shí)數(shù)解，則點(diǎn)為函數(shù)的對(duì)稱中心；③存在三次函數(shù)有兩個(gè)及兩個(gè)以上的對(duì)稱中心；④若函數(shù)，則: 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )．A. ①②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④是虛數(shù)單位，則=______▲▲▲_______.12. 由直線，曲線及軸所圍圖形的面積為有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是▲ 14. 若上是減函數(shù)，則的最大值是 ▲▲▲ 15. 設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如．我們發(fā)現(xiàn)：；；；．．．．．．．通過合情推理，寫出一般性的結(jié)論 ▲▲▲ (用含的式子表示)三、解答題:本大題共小題,共分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.，已知曲線在點(diǎn)處的切線方程是．求；函數(shù)上的．設(shè)數(shù)列滿足．（Ⅰ）求（II）由I）猜想的一個(gè)通項(xiàng)公式，證明你的結(jié)論；．,證明：，并利用上述結(jié)論求的最小值(其中．19. (本題滿分13分)已知函數(shù),為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（I）求函數(shù)極值；有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；20．處，乙廠與甲廠在河的同側(cè)，乙廠位于離河岸40千米的處，乙廠到河岸的垂足與相距50千米，兩廠要在此岸邊之間合建一個(gè)供水站，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為每千米3元和5元，若千米，設(shè)總的水管費(fèi)用為元，如圖所示，（I）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式；（II）問供水站建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最��？ 21. (本小題滿分14分) 已知函數(shù)（）（I）討論函數(shù)的單調(diào)性；（II）若函數(shù)在處取得極值，不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（III）當(dāng)時(shí)，證明不等式 .“華安、連城、永安、漳平一中、龍海二中、泉港一中”六校聯(lián)考2013-2014學(xué)年下學(xué)期第一次月考高二數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案題號(hào)答案CBDABABCCA二、填空題(本題共5小題，每小題4分，共20分) 11.1+3i 12. 2ln2 13. 或 1４. -1 15． 三、解答題:本大題共小題,共分.解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟.. …………………………3分，令，得或；令，得的遞增區(qū)間為，的遞減區(qū)間為 ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知列表得－11＋0－0-1遞增極大遞減-1由表得當(dāng)時(shí)，又，17．，得……………………………2分，得，……………………………4分，得 ……………………………………………………6分…………………………………………………7分時(shí)， ，猜想成立；………………………………………………8分時(shí)，猜想成立，即，…………………9分時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，猜想也成立………………………………………12分都有猜想成立…………………………13分． ………………………………………4分 ……………………………………………………分 gkstk只要證………………………2分 ……………………………………………………………4分（顯然成立）gkstk故原不等式得證………………………………………………………………………7分由不等式成立知，…………………………10分即最小值為25，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立�！�……………………………………1分………………………2分，解得或，列表如下………………………4分－40＋0－0＋遞增極大遞減極小遞增由表可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值；…………………8分，；，大致圖像為如圖（大致即可）gkstk問題“方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根”轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ………………………………10分的取值范圍為. …………………………………13分．，BD=40,AC=50－,∴BC=又總的水管費(fèi)用為y元，依題意有：=3(50－x)+5 …………………………………6分+,令y′=0,解得=30 …………………………………8分在(0,30)單調(diào)遞減，在(30,50)單調(diào)遞增上，…………………………………11分=30(km)處取得最小值，此時(shí)AC=50－=20(km) …………………………………13分 ……………………………14分21. 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)�，…………………�?分時(shí)，，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減……3分時(shí)，若，則，從而，若，則，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；…………………………5分的極值點(diǎn)是，故………………6分，即，由于，即.……………………………………7分，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；……………………………9分，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為…………………………10分…………………11分，則，在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，………………13分，所以，得故………………14分gkstk圖（1）圖（2）福建省四地六校2013-2014學(xué)年高二下學(xué)期第一次月考（數(shù)學(xué)理）
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